1、第 10 讲 数列、等差数列与等比数列1.(1)2014全国卷 数列 an满足 an+1= ,a8=2,则 a1= . 11(2)2018全国卷 记 Sn 为数列 an的前 n 项和 .若 Sn=2an+1,则 S6= . 试做_命题角度 数列的递推问题(1)解决数列的递推问题:关键一:利用 an= 得出 an 与 an+1(或 an-1)的递推式;1,=1,1,2关键二:观察递推式的形式,采用不同的方法求 an.(2)若递推式为 an+1=an+f(n)或 an+1=f(n)an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式, 或用迭代法求得通项公式;若递推式为 an+1=pan+q(其中 p,q
2、 均为常数,且 p1),则通常化为 an+1-t=p(an-t),其中 t= ,再1利用换元法转化为等比数列求解 .2.(1)2017全国卷 等差数列 an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则 an前 6 项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8(2)2016全国卷 设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an 的最大值为 . 试做 _命题角度 等差、等比数列的基本计算关键一:基本量思想(等差数列的首项 a1 和公差 d,等比数列的首项 a1 和公比 q).关键二:等差数列的性质,若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),
3、则 am+an=ap+aq;等比数列的性质,若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),则 aman=apaq.3.(1)2017全国卷 等差数列 an的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 . =11=(2)2015全国卷 设 Sn 是数列 an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 试做_命题角度 数列求和关键一:利用等差数列、等比数列前 n 项和公式;关键二:利用数列求和方法(倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法) .小题 1 数列的递推关系1 (1)已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn,若 10Sn= +5a
4、n-6,则 a10-a9 的值为 ( ) 2A.3 B.4C.5 D.6(2)若数列 an满足 a1=0,an+1= (nN *),则 a56= ( )33+1A.- B.03C. D.332听课笔记 _【考场点拨】由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有: 先求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的通项公式( 注意验证); 将已知递推关系式整理、变形 ,变成等差、等比数列, 或用累加法(适用 an+1=an+f(n)型)、累乘法(适用 an+1=anf(n)型)、待定系数法(适用 an+1=pan+q 型) 求通项公式 .【自我检测】1.若 Sn 为数列 an的前 n 项和,且 Sn=2an-2
5、,则 S8 等于 ( )A.255 B.256C.510 D.5112.已知数列 an满足 a1=2,an+1=4an-3,若 cn=an-1,则数列 cn的通项公式为 cn= . 3.若数列 an满足 a1+3a2+(2n-1)an=2n,则数列 an的通项公式为 an= . 4.已知数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为 1,公差为 1 的等差数列,则数列 an的通项公式为 an= . 小题 2 等差、等比数列的基本计算2 (1)已知公比 q1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=3a3,则 S5= ( )A.1 B.5C. D.3148 1116
6、(2)已知等差数列 an的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a3=( )A.-10 B.-6 C.-8 D.-4听课笔记 _【考场点拨】高考中等差、等比数列的基本运算的注意点:(1)在进行等差( 等比)数列的基本运算时,常利用公式把已知条件转化为关于首项 a1 和公差 d(公比 q)的方程组,求出首项 a1 和公差 d(公比 q);(2)特别注意在等比数列求和中,要对公比 q=1 和 q1 两种情况进行讨论;(3)解题时一定要注意几个隐含条件: n 必须是正整数,公比 q 不为 0,等比数列中没有 0 这一项 .【自我检测】1.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足
7、S4+a25=5,则一定有 ( )A.a6 是常数 B.S7 是常数C.a13 是常数 D.S13 是常数2.已知等比数列 an的前 n 项和是 Sn,则下列说法一定正确的是 ( )A.若 a30,则 a20170,则 a20180,则 S20170 D.若 a40,则 S201803.已知数列 an,bn满足 a1=b1=1,an+1-an= =2,nN *,则数列 的前 10 项和为 ( )+1 A. (49-1) B. (410-1)43 43C. (49-1) D. (410-1)13 134.已知递增的等比数列 an中, a2=6,且 a1+1,a2+2,a3 成等差数列, 则数列
