1、第一章 多项式1 用 除 ，求商 与余式 ：)(xgf)(xq)(r1） ；123,132 xgf2） 。)(5)(4xx解 1）由带余除法，可得 ；926)(,973xrq2）同理可得 。5)(,1)(2xx2 适合什么条件时，有qpm,1） ，qpx3|12） 。x24|解 1）由假设，所得余式为 0，即 ，0)()1(2mqx所以当 时有 。2mqppx32|2）类似可得 ，于是当 时，代入（2）可得 ；而当01)(2p01qp时，代入（2）可得 。0p1q综上所诉，当 或 时，皆有 。1qm2mp qpxmx242|13求 除 的商 与余式：()gxf()x1） ；5328,3g2）
2、。()()12fxxi解 1） ；432690()7qxr2） 。2(5)()98xii4把 表示成 的方幂和，即表成f0x的形式：2010200()().()nncxcxcx1） ；5,f2） ；420()3,xx3） 。20(1)7,fiiixi解 1）由综合除法，可得 ；23455(1)()10()5(1)()fxxx2）由综合除法，可得 ；42 23434()()8()(2)x3） 由综合除法，可得 2(1)7xiii。34(75)()()ii x5求 与 的最大公因式：fxg1） ；43232()41,()1xgxx2） ；32,()fx3） 。42432()1064xxx解 1）
3、；,()fxg2） ；(3） 。2), 1fxx6求 使 。(uv()()(),fvgfxg1） ；432432)4,fxx2） ；(1659()54xx3） 。4322),1fxxg解 1）因为 2(,)()fgrx再由 ，1122)()xqxr解得 ，22121()()()()()rxgqxrgqxfxgf于是 。21()()()uvxqxxA2）仿上面方法，可得 ，且 。(),1fg21(),()133uxvx3）由 可得 。(),fxg2,uxvx设 与 的最大公因式是一个二次多项32(1)t3()t式，求 的值。,tu解 因为 ，3221122()()()()fxqgxrxtuxu，
4、()()(4)(3)t tt且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式 为 0，即2rx，(24)03ut从而可解得 或 。12t23ut证明：如果 ，且 为 与 的组合，那么 是()|,()|dxfgx()dfx()g()dx与 的一个最大公因式。()fxg证 易见 是 与 的公因式。另设 是 与 的任一公因式，下证()fx()()xf()x。()|xd由于 是 与 的一个组合，这就是说存在多项式 与 ，使()fxg()sxt，()()xst从而由 可得 ，得证。|(),|fx()|xd证明： ， 的首系数为） 。(),()hgfghx证 因为存在多项式 使 ，,uxv()()xufvgx所
5、以 ，(),()()()()fxghuxfhvxgh上式说明 是 与 的一个组合。另一方面，由 知 ，(),|()fxfx,()|()fxfx同理可得 ，|gh从而 是 与 的一个最大公因式，又因为(),()fx()fx()gxh的首项系数为，所以 。,()(),()fgxhfxgh如果 不全为零，证明：(),fxg。(),1(),xffg证 存在 使 ，uxv()()()ufxvg又因为 不全为，所以 ，(),fg,0由消去律可得 ，()()1(),fxxuvgfg所以 。,1(),(),fxgfx11证明：如果 不全为零，且 ，那么()()(),uxfvgxfgx。(),1uxv证 由上题
6、证明类似可得结论。12证明：如果 ，那么 。(),1,()1fxgfxh(),()1fxgh证 由假设，存在 及 使1uv2uv（1）1()()xfx（2）22vh将（1） （2）两式相乘，得，121212()()()()()uxfxugxvhfxvg所以 。(),()1fxgh13设 都是多项式，而且1.,.,()mnfxg。(),(ijfx(2;1,.)ij求证： 。121).,)(mnfxxx证 由于，121(),(.(),(1nfgxf反复应用第 12 题结论，可得，12(),().(nfxgx同理可证，212(),().(1.,nmffxgx从而可得。1212().(),().1mn
