1、 第 四 章 多 项 式4.1习 题,(),.(-)-()()Zacdbqstcqadbcacbd1. 设 ,b已 知 (-+,求 证 (+d)证 明 ： 又 由 （ ） 得 （ ） （ ） 即 ,-()qZ 即 有1212,65(-3),65(-),65-78865(-)mmrcccr2.一 个 整 数 被 除 余 ， 被 除 余 ， 求 它 被 除 的 余 数解 ： 设 所 求 数 为 由 题 知 即 有令 ， ， 则 有 故 有 172358297,51-143-14320,0314ababba3. 对 于 下 列 的 整 数 ， 分 别 求 出 以 除 所 得 的 商 和 余 数 ：（
2、 ） , （ ） , （ ） （ ）解 ： ） 由 带 余 除 法 ， 可 表 示 为 故 商 为 ， 余 数 为 ； ） 同 理 得 故 商 为 ， 余 数 为 ；） 由 知 商 为 ， 余 数 为 ； 49595） 由 知 商 为 ， 余 数 为 。.()01bqZbaqb.证 明 ： 若 ,则证 明 ： 由 可 得 又 又 1,).b1 5. 设 a,b是 不 全 为 零 的 整 数 ， 且 a=d,b,aZ证 明 d是 与 的 一 个 最 大 公 因 数 的 充 分 必 要 条 件 是 (11114.3,.0(,) ,uvZstuvduadbabuvabuvdd证 明 ： 根 据 定
3、理 得 即又 故 有 即 则 有综 上 所 述 ， 结 论 得 证6.(,)1(,)1.(1),.(),1,1abdZuvZstuvabab 证 明 ： 若 则证 明 ： 反 证 假 设 （ ） 且 故 （ ） 与 （ ） 矛 盾,7. . .,()(),.apapbpmnbkZapkmbknbknp（ ） 设 是 一 个 大 于 的 整 数 且 具 有 以 下 性 质 ：对 于 任 意 整 数 ， ， 若 ， 则 或 证 明 是 一 个 素 数 证 明 ： 令 又 当 不 整 除 ， 有 ， 不 整 除 又 有 ， 不 整 除 或 ； 不 整 除 或若 为 合 数 ， 那 ,mppb么 由
4、可 知 必 为 素 数 ， 否 则 同 理 可 证 当 不 整 除 时 ， 也 必 为 素 数4.2习 题2 4324321.,(1)()511()5-,31khmxhkxxmhkkh 求 使解 ： 对 于 左 边 即 有 解 之 得 432322.()4,()54.,().fxxgxxgff 设计 算 43243270654329()6()()91186kkifxxgfabxxx解 ： 由 题 得 令 3223.()5-,(),.-1039()04. .()()fxggfxxfsffxfx设 求 乘 积 的 次 数 及 其 系 数 和解 ： 根 据 得 令 则 有 的 系 数 和证 明 ：
5、当 时 ， 是 偶 次 多 项 式证 明 ： 又 有 根 据 定 理24.1()()(), ffxfxnN 的 （ ） 知 （ ） （ ） （ ）再 令 （ ） 结 论 得 证2225.(),()(),()0.,11322fghxxfxghxfghfhgf设 是 实 数 域 上 的 多 项 式 证 明 如 下 若 是 则 证 明 ： 令 （ ） （ ） （ ） 当 时 ， 有当 时 ， 有 当 时 ， 有 或222214() (),()(),06. (),()()(),()1hfxxgfxghfxhfxixh又 由 题 可 知 是 偶 次 多 项 式 ， 又 由 于 是 实 数 域 上 的 多
6、 项 式 故 的 次 数 不 存 在即 求 一 组 满 足 上 题 结 论 的 不 全 为 零 的 复 系 数 多 项 式解 ： 令 ， 即 ， 0()(),()1xghffxi 满 足 条 件即 ， 4.3习 题3221.()1,()31,().fxxgxgxfqr设 求 用 除所 得 的 商 式 和 余 数232279311753149217(),()399()xxxxqxrxfg解 ： 故 即243232 412122122., (1)()?0, ()()3.()()(),: ,mpqxmxpqprqxxpqgxfxgfuuF在 适 合 什 么 条 件 时 ，解 ： 由 题 知 当 余
