1、第二章 多项式 教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置它对培养、提高 学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项 式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项 式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实 数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等 教学内容及学时分配 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多 项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理 数
2、域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时） 重点、难点 理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去 律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的 可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代 数基本定理，C、R、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表 示对称多项式 教学手段 传统教学和多媒体教学相结合 21 一元多项式的定义和运算教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点 一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律 教学过程 讲授练习.多项式的定义 令 R
3、是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复先讨论R上一元多项式定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式， （） nxaa,210这里 n 是非负整数而 都是 R 中的数. n,2在多项式(1)中, 叫做零次项或常数项, 叫做一次项,一般, 叫做 i 次 0axa1 ixa项, 叫做 i 次项的系数. i一元多项式常用符号 f(x),g(x),来表示. 2. 相等多项式: 定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项, 或者只 差一些系数为零的项,那么 f(x)和
4、 g(x)说是相等; f (x)=g(x) 非负整数 n 叫做多项式 ,( )的次数. nxaxa,2100系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式 总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时, 总假定 f(x)0. 多项式的次数有时就简单地记作 . xf03. 多项式的运算: nxaaxf10mbbg是数环 R 上两个多项式，并且设 mn，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是 多项式 nnmxbaxbaxba10这里当 m2)个多项式互素的情形 若多项式h(x)整除多项 ，中的每一个，那么 h(x)叫做这 n xffxn,),(21
5、个多项式的一个公因式。若是 的公因式 d(x)能被这 n 个多项式的每ff,一个公因式整除，那么d(x)叫 做的一个最大公因式 . xffxn,),(21容易推出：若 是多项式若是 的一个最大公因式，那么d0 fn,)(21与 多项式的最大公因式也是多项式若是 的最大公因式.xd0fn xfn,)(21这样，由于两个多项式的最大公因式总是存在的，所以n 个多项式的最大公因式也总是存在的，并且可以累次应用辗转相除法来求出. 与两个多项式的情形一样，n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别。我们约定n 个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是 1 的那一个。那 n 个多项式是最大公因式就