7、ffgx14证明：如果 ，那么 。,xg,()ffgx证 由题设知 ，所以存在 使 ，()f ()uxv()1fvx从而 ，)()1uxvxfg即 ，()fx所以 。),1fxgx同理 。()再由 12 题结论，即证 。,()1fxfgx15求下列多项式的公共根 32432()1,()fxg解 由辗转相除法，可求得 ，所以它们的公共根为 。2,)1fxx132i16判别下列多项式有无重因式：1） ；5432()748fxx2） ；2解 1） ，432()501,()fxxx 所以 有 的三重因式。()f22） ， ，所以 无重因式。348x(),(1fx()fx17求 值，使 有重根。t32(
8、)ft解 易知 有三重根 时， 。若令x1，比较两端系数，得322()taxb21t由（1） ， （3）得 ，解得 的三个根为 ，将 的三个3210aa1231,aa根分别代入（1） ，得 。再将它们代入（2） ，得 的三个根23,4b t。235,4tt当 时 有 3 重根 ；当 时， 有 2 重根 。1,()fx1354t()fx118求多项式 有重根的条件。pq解 令 ，则 ，显然当 时，只有当3()fxpq2()3fxp0才有三重根。30,()qfx下设 ，且 为 的重根，那么 也为 与 的根，即pa()fxa()fxf320q由（1）可得 ，再由（2）有 。所以()ap23pa，()
9、32paq两边平方得 ，所以 。2943qpa32470q综上所叙即知，当 时，多项式 有重根。270q3xp19如果 ，求 。24(1)|1xabx,ab解 令 ， 。由题设知，1 是 的根，也是f2()fx342x()fx的根，此即()fx，1042ab解得 。,20证明： 不能有重根。21.!nx证 因为 的导函数 ，所以 ，()f 211().!()!nfxx 1()!nfxx于是 ，从而 无重根。, ,(),nnfxffff21如果 是 的一个 k 重根，证明 是()的一个 k+3 重根。()()2agxfxffxa证 因为，1()()()2fffxag由于 是 的 重根，故 是 的
10、 重根。代入验算知 是 的根。()fk()gx1k()gx现在设 是 的 重根，则 是 的 重根，也是 的 s-2 重根。gxss()所以 。得证。213s22证明： 是 的 重根的充分必要条件是 ，0x()fk (1)000().kfxffx而 ()kf证 必要性：设 是 的 重根,从而是 的 重根，是 的 重根，0x()fk()fx1k()fx2k，是 的一重根，并且 不是 的根。于是 (2)kf0x()k而 。(1)00.,kxf()0f充分性：由 ，而 ，知 是 的一重根。又由于(1)kfx()0kfxx(1)kf，知 是 的二重根，依此类推，可知 是 的 重根。(2)0kf0(2)
11、0x()fk23举例说明段语“ 是 的 重根，那么 是 的 重根”是不对的。fxm()f1m解 例如，设 ，那么 以 0 为 重根，但 0 不是 的根。1()fx()mfx()fx24证明：如果 ，那么 。()|(nf()|(nnf证 要证明 ，就是要证明 （这是因为我们可以把 看作为一个变1|nx10nx量） 。由题设由 ，所以 ，也就是 ，得证。()|(nf()nf(1)0f25证明：如果 ，那么 。23312|xx2|,)|(xxf证 因为 的两个根为 和 ，其中 ，所以 和 也是2cosin32的根，且 ，于是3312()()fxf3，12(0)ff解之得 。得证。12(,(26求多项
12、式 在复数范围内和在实数范围内的因式分解。nx解 在复数范围内 ，其中 ，211()().()nxx2cosin3在实数域内 ，所以，当 为奇数时，有(0)jnj12122221()()()1.()nn nnxxxxx其中 ，皆为实数。cos,.jnjjjj当 是偶数时，有 12122221()1()()1.()nn nnxxxxx27求下列多项式的有理根：1） ；326542） ；471x3） 。5323x解 利用剩余除法试根，可得1） 有一个有理根 2。2） 有两个有理根 （即有 2 重有理根 ） 。1, 13） 有五个有理根 （即一个单有理根 3 和一个 4 重有理根 ） 。3, 128