7、式 时 有 即 当 时 有 设证 明 其 中 为 中 任 意 两 个121211()()(),3()(ifxfxxgffgxuxFi多 项 式 证 明 ： 即 根 据 多 项 式 整 除 性 质 ） 可 知 1212 1,2).()(),1,. ()4.(1),(),(.,iostxuffxitgffxfxff 再 根 据 性 质 ） 得 若 则证 明 ： 1212)()(1)2xuxFf 1)()-()-(uxxxfx 得21)(-(21()0ouFxffx 故 即 或 时 ， 可 得 出同 样 结 论 成 立12122122 125.()()(,)()(2(),(),()()gxfgffx
8、xxffxgxgfx 若 则 且 对 吗 ？若 则 或 对 吗 ？解 ： （ ） 不 对 如 ： 令 可 见 而 不 整 除 和 （ 212122()-,(),()()xffxxfx） 不 对如 ： 令 可 见 而 不 整 除 和(1)(2)6. ,.,1()( ).(0),()1,(1)(dnndqdqdqd nnnqdrqrndxxxx 证 明 ： 的 充 分 必 要 条 件 是 （ 这 里 是 正 整 数 ）证 明 设 ， 即 则 即设 ， 令 则 且212 12)0,0.7.()13.(),()()(1)(dqdr xxrdnfuxFxstuxf,又 故 ， 即 设 被 除 的 余 式
9、 为 ， 被 除 的 余 式 为 ，求 被 除 的 余 式解 ： 设 ， 31202. 3()-()()-()434-10xtf rxxxr 又 ， （ ） 有 （ ） （ ） （ ）由 （ ） ， （ ） 可 得 习 题 4.43242243 312()2 4221(-)1.)(,();1.()fxxgxxf xAgxx 计 算 以 下 各 式 多 项 式 的 最 大 公 因 式 ： 解 ： 由 13332() ()1()42200xx 224324312()2221(-) 2(1)1()21()()4) 13x xdxfxAgx 由 30dx:2.(),(),0,)().,()(),(),
10、fxgFxabcdFabcabcfgfxgdfxabxdcfxdhf另 而 ， ， ， 并 且 证 明 证 明 ： 令 即 有 （ （ 又 设 （ ,()-0()()-()-(),(),()ghfgxcbfxafxcfddbadggxgchxfhxh （ 有 （ （ （ （ 从 而 有 ,(),afbdffx 即 （ ， 即 3.()0,() ()(),(.(),.()-1,(),()(gx gfxgxhxstfhrrfgrxfxfg 设 为 任 意 多 项 式 ， 证 明 ： 证 明 ： 故 即由 引 理 可 知 ， 即 ),(1212124.)(,)(,),().(,),.hfgfffgh
11、FxddfuvFxstufv证 明 ： 是 与 的 最 大 公 因 式 ； 此 处 都 是 的 多 项 式证 明 ： ） 设 即 从 而 有 即 是 与 的 公 因 式 又 由 得 121121221214.2)(,),(),();,(,)(),ufhvgdfhgfmnmfnffnggfgkl 由 定 理 知 是 与 的 最 大 公 因 式 设 即 从 而 有 又 由 知22121112221121,.,(,),)(,)Fxstkflklflflmmnfgfgf 即 有 由 此 可 知 从 而 有 43232324325.(),()()(),:1,1021659544310010uxvxfvg
12、xfgxf xxxxx2求 使解 ： ） （ A(),I） =223 22 232 05959 1313656355919165xxxxxxxx 3- 222432 3350*1,()512691034540xxxv xxx 2 u()= )（ A,I） 22222213134()13130*3(),() xxxx xxxuv 4322432436.()1,(),().(),()(),)(1ofxABxgxABfxgfxabxcaFfabcxABxA设 试 决 定 使 与 的 最 大 公 因 式 为 二 次 多 项 式解 ： 由 于 （ ） 即 为 最 大 公 因 式 故 不 妨 设 即 有
13、-23,1,-013,-4bBacA 解 得 即 7.(), (),()(),(),1,() *,.fxgfxguxfvgxuxvfxuvuvffmnFxs 设 不 全 为 零 ， 且 证 明 ：证 明 ： （ ） 有 ， 再 由 （ ） ()()()1- 1()()()22tffggxxvufnvnuxf 即 （ ） （ ） （ （ ） 将 （ ） 代 入 （ ） ， 消 去 得 -1-()()()(),()01- ()()()4.5,()1mxvgxmvgxfgnvununuxx（ ） （ ） 不 全 为 零 即 令 由 定 理 得8.(),1. (),(1.,(),1.()(),1nmn