6、是唯一确定的.我们用符号 xffxn,),(21（ ）xffn,),(21表示这样确定的最大公因式. 最后，若是多项式 除零次多项式外，没有其它公因式，就ffxn,),(21说这一组多项式互素。我们要注意，n (n2)个多项 互素时，它们并xffxn,),(21不一定两两互素。例如，多项式 34,65,23)( 23221 xfxfxf是互素的，但,21f作业：P48：1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 102.4 多项式的分解 教学目的 掌握有可约的多项式的概念及性质；掌握唯一分解定理；会用两 个多项式的典型分解式求出它们的最大公因式. 重点、难点 两条主要定理（唯一因式分解的定理）证明及
7、应用；多项式的 可约性与数域有关. 教学过程 讲授、练习. 1 .不可约多项式的概念及性质 给定 Fx的任何一个多项式 f(x), 那么 F 的任何不为零的元素 c 都是 f(x) 的因式.另一方面，c 与 f(x)的乘积 cf(x)也总是 f(x)的因式.我们把 f(x)的这 样的因式叫做它的平凡因式. 任何一个零次多项式显然只有平凡因式. 一个次数 大于零的多顶式可能只有平凡因式，也可能还有其它的因式. 定义 令 f(x)是 Fx的一个次数大于零的多项式 . 若是 f(x)在 Fx中只有 平凡因式，f(x)就说是在数域 F 上（或在 Fx中）不可约 . 若 f(x)除平凡因式 外，在 Fx
8、中还有其它因式，f(x)就说是在 F 上（或在 Fx中）可约. 如果 Fx的一个 n(n0)次多项式能够分解成 Fx中两个次数都小于 n 的 多项式 g(x)与 h(x)的积: f(x)=g(x)h(x), （1）那么 f(x)在 F 上可约. 若是 f(x)在 Fx中的任一个形如（ 1）的分解式总含有一个零次因式，那 么 f(x)在 F 上不可约 . 根据以上定义，对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的， 也不能说它们是不可约的. 在任一多项式环 Fx中都存在不可约多项式，因为 Fx的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意，我们只能对于给定的数域来谈论多项式可约或不可约. 因为一个
9、多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约. 一般指的是在数域 F 上不可约的多项式。 （a） 如果多项式 p(x)不可约，那么 F 中任一不为零的元素 c 与 p(x)的乘 积 cp(x)也不可约. （b） 设 p(x)是一个不可约多项式而 f(x)是一个任意多项式，那么或者 p(x)与 f(x)互至少，或者 P(x)整除 f(x). （c）如果多项式 f(x)与 g(x)的乘积能被不可约多项式 p(x)整除，那么至 少有一个因式被 p(x)整除. (c)如果多项式 的乘积能够被不可约多项式整 2,),(21sxffx除，那么至少有一个因式被整除. 2.唯一因式分解定理！ 定理 2.4
10、.1 Fx 的每一个 n(n0)次多项式 f(x)都可以分解成 Fx的不 可约多项式的乘积. 证 若是多项式 f(x 理成立，这时可以认为 f(x)是一个不可约因式的乘 积： f(x)=f(x) 若 f(x)可约，那么 f(x)可以分解成两个次数较低的多项式的乘积： xfxf21)(若因式 f 1(x)与 f 2 (x)中仍有可约的，那么又可以把出现的每一个可约因式分解 成次数较低的多项式的乘积。如此继续下去。在这一分解过程中，因式的个数逐 渐增多，而每一因式的次数都大于零。但 f(x)最多能分解成 n 个次数大于零的 多项式的乘积，所以管种分解过程作了有限次后必然终止。于是我们得到 xpxp
11、fr21其中每一 都是 Fx中的不可约多项式. xpi定理 2.4.2 令 f(x)是 Fx的一个次数大于零的多项式，并且xqxpxf sr 2121此处 与 q j (x)(i=1,2,r ;j=1,2,，s) 都是 Fx的不可约多项式。那么 r=s，并且适xpi当调后使 , i=1,2,r, cii此处 是 F 的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f（x）分解成ic不可约因式乘积的分解式是唯一的. 证 我们对因式的个数 r 用数学归纳法. 对于不可约多项式，也就是对于 r=1 的情形来说，定理显然成立 .对于能分解成 r 个不可约因式的乘积的多项式 f(x) 来说定理也
