1、第八章 -矩阵本章主要介绍 -矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。1 -矩阵如果一个矩阵的元素是 的多项式，即 的元素，这个矩阵就称P为 -矩阵。为了与 -矩阵相区别，我们把以数域 P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。由于数域中的数也是 中的元素，所以在 -矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为 -矩阵的一个特殊情形。同样可以定义一个 -矩阵的行列式，既然有行列式，也就有 -矩阵的子式的概念。利用这个概念。我们有定义 1 如果 -矩阵 中有一个 级子狮不为零。而所有)(Ar)1(级子式（如果有的话）全为零，则称 的秩为 ，零矩阵的秩规r r定为零。定义 2 一个 的 -矩阵
2、称为可逆的，如果有一个 的n)( n-矩阵 使)(B= = （1）)(AB)(AE这里 是 级单位矩阵。适合（1）的矩阵 （它是唯一的）称为En的逆矩阵，记为)(A)(1关于 -矩阵可逆的条件有定理 1 一个 的 -矩阵 是可逆的充分必要条件为行列式n)(A是一个非零的数。|)(|2 -矩阵在初等变换下的标准形-矩阵也有初等变换。定义 3 下面的三种变换叫做 -矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 ；c（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍， 是一个)()(多项式。初等变换都是可逆的，并且有 )()(,),( 111 cipijpji ,
3、 )(,)(1jipji。为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：代表 行（列）互换位置；,jiji,代表用非零的数 去乘 行（列） ；)(cci代表把 行（列）的 倍加到 行（列） 。jij)(i定义 4 -矩阵 称为与 等价，如果可以经过一系列初等变)(AB换将 化为 。)(AB等价是 -矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：（1） 反身性：每一个 -矩阵与自己等价。（2） 对称性：若 与 等价，则 与 等价。这是由)(AB)(A于初等变换具有可逆性的缘故。（3） 传递性：若 与 等价， 与 等价，则 与)()(C)(等价，)(C引理 设 -矩阵 的左上角 ，并且 中至少有一
4、个)(A0)(1a)(A元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 等价的矩阵 ，)(B它的左上角元素也不为零，但是次数比 的次数低。)(1定理 2 任意一个非零的 的 -矩阵 都等价与下列形式的矩ns)(A阵 0)()(21 rdd最后化成的这个矩阵称为 的标准形。)(A例 用初等变换化 -矩阵3 不变因子现在来证明， -矩阵的标准形是唯一的。为此，我们引入定义 5 设 -矩阵 的秩为 ，对于正整数 ， ，)(Arkr1中必有非零的 级子式。 中全部 级子式的首项系数为 1 的最)(Akk大公因式 称为 的 级行列式因子。)(kD)(由定义可知，对于秩为 的 -矩阵，行列式因子一共有 个。行列
5、式rr因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的。定理 3 等价的 -矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为 0)()(21 rdd其中 ， ， ， 是首项系数为 1 的多项式，且)(1d)(2 )(rd。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果|ii 1,一个 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 级子式一定k k为零。因此，为了计算 级行列式因子，只要看由 列k ii,21组成的 级子式就行了，而这个 级子式等于)1(2riik )()(21 kiii dd显然，这种 级子式的最大公因式就是。)()(21k定理 4 -矩阵的标准形是唯一的。定义
6、6 标准形的主对角线上非零元素 称为 -)(,)(,21kdd矩阵的不变因子。定理 5 两个 -矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子。由(3)可以看出，在 -矩阵的行列式之间，有关系。 )(|)(1kkD)1,2(rk（4）在计算 -矩阵的行列式因子时，常常是先计算高级的行列式因子。这样，由（4）我们就大致有了低级行列式因子的范围了。作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形。设 为一个 可)(An逆矩阵，由定理 1 知,|)(|dA其中 是一非零常数。这就是说，d。1)(nD于是由（4）可知， 。1)(k ,2k因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 。反过来，与
7、单位矩阵等价的矩E阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。这就是说，矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价。又矩阵 与 等价的充)(AB分必要条件是有一系列初等矩阵 ， ， ， ， ， ，使1P2, l1Q2, t得= 。)(A12 l)(B12t特别地，当 = 时，就得到)(BE定理 6 矩阵 是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。由此又得到矩阵等价的另一条件推论 两个 的 -矩阵 与 等价的充分必要条件为，有ns)(AB一个 可逆矩阵 与一个 可逆矩阵 ，使s)(Pn)(Q= 。)(P4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵 的特征值和特征向量时曾出现过 -矩阵 ，AAE我
8、们称它为 的特征矩阵。这一节的主要结果是证明两个 数字矩阵n和 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 和 等价。AB AEB引理 1 如果 数字矩阵 ， 使n0PQ= （ ） 00Q（1）则 与 相似。AB引理 2 对于任何不为零的 数字矩阵 和 -矩阵 与 ，nA)(UV一定存在 -矩阵 与 以及数字矩阵 和 使)(QR0V=（ ） + ， )(UE)(Q0（2）= （ ）+ 。 )(VA0（3）定理 7 设 ， 是数域 上两个 矩阵。 与 相似的充分必ABPnAB要条件是它们的特征矩阵 和 等价。EB矩阵 的特征值 的不变因子以后就简称为 的不变因子。因为两个 -矩阵等价的充分必要条件是它们