14、on nfxgfxgfxgkFkxggxkf设 令 是 任 意 正 整 数 ， 证 明 ： 由 此 进 一 步 证 明 ： 对 于 任 意 正 整 数 都 有证 明 ： 易 见 即 st ()又 ()()1()(,1()()()nnm mfxgfxkfgxflFfxlfflouv s.t uv (2)将 （ 1） 代 入 （ 2） 得 由 定 理 4.5 知2易 见 即 s.t (),(1 ()()1(),1n nmmnxguxfvxgxlfg(3又 uv s.t (4)将 （ 3） 代 入 （ 4） 得 由 定 理 .5知 1 119.(),()(,)(),()1., ()()fxgfxfx
15、fxgfxdFuvFufvfdx设 证 明 ：证 明 ： 令 s.t即 1()(),(),(),()1fxvgxfgfxgfx 故 即 同 理 可 证 得 再 根 据 互 素 性 质 可 知 10.(),()0,:()()(),12, (),(),1(),()1,fxghfhfhfxfxgfxgfxgfdfdm设 证 明 ） 若 对 于 任 意 多 项 式 由 可 得 到 则 必 有 ） 若 对 于 任 意 多 项 式 由 可 得 到 则 必 有证 明 ： ） 假 设 则 有 ()()()()()xxnmxfxfhgf 其 中 （ ） （ ） 又 （ 为 任 意 多 项 式 ） 即 有 ()(
16、)(),12,1()(),()()fxmxfxggddmhf gxxf 但 不 整 除 ， 从 而 矛 盾 ， 故） 假 设 ， 且 令 即 有 （ ）又 ,()()()1,1gdmxfx （ ） （ ）故 （ ） （ ） 与 （ ） 矛 盾 121112 1212.(),().,(),(),(),(),(),()nkknnn nffFxxffxffxknff uxuuff 设 证 明 ： ） 互 素 的 充 分 且 必 要 条 件 是 存 在 多 项 式 ， 使 得12 1121,(),(),(),(),();(),2,n kknis tff ddxxdfikxftnx 证 明 ： ） 设
17、21 212(),(),;(),1,2(),(,()1is ti ndxcifkdxftkxicdfxfx 设 结 论 得 证 。 ） 归 纳 法 ： 由 题 知121211 -(),()()-,() (nnn nsuxuFffuf nkpxqdfdxf 当 时 ， 结 论 显 然 成 立 ， 今 假 设 命 题 对 成 立 ， 即 存 在 多 项 式 ， 使 成 立 ， 再 证 命 题 对 也 成 立 ） 中 取 于 是 存 在 和 ， 使（ ， ） 12112)()()()(),()nnii npxuffxqfxvufxff 令 得 于 是 有 即 命 题 对 成 立 ， 结 论 得 证习
18、 题 4.51.(), (),().(),.() 011()(),pxqpxqpxcqdxstqxdapFxcacq 设 都 是 不 可 约 多 项 式 ， 证 明 ： 如 果 那 么证 明 ： 假 设 由 此 可 以 看 出 为 可 约 多 项 式 ， 即 只 能 是 不 为 的 常 数即 则 令则 有 1212112.() .()()(),() ,.()()(xpxfpfxpxfFstpxpxp 设 是 数 域 上 的 次 数 大 于 零 的 多 项 式 证 明 ： 如 果 对 任 意 多 项 式 ， 或 者 ， 或 者那 么 是 数 域 上 的 不 可 约 多 项 式 。证 明 ： 假
19、设 在 数 域 上 可 约 ， 于 是 令 的 首 项 系 数 为 ， 因 此 有不 整 除 ， 且 11),()()xpxf ， 这 与 的 任 意 性 矛 盾 在 数 域 上 不 可 约 1212 123. .:(),(),()()()()().()xFfxgxpfxgpxfxgpxpx设 是 数 域 上 次 数 大 于 零 的 一 个 多 项 式证 明 对 于 任 意 如 果 就 有 或 ， 那 么 不 可 约证 明 ： 假 设 可 约 ， 且 则 ， 作 不 整 除 或 不 整 除显 然 与 已 知 矛 盾 不 可 约121212124., (),()().(),()1(),i ipF
