1、1第 10讲 数列、等差数列与等比数列1.(1)2014全国卷 数列 an满足 an+1= ,a8=2,则 a1= . 11-an(2)2018全国卷 记 Sn为数列 an的前 n项和 .若 Sn=2an+1,则 S6= . 试做 命题角度 数列的递推问题(1)解决数列的递推问题:关键一,利用 an= 得出 an与 an+1(或 an-1)的递推式;S1,n=1,Sn-Sn-1,n 2关键二,观察递推式的形式,采用不同的方法求 an.(2)若递推式形如 an+1=an+f(n),an+1=f(n)an,则可分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式;若递推式形如 an+1=pan
2、+q(其中 p,q均为常数,且 p1),则通常化为 an+1-t=p(an-t)的形式,其中 t= ,再利用换q1-p元法转化为等比数列求解 .2.(1)2017全国卷 等差数列 an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则 an前 6项的和为 ( )A.-24 B.-3 C.3 D.8(2)2016全国卷 设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 试做 命题角度 等差、等比数列的基本计算关键一:基本量思想(等差数列:首项 a1和公差 d.等比数列:首项 a1和公比 q).关键二:等差数列的性质,若 m+n=p+q(m,n,p
3、,qN *),则 an+am=ap+aq;等比数列的性质,若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),则 anam=apaq.23.(1)2017全国卷 等差数列 an的前 n项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 . nk=11Sk=(2)2015全国卷 设 Sn是数列 an的前 n项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 试做 命题角度 数列求和关键一:利用等差数列、等比数列的前 n项和公式求解 .关键二:利用数列求和方法(公式法、倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解 .小题 1数列的递推关系1 (1)已知数列 an的前 n项和为 Sn,若
4、3Sn=2an-3n,则 a2018= ( )A.22018-1 B.32018-6C. - D. -(12)201872 (13)2018103(2)已知数列 an满足 a1=15, =2(nN *),则 的最小值为 . an+1-ann ann听课笔记 【考场点拨】由递推关系式求数列的通项公式,常用的方法有: 求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证); 将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式,或用累加法(适用于 an+1=an+f(n)型)、累乘法(适用于 an+1=anf(n)型)、待定系数法(适用于 an+1=pan+q型)求通项公式 .【自我检测】
5、1.数列 an满足 a1=1,且对任意的 m,nN *,都有 am+n=am+an+mn,则 + + + 等于 ( )1a11a21a3 1a2017A. B.20162017 201720183C. D.20171009 402420172.定义各项均不为 0的数列 an:a1=1,a2=1,当 n3 时, an=an-1+ .定义各项均不为 0的数列 bn:b1=1,b2=3,a2n-1an-2当 n3 时, bn=bn-1+ .则 = ( )b2n-1bn-2 b2017a2018A.2017 B.2018C.2019 D.10093.在数列 an中, a1=0,an+1= ,则数列 a
6、n的前 2018项和 S2018= . 3+an1- 3an4.已知数列 an的前 n项和为 Sn,且 an+Sn=3n-1,则数列 an的通项公式 an= . 小题 2等差、等比数列的基本计算2 (1)已知数列 an的前 n项和 Sn=2n+1-2,bn=log2( ),数列 bn的前 n项和为 Tn,则满足 Tn1024的 n的a2n 2an最小值为( )A.9 B.10C.12 D.15(2)已知等差数列 an中, a3=7,a9=19,Sn为数列 an的前 n项和,则 的最小值为 . Sn+10an+1听课笔记 【考场点拨】等差、等比数列问题的求解策略:(1)抓住基本量,首项 a1、公