13、下列多项式在有理数域上是否可约？1） ；2x2） ；43281x3） ；6x4） 为奇素数；,p5） 为整数。1xk解 1）因为 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约。21x2）利用艾森斯坦判别法，取 ，则此多项式在有理数域上不可约。p3）首先证明：命题 设有多项式 ，令 或 ，得()fx1yx或()1gyf)gf则 与 或者同时可约，或者同时不可约。x()事实上，若 可约，即 ，从而 ，f12()()fxfx12()()1gyffyf这就是说 也可约，反之亦然。()gy现在我们用它来证明 在有理数域上不可约。令 ，则多项式变为631x1xy635432(1)() 1893yyy利用艾森斯坦
14、判别法，取 ，即证上式不可约，因而 也不可约。p6x4） 设 ，令 ，则()1pfxxy()gyf1221.ppppyCC由于 是素数，因而 ，但 ，所以由艾森斯坦判别法，即证|(,)ip2|在有理数域上不可约，因而 也在有理数域上不可约。()gyfx5） 已知 ，令 ，可得41fxky32()6(4)2yyk利用艾森斯坦判别法，取 ，即证 在有理数域上不可约，因而 也在有理数pgy()fx域上不可约。29用初等对称多项式表求出下列对称多项式：1） ；22221313xxx2） ；22()()3） ；21133xx4） ；222224434xx5) ；1232132()()()xx6) 。11
15、31)xx解 1）对称多项式的首项为 ，其方幂为 ，即 ，2(2,0210312又因为 ，2213131212xxxx所以 原式= 。22）同理可得 11323()()xx2222113313xxxx231）原式= 22221133()()()xxxx，42.由此可知多项式时六次对称多项式，且首项为 ，所以 的方幂之积为421x指数组 对应 的方幂乘积 4 2 0 214 1 1 33 3 0 23 2 1 132 2 2 2原式= (1)2332112123abcd只要令 ,则原式左边 。另一方面，有 ，230,x0123,0代入（1）式，得 。再令 ，得 。4123,x7d令 ，得23,x
16、（2）ac令 得123,（3）6由（2） ， （3）解得 。因此4,18ac原式 。23321122374）原式= 2314434xxx指数组 对应 的方幂乘积 2 2 0 0 22 1 1 0 131 1 1 1 4设原式 2134ab令 得 。12,0,xx2a再令 得 。34因此原式 。2141） 原式= 333221212()xxx，1333)由于 ，3 2122212xx，3133所以原式 。2221 32） 原式 2312312312( )xxxx 21 313( )x，222213132)xxx其中 ，12312322( )，1313.xx，2221 所以 原式 。2123233
17、30用初等对称多项式表出下列 n 元对称多项式：1） ；4x2） ；233） ；21x4） ； 234（ 表示所有由 经过对换得到的项的和。 ）1.nllax12.nllax解 1）因为多项式的首项为 ，所以41指数组 对应 的方幂乘积 40000 4131000 222000 221100 1311110 4设原式 ，422113abcd令 得 。234,.0,nxxx2b得 。1.,na得 。234,xx4c得 。1 51,.0,nxd所以原式 。42211342）同理可得原式 。343）原式 。214） 原式 。24156931设 是方程 的三个根，计算13,a32730x22 2231