20、 fxFfipxffipxxfp 设 为 中 两 个 不 同 的 首 项 系 数 为 的 不 可 约 多 项 式 ， ， 若 ， 证 明 ： 这 个 命 题 能 否 推 广 ？叙 述 并 证 明 。证 明 ： 由 已 知 有 ， ， 且 （ ） 由 互 素 性 质 有命 题 推 广 得 ： 若 （ ， 12,(),2()nixfinxf ， ） ， ， 则 有运 用 数 学 归 纳 法 可 证 得4242422225.()1()1()1()() :)():fxQRCfQxxxxfxRfC 求 多 项 式 在 有 理 数 域 、 实 数 域 和 复 数 域 上 的 典 型 分 解 式 。解 ：
21、在 有 理 数 域 上 的 典 型 分 解 式 为 ： 在 实 数 域 上 的 典 型 分 解 式 为 在 复 数 域 上 的 典 型 分 解 式 为 ()(1)xixix12 126.(),()1,.()()(),()(),1, lrs ikkkiijjjfxhfxfapphxbqxqkxcmxfhf 已 知 试 用 本 节 知 识 证 明 ：证 明 ： 令 ， 其 中 ， 由 于 ， 故 有12 2112 2 12 ()()()()() ()lr slr ikkkii jjjikkkii jj qxxpxpmmqm ， ， ， ， ， ， ， 两 两 互 素， ， ， ， ， ， ， 两
22、两 互 素 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1212()()()(),s l sj i jii jjxhxbcqqxxfk ， ， 两 两 互 素 而因 此 有 7. ()()()()().()()()pfgfpxfxgpxffxfpgxpgfx证 明 ： 如 果 不 可 约 多 项 式 能 整 除 及 ， 那 么 一 定 能 整 除 及证 明 ： 因 为 不 可 约 ， 且 则 或而 利 用 可 得 若 ， 则若 ， 则 故 f且211118.1)(,)(),(;)(.,()(),(),nnnfgfgxxfdffxdxfxggf利 用 唯 一 因 式 分 解 定 理 证 明 以 下 事
23、实 ： 的 充 分 必 要 条 是证 明 ： ） 令 则 121211 1(), (),()2() ()(),() rrnnnnnkkkkkfdfxdxgxappgfxpxf结 论 得 证 ） 设 的 标 准 分 解 式 是 ： 若 不 整 除 而 ， ， ， 两 两 互 素 ， 则 其 中 必 有 一 个 不 整 除 ， 不 妨 设 不1 12 22 ()()()(),.k k fpxxffg整 除 ， 不 整 除 ， 而 又 已 知 ， 故 矛 盾 故22()()()gxffxghf 由 于 ， 则 那 么 因 此 4.6习 题1.证 明 下 列 关 于 多 项 式 的 导 式 的 公 式
24、 ：)()();2().fxgfxgfx43.()11()2()1,()4,(),-132pfkxfkfxfxpxkpfk设 是 的 导 式 的 重 因 式 。 证 明 ： 未 必 是 的 重 因 式 ；是 的 重 因 式 的 充 分 必 要 条 是 什 么 ？ 并 证 明 你 的 论 断证 明 ： ） （ 例 证 ） 若 则 即 然 而 却 不 是 的 因 式 故 未 必 是 的 重 因 式） 1122()()() 1(), ,()2nkfpf fxkxpfhfxhpxF是 的 重 因 式 是 的 因 式 ， 且 是 的 重 因 式 证 ： 由 定 义 ， 显 然 有 是 的 因 式 ， 且
25、 是 的 重 因 式 不 妨 设 其 中 不 整 除 、 由 定 义 1112121()()()()()()-,n kfpxhxxxhknk AA， 得 又 不 整 除 、 、 、 不 整 除 故 若 要 （ ） 成 立 ， 只 得 即 结 论 得 证 。54324324325432323.()87 612887558617185f xfx xxxx试 问 有 无 重 因 式 ？ 若 有 ， 则 求 其 重 因 式解 ： 又 有 32232 0(),()1)(-()xfxxgxf （ ） 又 有 （ ） 即 因 此 的 不 可 约 因 式 为 ，4()-2(1),()mnfxxf 即 即 有