12、成立 .等式xqxpxpsr 2121假定对于能分解成 r-1 个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.我们证明 互不相等，而其它每一因式都等于这 t 个因式中的一个，并且 p i(x)(i=1,2,t) 表明，乘积 可以被不可约多项式 p1(x)整除.因此由性质(c) ， xqxs21至少某一 q i(x)能被 p1(x)整除。适当调换 的次序，可以假定 p1(x)整除 q1(x)， xqi即 q1(x)=h(x)p1(x)。但 q1(x)是不可约多项式，而p 1(x)的次数不等于零，所以h(x)必须是一个零次多项式： q 1(x)=c1p1(x). 把 q 1(x)的表示式代入等式（2）
13、的右端，得xqxcxpsr 212从等式两端去不等于零的多项式 p1(x)，得出等式 sr 3232令xqxqcpxpxf sr 321321 那么 f 1(x)是一个能分解成 r-1 个不可约多项式的乘积的多项式.于是由归纳假定得 r-1=s-1，亦即 r=s，并且可以假定rixpcqcxqii ,43,221 其中 及 (i=3,4,r)都是零次多项式。令 由（3）及（4）得 2ci 212ciii ,这样定理完全得到证明. 由定理一个多项式 f(x)唯一分解成： ， xpxapf r21其中 是 f(x)的系数， 是不可约多项式.aii ,3Fx 的次数大于零的典型分解式 分解式（5）中
14、不可约多项式，不一定都不相同。若是在分解式（5）中不可 约因式 p(x)出现 k 次并且只出现 k 次，那么 p(x)叫做 f(x)的一个k 重因式。一 重因式叫做单因式。重数大于 1 的因式叫做重因式。若不可约因式 p(x)在 f(x) 的分解式（5）中不出现，我们就说 p(x)是 f(x)的一个零重因式. 若是在多项式 f(x)的分解（5）中有 t 个因式，例如 xpxpt21互不相等，而其它每一因式都等于这 t 个因式中的一个，并且 ii ,各是 f(x)的 k i重因式，那么(5) 式可以写成以下形状:tktkkxpxapf21等式（6）叫做多项式 f(x)的典型分解式。每一个多项式的
15、典型分解式都是唯一 确定的. 4.利用多项式的典型分解式求两个多项式的最大公因式 如果已知两个多项式的典型分解式，那么我们很容易求出这两个多项式的 最大公因式来. 令 f(x)与 g(x)是F(x) 中两个次数大于零的多项式.假定它们的典型分解 式有 r 个共同的不可约因式： ，srr kkkk xqxpaxf 11 trr llllbg_其中每一 不等于任何， ，令 是 与sriqi , trjj ,1imikl两自然数中较小的一个(i=1,2,r) ，那么 rmmxpxpd21就是 f(x)与 g(x)的最大公因式.事实上，d(x)显然是 f(x)与 g(x)的一个公因式。若是与的任一次数
16、大于零 的公因式，那么由定理 2.4.2，出现在 d 1(x)的典型分解式中的每一不可约因式 只能是某一 ，并且这一不可约因式的重数不能超过 ，因此 ip im，rnxpxcpd211其中 ,c 是数域 F 的一个不为零的元素，从而 d1(x)整除d(x). rimni ,20若是 f(x)与 g(x)的典型分解式没有共同的不可约因式，那么 f(x)与g(x) 的最大因式显然是零次多项式. 例 在有理数域上分解多项式 f(x)= x +x -2x-2 为不可约因式的乘积. 容易看出21223 xx一次因式 x+1 自然在有理数域上不可约，我们证明，二次因式 也在有理数2x域上不可约，不然的话，
17、 将能写成有理数域 上两个次数小于 2 的因式的乘 2积，因此将能写成 bxax2的形式，这里 a 和 b 是有理数，把等式（8 ）的右端乘开，并且比较两端的系数， 将得 a +b=0，ab=2，由此将得到 ，着与a是有理数的假定矛盾，这样， （7）给出2多项式 f（x）的一个不可约因式分解 . 我们还可以如下证明 在有理数域上不可约，2x如果（8）式成立，那么它也给出 在实数域上的一个不可约因式分解，但在实数域2x上22x因此由一定分解定理就可得出 a= 2 的矛盾. 作业：P56: 1，4，6. 25 重因式教学目的 掌握重因式的概念和性质,掌握判断多项式无重因式的方法. 重点 、难点 多