18、()()()aa解 因为，12321313aa由根和系数的关系，可得 ，12367,55再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得 22221313()()()aaa。312679532证明：三次方程 的三个根成等差数列的充分必要条件为1230xx。3123970aa证 设原方程的三个根为 ，则它们成等差数列的充分必要条件为123,。123212()()()0将上式左端表为初等对称多项式，得，312321312123()()()97故三根成等差数列的充分必要条件为 。330aa二 、补充题及参考解答1 设 ，且 ，证明：1()(),()fxafbgxcfxdgbc1,证 设 ,则由已知，得 。(
19、),()dxfx11()|,()|xfxg其次，设 是 与 的任一公因式，只需证明 即可。12()g|()dx因为 ,所以11(),()fxafbxcfxd11()()()dffgcdagxxxabbc又因为 ,从而 。故 也是 与 的最1|,|fgfg()|d()x1()f1gx大公因式。2 证明：只要 的次数都大于零，就可以适当选择适合等式()(),fxgxf的 与 ，使()()()uxfvg()uvx,(), (),xfvxf g证 存在多项式 ， 1()，使1u,从而1()(),uxfvxgfxg（1）11()1(),ff1） 若 的次数满足 ,则ux1()(),gxuxf1()(),
20、fvg事实上，采用反证法。若 ,则（1）式左边的第一项次数小于1()(),fxvxg,而第二项的次数大于或等于(),(),gxff g,(),(),fxfx这样（1）式左端的次数 ，但（1）式右端的()0),gfxfxg次数为零，矛盾。所以 ,1 1()()(,(), ,fxuvfxg此时 ， 1()vx即为所求。1u2)若 ,则用 除 ，可得1(),gf(),gxf1()u,其中 ,1()(),xuxsrf()(),xrfg注意到 是不可能的，事实上，若 ，则 ,()0rx()0rx1()(),gxuxsf代入（1）式得 ,矛盾。1()(), ,()gxgsvff再将 代入（1）式，可得1(
21、)()(),uxrfx,1()()()()1, ,ffgxrsvggxf令 ,再利用本题 1）的证明结果，即证。1()(),()(),fuxv3 证明：如果 与 互素，那么 与 也互素。fgxmfxg证 由假设，存在 和 使 ,()uv()()1uv于是 ，即证。()1mmxfx4 证明：如果 的最大公因式存在，那么12(),.()sffx的最大公因式也存在，且当 全不12(),.ssfxx 121(),.(),ssfxfxf为零时有 ,再利用上式证明，12112(),.(),(),.ss ssfffxf 存在 使suxux.12 12()().()(),(.,)s sfffxfxf证 因为
22、的最大公因式存在，设其为 ，则1,.sxx 1d,于是 与 的最大公因式也存在，不妨设为112()(),()sdff1()dxsf,则 ,sxx|i,2.)i若设 是 的任一公因式，则 ,()121().(),ssffxf 1()|xd这样 为 与 的一个公因式，又可得 ，即证xds |.121(),().(),ssffxf下面用归纳法证明本题第二部分。当 时结论显然成立，假设命题对 也成立，即存21s在，使121(),.,()svxvx121()().()ssfxvfxvxf,成立。21,.sf d再证命题对 也成立。s事实上，存在 和 ，使()pxq11(),()()()n sxfxpdx
23、qfx，12().ssxvfvfvsqf令 ， ，即证。()iiux(,)i()sux5 多项式 称为多项式 的一个最小公因式，如果m(fxg1） ；()|,()|fxg2） 的任一公倍式都是 的倍式。()mx我们以 表示首项系数是 1 的那个最小公倍式，证明：如果 的首项(),fx (),fxg系数都是 1，那么 。()(),fxgfg证 令 ，则(),fxdx， ，于是1f1()()g。11(),xgfxxff即 ， ，()|,ff ()|,fgx设 是 与 的任一公倍式，下面证明 。()Mxf()gx()|(),fgxM由倍式的定义，有 ，()()fsgxt即 ，1 1()() ()fx