26、重 因 式 ， 为 4433 324. ()10()23,()*abfxabbf xaxabbxafa 试 问 ， 满 足 什 么 条 件 时 ， 有 重 因 式 ？解 ： 当 时 ， 显 然 有 重 因 式 当 时 ， 由 于 有 （ ，43434343 1(),.62()07027()bxbfbaaabbfx） 且 有 依 据 定 理 可 知 有 重 因 式而 当 时 ， 也 满 足 ， 即 综 上 ： 当 时 ， 有 重 因 式52543232432223.()()78150154480()fxxQf xxxxxf求 在 上 的 典 型 分 解 式 。解 ： 由 于 又 由 于 （ ）
27、（ 2x）2432()1()(1)()6.()1)-2mnxffxQfxABxf abcabc 的 不 可 约 因 式 只 有 +,-可 设 计 算 得 =,n2在 上 的 典 型 分 解 式 为 +x-决 定 ， ， 使 有 二 重 因 式解 ： 可 设 3,-401AB 即 有 4.7习 题5435321.()21.(),2-35014369(3)109272.5()2750fxxfffxxx设 求解 ： 利 用 综 合 除 法 ， 即 同 理 判 断 是 不 是 多 项 式 的 根 ， 如 果 是 的 话 ， 是 几 重 4324. ()()053.-25152- fft fxxtt根
28、？解 ： 依 据 定 理 知 假 设 是 根 ， 则 有 又 由 综 合 除 法 判 断 得 知 ， 矛 盾故 不 是 多 项 式 的 根为 何 值 时 ， 是 多 项 式 的 根 ？解 ： 由 综 合 除 法 计 算 ， 即 若 -0tt是 根 ， 则 必 有 ， 即 (1)()-1(4.()() .0 1,()2,()()()kkk kkcfxf fcff xfxkfxffccf （ ） （ ）证 明 ： 是 的 重 根 的 充 分 且 必 要 条 件 是 证 明 ： 设 是 的 一 个 重 根 ， 则 是 的 重 根 是 的 重 根 是 的 单 根 ， 而 不 是 的 根 ， 从 而 结
29、 论 成 立设 1)(1)0,0()kccl lkffflklkcx ， 而 又 设 是 的 重 根 则 由 于 ， 故 由 必 要 性 知 ，又 由 于 故 必 ， 从 而 ， 即 是 的 重 根3232432 25.5()()(),1,316.()1.0)( ,-1,47xaxbdabcf axfxf abb 设 求解 ： 利 用 综 合 除 法 计 算 ， 可 得 设 试 求解 ： 若 要 使 ， 利 用 综 合 除 法 可 得 54254325437.1)(,1;23,.()(1)()(1)(),0,5,1fxafxafxbcxdexfaffx将 下 列 多 项 式 表 示 成 的 多
30、 项 式 解 ： ） 不 妨 设 利 用 综 合 除 法 ， 有 22)()2)8()()4()xxx 同 理 有32328.4()(0)4,(1)0,(2)1,(3)8() -841279381,-()9. fxfffffxabcdabcdabcfxx求 一 个 次 数 小 于 的 多 项 式 ， 使解 ： 不 妨 设 利 用 综 合 除 法 有 即令 3322 2323233626()()10.-1-1,()0()1)gfxgxf iixfxgf， 是 两 个 多 项 式 ， 并 且 可 以 被 整 除 ， 证 明证 明 ： 由 的 二 根 为 有 故又 （ ） 有 22 110()ffg
31、 （ ） 又 ， 方 程 组 （ ） 有 唯 一 解 ， 且 为 零 解即 4.8习 题 321231231232131222312313131233.() :) .(),fxabxcfxxb设 三 次 多 项 式 的 根 是 ， ， ， 求 以 ， ， 为 根 的 多 项 式 ；以 ， ， ， 为 根 的 多 项 式解 ： ） 设 多 项 式 为 则 （ ） （ ） 122312131123233(), ,()fxabxccbcfxx ， ， 是 的 根 （ ） 3213221312231 23131231221)()(fxcxccabcb 设 多 项 式 为 （ ） 22222221231
32、313131323222()()()accafxbxx 又 （ ） 422 22.615.()()-)445(, 3()1()- ififxifxifqxxxf设 有 一 根 为 ，求 在 复 数 域 与 实 数 域 上 的 典 型 分 解 式解 ： 是 的 根 ， 因 此 也 是 的 根（ ） 在 复 数 域 的 典 型 分 解 式 为 ： 2 2123412 4-)(1)()45(3. .-)-)(-)()(iixfxfx xxabaxbcxd在 实 数 域 的 典 型 分 解 式 为 给 出 首 项 系 数 为 的 四 次 实 系 数 多 项 式 在 实 数 域 上 所 有 不 同 类