18、项式无重因式的充要条件，多项式的系数域的扩大对是不 是有重因式没有影响. 教学过程 讲授、练习. 1. 多项式的导数及性质 定义 Fx的多项式 nxaxaf 210的导数或一阶导数指的是 Fx的多项式 121 nf一阶导数 的导数叫作 f(x)的二阶导数, 记作 , f(x)的 n 阶导数记 xf xffn多项式的导数有下列性质： xgfxgf ffkf1 2. 多项式的重因式定理 2.5.1 设 p(x)是 f(x)多项式的一个k( )重因式.那么p(x)是 f(x) 1k的导数的一个 k-1 重因式. 特别，多项式 f(x)的单因式不是 f(x)的导数的因式. 证 因为 p(x)是 f(x
19、)的 k 重因式，所以xgpxf并且 p(x)不能整除 g(x).求 f(x)的导数，得 gpxf kk1 .xgkpxgxpk1p(x)不能整除括号里的第二项 . 事实上， 的次数小于 p(x)的次数,因而 k 的次 xp数也小于 p(x)的次数，所以 p(x)不能整除 k ;又由已知条件，p(x) 不能整除g(x). 因此根据不可约多项式的性质,p(x)不能整除乘积k g(x). 但p(x)能整除括号里的第一项。xp因此 p(x)不能整除括号里的和 . 这就是说 p(x)是 的一个 k-1 重因式. f定理 2.5.2 多项式 f(x)没有重因式的充要条件是 f(x)与它的导数 互素. x
20、f证 设 f(x)是一个 n(n0)次多项式，而tktkkxpxapf21是 f(x)的典型分解式.那么由定理 2.5.1 gxf tktkk 1121 此处 g(x)不能被任何 (i=1,2,t)整除.于是由上一节末尾求最大公因式的方法，得 pif(x)与 的最大公因式是 xfxgpxxdf tktkk 1121, 因此，若是 f(x)没有重因式，亦即 那么 d(x)=1，而 f(x)与 t xf 互素.反之，若 f(x)与 互素. 那么f(x)没有重因式. f由定理 2.5.2 可得下面的结论：若多项式 f(x)在 中没有重因式，那么把 f(x)看成含 F 的某一个数域 G上 的多项式xF
21、时,f(x)也没有重因式. 3 多项式重因式的求法： 首先，用以上方法判断多项式 f(x)是否有重因式，即求出（f(x), ）=d(x)；其次，xf用 d(x)除f(x)所得商式为，xpxapgt21其中 g(x) 没有重因式，g(x)与 f(x)含有完全相同的不可约因式；然后, 求g(x) 的不可约因 式，这样不难求出其在 f(x)中的重数. 作业 ：P59: 2，3，4. 2.6 多项式函数 多项式的根教学目的 掌握数环 R 上的多项式函数, 多项式的根 k 重根的概念. 熟练运用综合除法和余式定理判别 f(x)是否有一次因式 x-c, 是否有根 c, 并求出 f(x)的根 c 的重数.
22、会运用拉格朗日插值公式求出 f(x),并满足已给的条件: (I=1,2,n+1). iibaf重点、难点 余数定理、多项式的根的个数不超过次数定理的证明，综合除法及应用.教学过程 讲授、练习.1. 多项式函数: 设是R一个数环， 设给定 的一个多项式R1xnxaaf10和一个数 cR .那么 在德表示式里，把x用c来代替，就得到R得一个nc10这个数叫做当 x=c 时的 f(x)值，并且用 f (x) 来表示.这个映射是由多项式 f (x)所确定的，叫做R上一个多项式函数 .2. 余式定理定理 2.6.1 设 ，用x-c 除 所得的余式等于当x=c时 的值 .xRfxf xfcf证 设 f(x
23、)，g(x) Rx, 那么对于任意 cR，由 f (x)=g(x) 就有 f(c)=g(c)，并且若是u(x)=f(x)+g(x), v(x)=f(x)g(x)那么 u(c)=f(c)+g(c), v(c)=f(c)g(c) ， 因此，任意一个由加法和乘法得到的 Rx的一些多项式间的关系式在用 R 的数 c 代替 x 后仍然成立. 现在设 f (x)Rx而 cR.由定理 2.2.1 后面的注意 2，在 Rx里可以 x-c 用除 f (x)，得到的商式核余式仍在 Rx内. 因为 x-c 是一次多项式，所以余式 或者是零，或者是一个零次多项式.因此存在 q(x)Rx, rR, 使得 f(x)=(x
24、-c)q(x)+r 在这个等式两边用 c 代替 x，我们得到 r=f(c)，于是就得到以下的所谓余式 定理. 3. 综合除法 nnn axxaxaf 1210并且设 f(x) = (x-c)q(x) + r其中 123210 nnnn bxxbxbq比较等式(1)中两端同次项的系数，我们得到0aocb1。221nncbar由此得出0ab11c22121nnacbr这样，欲求系数 b k ，只要把前一系数 b k-1乘以 c 再加上对应系数 a k ， 而余式r 也可以按类似的规律求出 .因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆 续求出商式和余式的系数： C 0a121na+ cb2cb 0121