24、dsxdtx消去 得 ，于是 。11()fgt()|fs由于 ，因而 或者 ，所以(),(x|xs1()xgqx，11()()()(),fxMxfsfxgqqg。即证。|()(),fM6 证明：设 是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式 ，由px (),fxg，可以推出 或者 ，那么 是不可约多项式。()|()fg()|pxf()|pxgp证 采用反证法。设 可约，则有 ，那么由假设可得()12()|()或 ，1()|px2|px这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于 的次数。于是得证。()px7 证明：次数 且首项系数为 1 的多项式 是一个不可约多项式的方幂的充分必要0f条件为：对任
25、意的多项式 必有 ，或者对某一正整数 。()gx(),1fgx,()|mfxg证 必要性：设 （其中 是不可约多项式） ，则对任意多项式 ，有sfp1） ；或 2） 。(),1pxg()|x对于 1）有 。(,)f对于 2）有 ，此即 。再让 ，即必要性得证。|ssx()|sfxgms充分性：设 不是某一个多项式的方幂，则 ，()f 12()().nfxpxp其中 是正整数。1,.inn若 ，则由题设知 与 满足 或 （ 为某()gxp()fxg(),1fxg()|mfxg一正整数） 。但这是不可能的，即证。8 证明：次数 且首项系数为 1 的多项式 是某一不可约多项式的方幂的充分必要0()f
26、条件是：对任意的多项式 ，由 ，可以推出 ，或(),gxh|()xgh()|fxg者对某一正整数 。,|mf证 必要性：设 ，则对多项式 ，有()|()fx()x1） ，于是 ；2） 为某一正整数） 。(),1fxh()|fxg()|(mfxh必要性成立。充分性：对任意多项式 ，有 或 ，()(),1f(),()1fgxd若 ，那么 ，但 。再由充分性假设，可得1()fxdx1|xg1|为某一正整数。于是由第 7 题的充分条件，即证。|,mg9 证明： 不能有不为零的重数大于 2 的根。nmxab证 设 ，则 ，()nf1()()nmfxxa又因为 的非零根都是多项式 的根，而 的 个根都是单
27、x g()gxm根，因而 没有不为零且重数大于 2 的根。()f10 证明：如果 ，那么 的根只能是零或单位根。()|nfx()fx证 设 是 的任一个根，由 知， 也是 的根，即a()f |nfa()|nfx，所以 也是 的根。以此类推下去，则(0nfxn()x都是 的根。2,.()f若 是 次多项式，则 最多只可能有 个相异的根，于是存在 使()fxm()fxmk， ，因此 的根 或者为 0，或者为单位根。kna(10kna()fa11如果 ，证明 有 重根，其中 。)|fxfxn()fx证 设 是 的 个不同的根，且它们的重数分别为 ，由于12,.s()s 12,.s是 次多项式，因而
28、，()fxn12.1s其次，由 ，所以 分别为 的 重根，但|()fx,sa()fx2,.,s，12().sn所以 ，从而 。这就是说， 只可能有一个根 ，且重数为 。ns1()fx 1a1n故 有 重根。()fx11 设 是 个不同的数，而12,.na 12()(.()nFxx证明：1） ；2）任意多项式 用 除所得的余式为1()1niiiFxa()fxF1()nii ifx证 1）令 ，1()()niiiFxga则 ，x但 ，12().()ngag所以 。即证得x。1()1niiiFxa2）对于任意的多项式 ，用 除得()f()，(),fxqFxr0()1xrxn或当 时，结论显然成立。当
29、 时，若令0r()1n，1)()(nii ifaxkxF则 ，于是(，()()iiirafka1,2.)n即证得。1()()nii ifFxrx12 设 与 同上题，且 是任意 个数，显然12,.na()12,.nb1()(ii ixLxaF适合条件 。iiab,2.n这称为拉格朗日(Lagrange) 插值公式。利用上面的公式：1） 一个次数 的多项式 ，它适合条件：4()fx(2)3,1,40,(5)2fff2）一个二次多项式 ，它在 处与函数 有相同的值；xsinx3）一个次数尽可能低的多项式 ，使()f(0)1,2,5,(3)10fff解 1）设 ，且(3)4Fxxx，(2),(,()