7、差 d或公比 q;(2)熟悉一些结构特征,如前 n项和为 Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为 an=pqn-1(p,q0)的形式的数列为等比数列;(3)由于等比数列的通项公式、前 n项和公式中变量 n在指数位置,所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算 .【自我检测】1.已知数列 an是公比为 q的等比数列,若 a1,a3,a2成等差数列,则公比 q的值为 ( )A.- B.-2124C.1或 - D.-1或12 122.等比数列 an的首项为 3,公比 q1,若 a4,a3,a5成等差数列,则数列 an的前 5项和 S5= ( )A.-31 B.33C
8、.45 D.933.设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn取得最小值时, n的值为 . 4.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,a1=9,a5=1,则使得 Sn0成立的 n的最大值为 . 小题 3等差、等比数列的性质3 (1)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a4,a10是方程 x2-8x+1=0的两个根,则 S13= ( )A.58 B.54C.56 D.52(2)已知数列 an的各项都为正数,对任意的 m,nN *,aman=am+n恒成立,且 a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+log2a7= . 听课笔记 【考
9、场点拨】等差、等比数列性质使用的注意点:(1)通项性质:若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN *),则对于等差数列有 am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq= .a2k(2)前 n项和的性质:对于等差数列有 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等差数列;对于等比数列,若有 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列,则仅在 q -1,或 q=-1且 m为奇数时满足 .【自我检测】1.已知数列 an为等差数列,数列 bn为等比数列,且满足 a2017+a2018=, =4,则 tan = ( )b220a2+a4033b1b39A.-1 B.22C.1
10、D. 352.已知等比数列 an中, a5=2,a6a8=8,则 =( )a2018-a2016a2014-a2012A.2 B.4C.6 D.83.已知正项等比数列 an的前 n项和为 Sn,且 S10=10,S30=130,则 S40= ( )A.-510 B.400C.400或 -510 D.30或 404.已知等差数列 an的公差不为 0,a1=1,且 a2,a4,a8成等比数列, an的前 n项和为 Sn,则 Sn= ( )A.n(n+1)2B.(n+1)22C.n2+12D.n(n+3)4小题 4等差、等比数列的综合问题4 (1)已知等差数列 an的前 n项和为 Tn,a3=4,T
11、6=27,数列 bn满足 bn+1=b1+b2+b3+bn,b1=b2=1,设 cn=an+bn,则数列 cn的前 11项和 S11= ( )A.1062 B.2124C.1101 D.1100(2)已知数列 an的通项公式为 an=n+t(tR),数列 bn为公比小于 1的等比数列,且满足 b1b4=8,b2+b3=6,设cn= + ,在数列 cn中,若 c4 cn(nN *),则实数 t的取值范围为 . an+bn2 |an-bn|2听课笔记 【考场点拨】解决数列的综合问题的易失分点:(1)公式 an=Sn-Sn-1适用于所有数列,但易忽略 n2 这个前提;(2)对含有字母的等比数列求和时
12、要注意 q=1或 q1 的情况,公式 Sn= 只适用于 q1 的情况 .a1(1-qn)1-q6【自我检测】1.已知数列 an的各项均为整数, a8=-2,a13=4,前 12项依次成等差数列,从第 11项起依次成等比数列,则 a15=( )A.8 B.16C.64 D.1282.已知正项等比数列 an的前 n项和为 Sn,且 a1a6=2a3,a4与 2a6的等差中项为 ,则 S5= ( )32A. B.30315325C.31 D.3153243.当 n为正整数时,定义函数 N(n)表示 n的最大奇因数,如 N(3)=3,N(10)=5.若 S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+N(2n