25、nr表中的加号通常略去不写.例1 用 x+3 除 f(x)=x +x+4x-9.作综合除法：-3 1 0 1 4 -9-3 9 -30 78-3 10 -26 69所以商式是 g(x)=x -3x +10x-26， 而余式 r=f(-3)=69. 4. 多项式的根 定义 令 f(x)是 Rx的一个多项式而 c 是 R 的一个数，若是当 x=c 是 f(x) 的值 f(c)=0，那么 c叫作 f(x)在数环 R 中的一个根. 定理 2.6.2 数 c 是多项式 f(x)的根的充分且必要条件是 f(x)能被 x-c 整 除. 定理 2.6.3 设 f(x)是 Rx中的一个 n 0 次多项式.那么
26、f(x)在 R 中最多有 n 个不同的根. 证明 如果 f(x)是零次多项式，那么 f(x)是 R 中一个不等于零的数，所以没有根.因此定理对于 n=0 成立，于是我们可以对 n 作数学归纳法来证明这一定 理，设 cR 是 f(x)另一个根，d c,那么 0=f(c)=(d-c)g(d). 因为 d-c 0,所以 g(d)=0。因为 g(x)的次数是 n-1，由归纳法假说，g(x)在 R 内至多有 n-1 个不同的根。因此 f(x)在 R 中至多有 n 个不同的根. 定理 2.6.4 设 f(x)与 g(x)是 Rx的两个多项式，它们的次数都不大于 n, 若是以 R 中 n-1 个或更多的不同
27、的数来代替 x 时，每次所得 f(x)与 g(x)的值都 相等，那么 f(x)=g(x). 证 令 u(x)=f(x)-g(x). 若 f(x) g(x),换一名话说 u(x) 0,那么 u(x)是一个次数不超过 n 的多项 式，并且在 R 中有 n+1 个或更多的根。这与定理 2.6.3 矛盾. 5.多项式相等与多项式函数相等 定理 2.6.5 Rx的两个多项式 f(x)和 g(x)相等，当且仅当它们所定谘的 R 上多项式函数相等. 证 设 f(x)=g(x).那么它们有完全相同的项，因而对 R 的任何数 c 都有 f( c)=g(c). 这就是说，f(x)和 g(x)所确定的函数相等. 反
28、过来设 f(x)和 g(x)氢确定的函数相等. 令 u(x)=f(x)-g(x). 那么对 R 的任何数都有 u(x)=f(x)-g(x)=0. 这就是说， R 中的每一个数都 是多项式u(x)的根，但R有无穷多个数，因此u(x)有无穷多个根. 根居定理2.6.3 只有零多项式才有这个性质.因此有 u(x)=f(x)-g(x)=0, f(x)=g(x). 6.拉格朗日插值公式： 定理 2.6.4 告诉我们，给了一个数环 R 里 n+1 个互不相同的数 121,na以及任意 n+1 个数 后，到多存在 Rx的一个次数不超过 n 的多项式 121,nbf(x)，能使 ，i=1,2,3,n+1.如果
29、 R 还是一个数域，那么这样一个多项 iiaf式的确是存在的，因为容易看出，由以下公式给出的多项式f(x)就是具有上述性质：这个公式叫做拉格朗日（Lagrange）插值公式. 例2. 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使 f(1)=1, f(-1)=3, f(2)=3.由拉格朗日插值公式得作业 P65: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 2.7 复数和实域上多项式教学目的 掌握代数基本定理、根与系数的关系. 掌握实数域上多项式的分 解. 重点 、难点 代数基本定理的应用，复系数多项式的根与系数的关系，实 系数多项式的因式分解定理. 教学过程 讲授、练习. 1.代数基本定理 定理 2.7.1
30、 任何 n(n0)次多项式在复数域中至少有一个根.证略11231321 2 xxxxxf 1 1111ni niiii aaaxxbxf 定理 2.7.2 任何 n(n0)次多项式在复数域中有 n 个根（重根按重数计算）.证 设 f(x)是一个 n(n0)次多项式，那么由定理 2.7.1，它在复数域 C 中 有一个根 1，因此在 Cx中 f(x)=(x- 1)f 1 (x)， 这里f 1(x)是 C 上的一个 n-1 次多项式。若 n-10,那么f 1(x)在 C 中有一个根 , 因而2在 Cx中 xfxf 21这样继续下去，最后 f(x)在 Cx中完全分解成 n 个一次因式的乘积，而 f(x