30、2ffff将它们代入 （即 ） ，可得Lx3()(4)5(1)(3)4(5)222xxxf0()3()()()5xx。3217046x2） 已知， ， sin0()fsin1()2fsin0()f设 ，与上题类似，可得()2Fxx。4()f3） 同理，设 ，可得()12(3xx。2f14设 是一个整系数多项式，试证：如果 与 都是奇数，那么 不能有整()x (0)f1f()fx数根。证 设 是 的一个整数根，则 ，由综合法知商式 也为整系数a()f 1()(fxafx1()f多项式，于是1(0)()faf又因为 与 中必有一个为偶数，从而 与 中至少有一个为偶数，与题设矛盾。a1(0)f1f故
31、 无整数根。()fx15设 是方程12,.n1.0nnxa的根，证明： 的对称多项式可以表成 与 的多项式。2,.n 1x21,.na证 设 是关于 的任意一个对称多项式，由对称多项式的基本定理，有()fx2,.nx(1)/11()(,.)nfg其中 是 的初等对称多项式。/1(,2.1in2,.nx由于（2）/11/2/ /112nnx其中 为 的初等对称多项式，但是i2,.x（3）1211()nna将（3）代入（2）可知， 是 的一个多项式，不妨记为/i121,.,nxa（4）/121(,.,)ii npxa()再将（4）代入（1）式右端，即证 可表为 的多项式。2,.nfx121,.,n
32、xa16设 ，12()(.()fxx.()令 。12.kkns0,1.k1） 证明1101().)()kkkxfsxsxfgx其中 的次数 或 。()gng2） 由上式证明牛顿(Newton)公式：（对 ）112.()()0kkkksss1kn（对 ）nkn证 1）由假设 ，1()()iifxf11()()kiixff，11()()k knni ii ixffx 11(.)()nkkiii xfgx 其中 是一个次数 的多项式。故1()()kniigfx101.)()kkkfssxfgx 2）由于 ，1()(nnx，1 211).()kk nf x因此得等式1 101(.)(.()()k nn
33、ksxs gx 21(.n nx 当 时，比较上式两端含 的系数，首先由于 不含有 的项，所以kn(),()xnnx等式左端含 的系数为nx，112 0.()()kkkksss而右端含 的项只有一项，它的系数为 ，所以nx kn，112 0.()()(1)kkkk ksss注意到 ，即证得0n。112.()()kkkksss当 时，等式 右端所有项的次数都大于 ，所以含 的系数为 0，而左端含 的项)nnxnx的系数为 ，因此 。得证。1.()nk kss1.()nk kss17根据牛顿公式，用初等对称多项式表示 。23456,ss解 1）当 时，由上题可得 ，而 ，所以 。6n210s121
34、s同理可得 ，3123s，421 4，532213112355s64122496。23415132）当 时， 同 1）所给，且5n23,s6422111412396s。352433) 当 时， 同 1）所给， 同 2）所给，且n3,s6s。5221 14355s4）当 时， 同 1）所给， 同 3）所给，且23,s56,s。214s5）当 时， 同 1）所给， 同 4）所给，且 。n2s456,s312s18证明：如果对于某一个 6 次方程有 ，那么 。130s75A证 这时 ，并注意 ，且 ，所以 ，于是610s30， ，即 。22s5235s5s而 ，716461257故 。522ssA19求一个 次方程使 。n121.0ns解 设此方程为 ，由题设及牛顿公式，可得()nx，故所求方程为 或 。121.0n(1)0nnxnxa20求一个 次方程使 。12.nss解 设此方程为 ，()nx由题设及牛顿公式可得 ，1k2,3.)n即 ，1!k(2,3.)n所以 ， ， ， ，2131!.1!nn故所求方程为 。21.()0nxx