9、有相同的不变因子，所以定理7 即得推论 矩阵 与 相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。应该指出， 矩阵的特征矩阵的秩一定是 。因此， 矩阵的nnn不变因子总是有 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式。以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的不变因子。5 初等因子这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 是复数域。P上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量。为了得到若当标准形，再引入定义 7 把矩阵 （或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子AA分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次
10、因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 （或线性变换 ）的初等因子。例 设 12 级矩阵的不变因子是1， 1（9 个） ， ， 。 )1(22)(12)(按定义，它的初等因子有 7 个，即， ， ， ， ， 。2)(2)(2)()(2)(i2)(i其中 出现三次， 出现二次。211现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系。首先，假设 级矩n阵 的不变因子 ， ， ， 为已知。将A)(1d)(2 )(nd)(id分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：),21(ni= ，)(1 rkkk 1121 )()()= ，)(2d rkkk 2221 )()() = ，)(n nrnn kkk )(
11、)()21则其中对应于 的那些方幂1ijkijk)()1(ij就是 的全部初等因子。我们注意不变因子有一个除尽一个的性质，即A，)(|1iid),2ni从而。jiij kjk,1)(|)( ),21;,(rj 因此，在 ， ， ， 的分解式中，属于同一个一次因式)(1d2 nd的方幂的指数有递升的性质，即。njjj kk21 ),21(r这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在 的分解中，方次次高的必定出现在 的分解中。如此顺)(nd )(1nd推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的。上面的分析给了我们一个如何从初等因
12、子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法。设一个 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等n因子中将同一个一次因式 的方幂的那些初等因子按)(j),21(r降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足 时，就在后面补上适当个n数的 1，使得凑成 个。设所得排列为， ， ， njk)(jnkj,1)( jk1)(。),2(rj于是令1)()ikid2)(ik irk)(),21(n则 ， ， ， 就是 的不变因子。)(1d(2 nA这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似。反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子
13、。综上所述，即得定理 8 两个同级矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。引理 设=)(A)(00)(21gfgf=)(B)()(2112ff如果多项式 ， 都与 ， 互素，则 与 等价。)(1f2f)(1g)(2A)(B下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子。定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 为对角形式，然后将主E对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 的全部初等因子。A6 若当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若当标准形的计算问题。首先计算若当标准形的初等因子。不难算出若当
14、块nJ00011 的初等因子是 。n)(0事实上，考虑它的特征矩阵。0000 110 JE显然 = ，这就是 的 级行列式因子。|oJEn)(0oJn由于 有一个 级子式是1,100 )(01n 所以它的 级行列式因子是 1，从而它以下各级的行列式因子全是 1。1n因此，它的不变因子， 。)()(11nd nnd)()0有此即得， 。nJE0在利用5 的定理 9，若当形矩阵的初等因子也很容易算出。设421JJ是一个若当形矩阵，其中ikiiiiJ10010 ),21(si既然 的初等因子是 所以 与iJ ),2,()(sikiJEskJEs1与 skkk )(1)(1)(121 等价。因此， 全
15、部初等因子是：J， ， ， 。1)(k2)(k sk)(这就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的，由于每个若当块完全被它的级数 与主对角线上元素n所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子 中。因此，若当0 )(0块被它的初等因子唯一决定。由此可见，若当形矩阵除去其中若当块排列次序外被它的初等因子唯一决定。定理 10 每个 级的复数矩阵 都与一个若当形矩阵相似，这个若nA当形矩阵除去若当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的，它称为 的A若当标准形例 1 在第 5 节的例中，12 级矩阵的若当标准形就是12011010 ii例 2 求矩阵 41362ioA的若当标准形。定理 11 设 是复数域上 维线性空间 的线性变换，在 中必定nVV存在一组基，使 在这组基下的矩阵是若当形的，并且这个若当形除去其中若当块的排列次序外是被 唯一决定的。A定理 12 复数矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是， 的初等A因子全为一次的。定理 13 复数矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是， 的不变因子都没有重根。