31、)在 C 中有 n 个根 . 复数域 C 上任一 n(n0)次多项式可以在 Cx里分解为一次因式的乘积。复 数域上任一次数大于 1 的多项式都是可约的。 2. N次多项式的根与系数的关系： 令 nnaxf 1是一个 n(n0)次多项式，那在复数域 C 中f(x) 有n 个根 因而在 n,21Cx中 f(x)完全分解成一次因式的乘积： nxxf21展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与（1）式右端的系数，我们得到根与系数的关系：na21132 ，nn12421213 nnnnna 3231211 ，其中第 k (k=1,2,，n)个等式的右端是一切可能的 k 个根的乘积之和，
32、乘以 kx若是多项式 nnaxaxf 10的首项系数 ,那么应用根与系数的关系时须先用 除所有系数，这样作多 0a 0项式的根并无改变。这时根与系数的关系取以下形式： n210 na13120 nn210利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式。例如，求有单根5 与-2 以及二重根本3 的四次多项式。根据根与系数的关系，我们得到 a 1=-(5-2+3+3)=-9, a 2 =5(-2)+53+53+(-2)3+(-2)3+33=17, a 3 =-5(-2)3+5(-2)3+533+(-2) 33=33, a 4 =5(-2)33=-90. 因此所求多项是 ，903179234xxf或 a
33、aax这里 a0. 3. 系数多项式的一些性质 定理 2.7.3 若是实系数多项式 f(x)有一个非实的复数根 a, 那么a的共 轭数 也是 f(x)的根，并且 a 与 a 有同一重数。换句话说，实系数多项式的非 实的复数根两两成对. 证 令 .由假设nnxxf 1001aa把等式两端都换成它们的共轭数，得0_10nnaa根据共轭数的性质，并且注意到 和 0 都是实数，我们有,11_0nn即 也是 f(x)的一个根。_因此多项式 f(x)能被多项式_2_ xxxg整除. 由共轭复数的性质知道 g(x)的系数都是实数. 所以 f(x)=g(x)h(x), 此处 h(x) 也是一个实系数多项式 .
34、 若是 是 f(x)的重根，那么它一定是 h(x)根，因而根据方才所证明的， 也是 h(x)的一个根。这样， 也是 f(x)的重根。重复应用这个推理方法，容 易看出， 与 重数相同. 由代数基本定理和定理 2.7.3 立即得到关于实数域上多项式的因式分解 的以下定理. 定理 2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭 复数根的二次多项式. 定理 2.7.5 每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.关于求多项式 f(x)或方程 f(x)=0 的根的研究，集中在以下两个问题：1） 根的近似求法；2）根号解问题. 作业 P71: 1, 2, 3, 5.
35、 2.8 有理数域上多项式教学目的 理解本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法，并能利用这个判别 法来判断某些整系数多项式在有理数域不可约.掌握多项式有理根的求法并能熟 练地求出有理系数多项式的有理根. 重点、难点 艾因斯坦判别法，有有里根的必要条件. 教学过程 讲授、练习. 1.本原多项式 定义 若是一个整系数多项式 f(x)系数互素，那么 f(x)叫作一个本原多项 式。关于本原多项式，有以下的 引理 2.8.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式. 证 设给了两个本原多项式 mixaxaf 10njbbg并且设 mnji xcxccxf 10如果 f(x)g(x)不是本原多项式，那么一定存
36、在一个素数 p，它能整除所有系数由于 f(x)和 g(x)都是本原多项式，所以 p 不能整除 f(x) 的所有系数，也nmc,10不能整除 g(x)所有系数。令 和 各是 f(x)和 g(x)的第一个不能被 p 整除的系数。我iajb们考察 f(x)g(x)的系数 .我们有 jic0110 babababc jijijijijiji 这等式的左端被 p 整除。根据选择 和 的条件，所有系数 以及 ij 11,na都能被 p 整除，因而等式右端除 这一项外，其它每一项也都 01,bj jiba能被 p 整除。因此乘积 也必须被 p 整除。但 p 是一个素数，所以 p 必须整 jiba除 或 .这