8、an的前 6 项和 S6= ( )A.93 B.189 C. D.37818916小题 3 等差、等比数列的性质3 (1)已知 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 = ( )2+31A.4 B.6 C.8 D.10(2)已知等比数列 an的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 听课笔记 _【考场点拨】使用等差、等比数列的性质时的注意点:(1)通项性质:若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN *),对等差数列有 am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有
9、aman=apaq= .2(2)前 n 项和的性质:对等差数列有 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等差数列;对等比数列若有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列,则 q -1,或 q=-1 且 m 为奇数 .【自我检测】1.已知正项数列 an的各项均不相等,且 2an=an-1+an+1(nN *,n2),则下列各式中一定成立的是 ( )A.a2a4= B.a2a423 232.已知等比数列 an的公比为负数,且 an+3an-1=4 (nN *,n2), a2=2,则首项 a1 等于 ( )2A.1 B.4 C.-1 D.-43.已知各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为
10、 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40= . 第 10 讲 数列、等差数列与等比数列典型真题研析1.(1) (2)-63 解析 (1) 由题易知 a8= =2,得 a7= ;a7= = ,得 a6=-1;a6= =-1,得 a5=2,12 117 12 11612 115于是可知数列 an具有周期性,且周期为 3,所以 a1=a7= .12(2)方法一:令 n=1,得 S1=a1=2a1+1,所以 a1=-1,又由 Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n2),得 Sn=2Sn-1-1(n2),即 Sn-1=2(Sn-1-1)(n2),所以数列 Sn-1是以 S1-1=-2
11、为首项,2 为公比的等比数列, 所以 S6-1=(-2)25=-64,则 S6=-63.方法二:令 n=1,得 S1=a1=2a1+1,所以 a1=-1.由 Sn=2an+1 ,得 Sn-1=2an-1+1(n2) ,- 得an=2an-2an-1(n2),即 an=2an-1(n2),所以 an是以 a1=-1 为首项, 2 为公比的等比数列,于是S6= =-63.(1)(126)122.(1)A (2)64 解析 (1)an为等差数列,且 a2,a3,a6 成等比数列,则 =a2a6,即( a1+2d)232=(a1+d)(a1+5d).将 a1=1 代入上式并化简,得 d2+2d=0,d
12、 0, d=- 2,S 6=6a1+ d=16+ (-2)=-24.652 652(2)设该等比数列的公比为 q,则 q= = ,可得 a1+ a1=10,得 a1=8,所以 an=8 n-1= n-4.2+41+312 14 12 12所以 a1a2an= -3-2-1+0+(n-4)= ,易知当 n=3 或 n=4 时, (n2-7n)取得最小值 -6,故12 12 12(27) 12a1a2an 的最大值为 -6=64.123.(1) (2)- 解析 ( 1)设公差为 d,则 a1+2d=3 且 4a1+6d=10,解得 a1=1,d=1,所以 Sk=2+1 1, =2 ,(+1)2 1
13、 (1 1+1)所以=11=2(112)+(1213)+(1 1+1)=2(1 1+1)=2+1.(2)因为 a1=-1,an+1=SnSn+1,所以 S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以 - =-1,所以数列 是首项为 -1,公1+11 1差为 -1 的等差数列,所以 =-n,所以 Sn=- .1 1考点考法探究小题 1例 1 (1)C (2)A 解析 (1)由 10Sn= +5an-6 ,得 10Sn-1= +5an-1-6(n2) ,由 -2 21得 10an= - +5an-5an-1(n2), 故有( an+an-1)(an-an-1)-5(an+an-1)=0,即( an
14、+an-1)(an-an-1-5)=0,221又因为数列 an的各项均为正数,所以 an-an-1=5,所以 a10-a9=5.故选 C.(2)当 n=1 时, a2= = =- ;当 n=2 时, a3= = = ;1331+1 0330+1 3 2332+1 333(3)+1 3当 n=3 时, a4= = =0;当 n=4 时, a5=- ;当 n=5 时, a6= ;.3333+1 3333+1 3 3 数列 an具有周期性,且周期为 3,a 56=a2= .故选 A.3【自我检测】1.C 解析 令 n=1,得 a1=S1=2a1-2,解得 a1=2.由 Sn=2an-2 得 Sn+1