13、),则 S(5)=( )A.342 B.345C.341 D.3464.已知等比数列 an满足 a2a5=2a3,且 a4, ,2a7成等差数列,则 a1a2an的最大值为 . 547模块三 数列第 10讲 数列、等差数列与等比数列典型真题研析1.(1) (2)-63 解析 (1)由题易知 a8= =2,得 a7= ;a7= = ,得 a6=-1;a6= =-1,得 a5=2,于是可知数12 11-a7 12 11-a612 11-a5列 an具有周期性,且周期为 3,所以 a1=a7= .12(2)方法一:令 n=1,得 S1=a1=2a1+1,所以 a1=-1,又由 Sn=2an+1=2(
14、Sn-Sn-1)+1(n2),得 Sn=2Sn-1-1(n2),即 Sn-1=2(Sn-1-1)(n2),所以数列 Sn-1是以 S1-1=-2为首项,2 为公比的等比数列,所以 S6-1=(-2)25=-64,则 S6=-63.方法二:令 n=1,得 S1=a1=2a1+1,所以 a1=-1.由 Sn=2an+1 ,得 Sn-1=2an-1+1(n2) ,- 得 an=2an-2an-1(n2),即 an=2an-1(n2),所以 an是以 a1=-1为首项,2 为公比的等比数列,于是 S6= =-63.(-1)(1-26)1-22.(1)A (2)64 解析 (1) an为等差数列,且 a
15、2,a3,a6成等比数列,则 =a2a6,即( a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).a23将 a1=1代入上式并化简,得 d2+2d=0,d 0, d=- 2,S 6=6a1+ d=16+ (-2)=-24.652 652(2)设该等比数列的公比为 q,则 q= = ,可得 a1+ a1=10,得 a1=8,所以 an=8 n-1= n-4.a2+a4a1+a312 14 12 12所以 a1a2an= -3-2-1+0+(n-4)= ,易知当 n=3或 n=4时, (n2-7n)取得最小值 -6,故 a1a2an的最12 12 12(n2-7n) 12大值为 -6=64.123.(1
16、) (2)- 解析 (1)设公差为 d,则 a1+2d=3且 4a1+6d=10,解得 a1=1,d=1,所以 Sk= , =22nn+1 1n k(k+1)2 1Sk,(1k- 1k+1)所以nk=11Sk=2(1-12)+(12-13)+(1n- 1n+1)=2(1- 1n+1)= 2nn+1.(2)因为 a1=-1,an+1=SnSn+1,所以 S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以 - =-1,所以数列 是首项为 -1,公差为 -1的等差1Sn+11Sn 1Sn数列,所以 =-n,所以 Sn=- .1Sn 1n考点考法探究8小题 1例 1 (1)A (2) 解析 (1)由题意可
17、得 3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),274两式作差可得 3an+1=2an+1-2an-3,即 an+1=-2an-3,即 an+1+1=-2(an+1),由 3S1=2a1-3=3a1,可得 a1=-3,a 1+1=-2, 数列 an+1是首项为 -2,公比为 -2的等比数列,据此有 a2018+1=(-2)(-2)2017=22018,a 2018=22018-1.(2)由 =2,得 an+1-an=2n,an+1-anna 1=15, 当 n2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=15+2+4+2(n-1)=15+2 =n2-
18、n+15,n(n-1)2a 1=15满足上式,a n=n2-n+15, =n+ -1,ann 15n易知当 n依次取 1,2,3时, n+ -1的值递减;当 n取大于或等于 4的自然数时, n+ -1的值递增 .15n 15n当 n=3时, =3+5-1=7;当 n=4时, =4+ -1= .ann ann 154 274故 的最小值为 .ann 274【自我检测】1.C 解析 a n+m=am+an+mn对任意的 m,nN *都成立, a n+1=an+a1+n=an+1+n,即 an+1-an=1+n,a 2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2),把上面( n-1)个式子相
19、加可得, an-a1=2+3+4+n,a n=1+2+3+n= (n2),当n(n+1)2n=1时, a1=1,满足上式, a n= ,从而有 = =2 , + + + =2n(n+1)2 1an 2n(n+1) (1n- 1n+1) 1a11a21a3 1a2017= .(1-12+12-13+ 12017- 12018)201710092.D 解析 当 n3 时,由 an=an-1+ 两边同除以 an-1,可得 =1+ ,即 - =1,a2n-1an-2 anan-1 an-1an-2 anan-1an-1an-2则数列 是首项为 1,公差为 1的等差数列,所以 =n-1(n2),anan