37、与假设矛盾. iaj2.整系数多项式的分解 定理 2.8.2 若是一个整系数 n(n0)次多项式 f(x)在有理数域上可约，那么 f(x)总可以分解成次数都小于 n 的两个整系数多项式的乘积。 证 设 ，xgxf21这里 g 1(x)与 都是有理数域上的次数小于 n 的多项式. 2令 g 1(x)的系数的公分母是 b 1.那么 ,这里 h(x)是一个整系数多项式。又xhb11/令 h(x)的系数的最大公因数是 . 那么a，xfbg11这里 是一个有理数而 是一个本原多项式.同理，1baxf1fbag22这里 是一个有理数而 是一个本原多项式.于是2baxf2xfsrfbaxf 21212其中
38、r 与 s 是互素的整数，并且 s0。由于 f(x)是一个整系数多项式所以多项式 的每一系数与 r的乘积都必须被 s 整除。但 r 与s 互素，所以 xf21的每一个系数必须被 s整除，这就是说，s 是多项式 xf21的每系数的一个公因数。但 是一个本原多项式，因此 s=1,而 xf21frg21和 显然各与 和 有相同的次数，这样，f(x)可以 xrf1f212分解成次数都小于 n 的两个整系数多项式的乘积。 3.艾森斯坦因判断法及推广 定理 2.8.3 设 nxaaxf10是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数 p,使 （i） 最高次项系数 不能被 p 整除， n（ii） 其余各项的系数
39、都能被 p 整除， （iii ） 常数项 不能被 p 整除， 0a那么多项式 f(x)在有理数域上不可约。 证 若是多项式 f(x)有理数域上可约，那由定理 2.8.2,f(x)可以分解成两 个次数较低的整系数多项式的乘积： f(x)=g(x)h(x) 这里 kxbbxg10lcch并且 k0,而 vx-u 和 都是本原多项式。由此，和 f1定理 2.8.2 的证明一样，可以推得 s=1,而， xquvxf1这里 是一个整系数多项式，令rq11.1210nnnbxbx那么由(3)得110nnnnouva比较系数，得 ，这就是说整除 而整除 另一方面，比较 0,b0an（2）和（3），得 q(x
40、)=q1(x) ，所以 q(x)也是一个整系数多项式. 给定了一个整系数多项式f(x)，设它的最高次项系数 的因数是 ,0kv,21它的常数项 的因数是 。那么根据定理2.8.4，欲求的有理根，我们只nalu,21需对有限个有理数 用综合除法来进行试验jivu/当有理数 的个数很多的时候，对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.面 ji/的讨论使我们能够简化计算。首先，1与-1 永远在有理数 中出现，而计算 jivu/f(1)与 f(-1)并不困难，另一方面，若是有理数 a( 1) 是f(x)的根，那由 定理 2.8.4, f(x)=(x-a)q(x), 而 q(x)也是一个整系数多项式。因此商 ，
41、 都应该是整数。这样，我们只需对那些使商 都是整数的 来进行jivu/1qxf1qf1ff试验。（我们可以假定 f(1)与 f(-1)都不等于零。否则可以用(x-1) 或(x+1)除 f(x) 而考虑所得的商式。） 例 求多项式 253234xxf的有理根. 这个多项式的最高次项系数 3 的因数是 1, 3 ,常数项-2 的因数是 1 , 2 所以可能的有理根是 1, ，我们算出，f(1)=12,f(-1)=-8./21，所以 1 与-1 都不是 f(x)的根。另一方面，由于8 ， 8 ， 121+2 1+2/3 1 +2/3都是整数，所以有理数-2, 在试验之列。应用综合除法,：3/1-2
42、3 5 1 5 -2-6 2 -6 23 -1 3 -1 0所以-2 是 f(x)的一个根。同时我们得到 123xxf容易看出, -2 不是 的根，所以它不是 f(x)重根。对 g(x)应 用综合除法：-1/3 3 -1 3 -1-1 2/33 -2 3（2/3）至此已经看到，商式不是系数多项式，因此不必再除下去就知道，-1/3 不是g(x)的根，所以它也不是 f(x)的根。再作综合除法：1/3 3 -1 3 -11 0 13 0 3 0所以1/3是 g(x)的一个根，因而它也是f(x)的一个根，容易看出，1/3不是 f(x)的重根。这样，f(x)的有理根是-2 和 1/3作业 P80: 1,2, 3, 4.所以 是 g(x)的一个根，因而它也是 f(x)的一个根，容易看出， 不是 f(x)的