15、=2an+1-2,两式相减得an+1=2an+1-2an,整理得 an+1=2an,所以数列 an是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列,所以 S8=510.故选 C.2(128)122.4n-1 解析 因为 an+1=4an-3,cn=an-1,所以 cn+1=an+1-1=4(an-1)=4cn,又 c1=a1-1=1,所以数列cn是首项为 1,公比为 4 的等比数列 ,所以 cn=4n-1.3. 解析 令 n=1,可得 a1=2.由 a1+3a2+(2n-1)an=2n 可得 a1+3a2+(2n-3)an-1=2212n-2(n2),两式相减得( 2n-1)an=2,即 an=
16、,又因为 a1=2 满足上式, 所以数列 an的通项公式221为 an= .2214. n(n+1) 解析 因为 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以当12n2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=n+ = n(n+1),又因为 a1=1 满足上式,所以数列(1)2 12an的通项公式为 an= n(n+1).12小题 2例 2 (1)D (2)D 解析 (1)由题意得 =3a1q2,解得 q=- 或 q=1(舍),1(13)1 12所以 S5= = = .故选 D.1(15)1 1(12) 51(12) 1
17、116(2)根据题意得, a1=a3-2d=a3-4,a4=a3+d=a3+2,因为 a1,a3,a4 成等比数列,所以 =a4a1,23即 =(a3+2)(a3-4),所以 a3=-4.故选 D.23【自我检测】1.D 解析 设数列 an的公差为 d.由 S4+a25=5 得 4a1+ d +(a1+24d)=5,整理得 a1+6d=1,432即 a7=1,所以 S13= =13a7=13.故选 D.(1+13)1322.C 解析 设 an=a1qn-1.对于 A,a2017=a3q2014,而 q20140,a30,故 a20170,故 A 中说法错误;对于B,a2018=a4q2014,
18、而 q20140,a40,故 a20180,故 B 中说法错误;对于 C,因为 a3=a1q20,故 a10,若q1,则 S2017= ,且 1-q 与 1-q2017 同号,故 S20170,若 q=1,则 S2017=2017a10,故 C 中说法1(12017)1正确;对于 D,取数列 1,1,1,1,其中 a40,S20180,取数列 -1,1,-1,1,其中 a40,但 S2018=0,故 D中说法不一定正确 .故选 C.3.D 解析 因为 an+1-an= =2,a1=b1=1,所以数列 an是首项为 1,公差为 2 的等差数列,数列+1bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列 ,
19、所以 an=1+2(n-1)=2n-1,bn=12n-1=2n-1,所以数列 的前 10 项和为 + + =b1+b3+b5+b19=20+22+24+218=40+41+49=12 10= (410-1).故选 D.141014134.B 解析 设数列 an的公比为 q,由题意可知 q1,且 2(a2+2)=a1+1+a3,即 2(6+2)= +1+6q,6整理得 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q= (舍去), 则 a1= =3,数列 an的前 6 项和 S6= =189.故12 62 3(126)12选 B.小题 3例 3 (1)C (2)5 解析 (1)设等差数列 an的公差为
20、 d,且 d0 .S 1,S2,S4 成等比数列, =S1S4, (a1+a2)2=a1 , (2a1+d)2=2a1(2a1+3d),d 2=2a1d,解得 d=2a1 或 d=0(舍去),22 4(1+4)2 = = =8.故选 C.2+31 1+1+21 811(2)由等比数列的性质可知 a1a5=a2a4= ,于是由 a1a5=4 且数列 an的各项均为正数得 a3=2,故23a1a2a3a4a5=32,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log232=5.【自我检测】1.B 解析 正项数列 an的各项均不相等,且
21、 2an=an-1+an+1(nN *,n2), 数列 an是各项均不相等的正项等差数列, a 2a40,记 b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30,则 b1,b2,b3,b4 是公比为 r=q100 的等比数列,b 1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70,r 2+r-6=0,解得 r=2 或 r=-3(舍去), S 40=b1+b2+b3+b4= =150.10(124)12备选理由 备用例 1 中涉及的递推形式听课例 1 中没有涉及, 此题告诉了学生处理此种问题的方法;备用例 2 是关于数列奇数项和偶数项的问题,听课例 2 中没有涉及
22、.例 1 配例 1 使用 已知数列 an满足 a1=0,an+1=an+2 +1,则 a13= ( ) A.121 B.136C.144 D.169解析 C 由 an+1=an+2 +1,可知 an+1=( +1)2,即 = +1,故数列 是公差为 1,首 +1 项为 =0 的等差数列,故 = +12=12,则 a13=144.故选 C.1 131例 2 配例 2 使用 在等差数列 an中,前 10 项中奇数项的和为 15,偶数项的和为 30,若a1+a3+a5+a99=60,则 a1+a2+a3+a100= . 答案 270解析 设等差数列 an的公差为 d,则 30-15=5d,所以 d=3,所以( a1+d)+(a3+d)+(a99+d)=a2+a4+a100=60+50d=210,所以 a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=60+210=270.