33、型 的 典 型 分 解 式解 ： 3221222123 -(-)x824.)- .( 1-1)(-)()()-()221-()fxiiiifxixxii 求 在 复 数 域 及 实 数 域 上 的 典 型 分 解 式解 ： 在 复 数 域 的 典 型 分 解 式 为 （ ） （ ） 2221(-)1()()()iixxf x 在 实 数 域 的 典 型 分 解 式 为 ： 225.121.12() ()()-()-31iifxifxffx求 一 个 首 项 系 数 为 ， 并 以 为 单 根 ， 为 重 根 的 次 数 最 低 的 复 系 数 多 项 式 及 实 系 数 多 项 式解 ： 为
34、的 根 ， 则 在 实 数 域 中 也 为 的 根 在 复 数 域 上 为 在 实 数 域 上 为 （ ）6.(),()() .1()2(),().()()()()fxCfxfggxfdffxhfhxgffx设 表 示 的 系 数 取 共 轭 复 数 为 系 数 的 多 项 式 证 明 ： 的 充 分 必 要 条 件 是 ； ） 是 实 系 数 多 项 式证 明 ： ） ()()2,()()()(),()(hfgxfdfxdqhfxxfdd 故） ),1()xx且 均 为 首 故 是 实 系 数 多 项 式 10221027. ,()()()()()()() tllttfRfxfxxfaxbx
35、abfl证 明 ： 若 且 无 实 根 ， 则 是 偶 数 .证 明 ： 无 实 根 在 上 的 典 型 分 解 式 为 ： 是 偶 数4.9习 题1 0101011.().:,().(,)(,),(,)n nnnfxaxfxaaxfx 设 是 一 个 次 本 原 多 项 式 证 明对 于 任 意 整 数 多 项 式 及 都 是 本 原 多 项 式解 ： 是 一 个 次 本 原 多 项 式 ， 不 妨 设 系 数 为有即 也 有 多 项 式 及 都 是 本 原 多 项 式5433222.1)(682714)(,1,-8-6,4,)2(1()pfxfxppfxQfqx 判 断 下 列 多 项 式
36、 在 有 理 数 域 上 是 否 可 约 为 奇 系 数解 ： ） 令 且 不 整 除 ， 不 整 除 在 上 不 可 约） 有 有 理 根 （ ） 121)3),(15(-),()4()-) (),12,3()iipppipuuvvfffxxQygfyCyCyCyfxQ 在 上 可 约 无 有 理 根 在 上 可 约） 令 在 有 理 数 域 上 不 可 约故 在 上 不 可 约3. () ()()3, 1(),()()()fxfxfphx hxafaxfx 证 明 Q上 三 次 多 项 式 可 约 的 充 分 且 必 要 条 件 是 有 有 理 根 .证 明 ： 三 次 多 项 式 可 约
37、 的 次 数 至 少 有 一 个 为 次 ， 令 有（ ） 有 有 理 根设 有 理 根 为 ()qQ（ ）在 上 可 约221212212114,(),()()5. ,.(),()tntntt txfxfxQf pnfxp 证 明 是 无 理 数证 明 ： 令 设 在 上 不 可 约 无 有 理 根 ， 而 是 它 的 根故 是 无 理 数利 用 艾 森 施 坦 因 判 别 式 证 明 ： 若 为 个 互 不 相 同 的 素 数 ， 是 一 个 大 于 的 整 数 ， 那 么 是 一 个 无 理 数证 明 ： 设 1212 ,1(6.().0)1().()(0,1ttntt pfQfxpfx
38、f fxfaxqff 不 整 除 在 上 不 可 约 又 是 它 的 根 ， 但 又 没 有 有 理 根故 是 一 个 无 理 数设 是 一 个 整 系 数 多 项 式 证 明 ： 若 与 都 是 奇 数 ， 那 么 不 可 能 有 整 数 根证 明 ： 假 设 有 整 数 根 )(,1,()qaafx 与 都 是 奇 数也 必 须 是 奇 数 ， 但 不 可 能 同 时 为 奇 数 无 有 理 根42532327.1)(712643)(1,1,24()-9()11407-5-40-752i ifxxfvuff求 下 列 多 项 式 的 有 理 根 解 ： ） -1268620-7106375
39、34 41516-2 只 有 是 ()fx的 根213,()-32()0-113()-,32(iivufffxf） ， ， 是 其 根 ， ， 在 验 证 之 列 ， ， 在 验 证 之 列 经 验 证 ， 为 的 一 有 理 根 ， 不 是 为 的 有 理 根 ） 32)2()64114,2()7()9119-2- -2i i fxxvuff与 有 同 样 有 理 根 ， ， ， ， ，又 ， ， 故 不 是 有 理 根 而 ， ， 故 在 验 证 之 列， 不 整 除 ， 故 不 在 验 证 之 列 同 理 可 得 ： 在 验 证 之 列 ， 41()2()fxf ， 不 在 验 证 之
40、列经 验 证 ， 有 有 理 根 即 有 有 理 根4.10习 题3322221231211314325163.(,)Ffxaxaxbxbxbc写 出 数 域 上 元 次 多 项 式 的 一 般 形 式解 ： 22232 231113313123. 554)2514fgxxxfgf fgxxxg设 用 字 典 排 列 法 写 出 与 ， 并 求 出 其 乘 积 的 首 项 把 与 分 别 写 成 齐 次 多 项 式 的 和 ， 并 求 出 的 次 数解 ： ） 221332 3113138()(5)542()7fxxxfg 的 首 项 为 ： ） 3. 0()0hnhfhgfffgf设 ， ，
41、 均 为 元 多 项 式 ， 且 ， 证 明 ： 若 ， 则证 明 ： 而 ， 根 据 定 理 1可 得 123 12331234.(,)(,)(,)0fxkxkkfxF设 是 次 齐 式 ， 证 明 ： 仍 是 次 齐 式 ， 且 ， 这 里12 121212125.(,)(,)(,)(,)(,)n nnnnf fgxhxgxh 设 是 齐 次 多 项 式 ， 若 ， 则 与 也 是 齐 次 多 项 式 。证 明 ： 反 证 法 4.习 题 1233123,xfx写 出 关 于 的 三 次 奇 次 对 称 多 项 式解 ： 12 122. s iis iff fmmm 设 是 一 个 对 称
42、 多 项 式 ， 是 次 奇 次 多 项 式 ， 且 ， ， ， 互 异 ， 证 明 ： 每 个 都 是 对 称 多 项 式2 222222113313131232103.()()4(,)210xxxxxx用 初 等 对 称 多 项 式 表 出 下 列 对 称 多 项 式 ： ） ） 解 ： ） 对 称 多 项 式 首 项 为 ， 的 方 幂 为 （ ， ， ） ， 即 2 222222213312123113313123132()()3()(xxxxxxx又 所 以 原 式） ） 221332132121331232131213133)()xxxxxxx （ ） （ ） 由 于 所 以 ，
43、原 式 23222 31 221134233211212332123()()()-xxxxxABCD） （ ） （ ） （ ） 由 此 可 知 原 多 项 式 是 六 次 对 称 多 项 式 ， 各 种 可 能 为， ， ， ， 所 以 ， 原 式 22213 1231313 1,000-4-27163DxxBxxAC （ ）利 用 待 定 系 数 法 求 令 ， ， 那 么 原 式 左 边 ， 另 外 ， ，代 入 式 （ ） ， 得 令 ， ， 得令 ， ， 得 （ ） 令 ， 得 （ ）3321212123-487由 （ ） ， （ ） ， 得 ， 原 式321232 213132123
44、123214. 56780()()()167855(axaaa设 ， ， 是 方 程 的 三 个 根 ， 计 算 （ ）解 ： 令 所 以 ， ， 再 将 式 （ ） 化 为 初 等 对 称 多 项 式 ， 得 222232313111679)()() 5aa3211212323 1212131335. 0 :970-0xx证 明 ： 三 次 方 程 的 三 个 根 成 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是证 明 ： 设 原 方 程 的 三 个 根 为 ， ， ， 则 它 们 成 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 为 ， 或 ， 或即 （ ） （ ） （ ） 而 左 端 是 对 称 多 项 式 ， 将 它 表 成 初 等1232133121239797970aaa对 称 多