20、-1 anan-19所以 an=a1 =112(n-1)(n2) .a2a1 a3a2 anan-1同理可得 - =1(n3),则数列 是首项为 3,公差为 1的等差数列,所以 =n+1(n2),bnbn-1bn-1bn-2 bnbn-1 bnbn-1可得 bn=b1 =134(n+1)(n2),b2b1 b3b2 bnbn-1所以 = =1009,故选 D.b2017a2018134201811220173. 解析 a 1=0,an+1= ,33+an1- 3ana 2= = ,a3= = =- ,31 3 3+ 31- 3323-2 3a4= =0,3- 31+ 33 数列 an具有周期性
21、,其周期为 3,且 a1+a2+a3=0,则 S2018=S3672+2=a1+a2= .34.3- 解析 由 an+Sn=3n-1,得当 n2 时, an-1+Sn-1=3n-4,两式相减得 an= an-1+ ,a n-3= (an-1-3). 当(12)n-2 12 32 12n=1时, a1+S1=3-1=2,a 1=1,a 1-3=-2, 数列 an-3是以 -2为首项, 为公比的等比数列,12a n-3=-2 ,a n=3- .(12)n-1 (12)n-2小题 2例 2 (1)A (2)3 解析 (1)因为数列 an的前 n项和 Sn=2n+1-2,所以当 n2 时, an=Sn
22、-Sn-1=2n+1-2n=2n,当 n=1时, a1=21+1-2=2,满足上式,所以 an=2n,所以 bn=log2( )=log2 +log2 =2n+2n,a2n 2an a2n an所以数列 bn的前 n项和 Tn= + =n(n+1)+2n+1-2,易知当 nN *时, Tn递增 .n(2+2n)2 2(1-2n)1-2当 n=9时, T9=910+210-2=11121024;当 n=8时, T8=89+29-2=5821024的 n的最小值为 9.(2)a 3=7,a9=19, 公差 d= = =2,a n=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,a9-a39-319
23、-7610S n= =n(n+2),n(3+2n+1)2 = = 2 =3,Sn+10an+1n(n+2)+102n+2 12(n+1)+ 9n+1 12 (n+1)9n+1当且仅当 n=2时取等号 .【自我检测】1.C 解析 由题意知 2a3=a1+a2, 2a1q2=a1q+a1,即 2q2=q+1,q= 1或 q=- .122.B 解析 等比数列 an的首项为 3,a n=3qn-1,又 a4,a3,a5成等差数列, a 4+a5=2a3,q 2+q=2, (q+2)(q-1)=0,q=- 2,a n=3(-2)n-1,S 5= =33,故选 B.31-(-2)51-(-2)3.6 解析
24、 设数列 an的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2(-11)+8d=-6,解得 d=2,所以 Sn=-11n+ 2=n2-n(n-1)212n=(n-6)2-36,所以当 n=6时, Sn取得最小值 .4.9 解析 因为 a1=9,a5=1,所以公差 d= =-2,所以 Sn=9n+ n(n-1)(-2)=10n-n2,令 Sn0,得 00成立的 n的最大值为 9.小题 3例 3 (1)D (2)21 解析 (1)由根与系数的关系可得 a4+a10=8,结合等差数列的性质可得 a1+a13=a4+a10=8,则 S13= = =52.13(a1+a13)2 1382(2)令 m=1,
25、a man=am+n,a 1an=a1+n, 数列 an为等比数列 .由 a3a5+a4=72,得+a4=72,a 40,a 4=8, log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1a2a7)=log2 =log287=21.a24 a74【自我检测】1.C 解析 由等差数列的性质可知, a2+a4033=a2017+a2018=,由等比数列的性质可知, b1b39= =4,所以 tanb220=tan =1,故选 C.a2+a4033b1b39 42.A 解析 设数列 an的公比为 q. 数列 an是等比数列, a 6a8= =8,a 7=2 (与 a5同号), q 2= = ,a
26、27 2a7a5 2=q4=( )2=2.故选 A.a2018-a2016a2014-a2012 2113.B 解析 正项等比数列 an的前 n项和为 Sn,S 10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等比数列, 10(130-S20)=(S20-10)2,解得 S20=40或 S20=-30(舍),故 S40-S30=270,S 40=400,故选 B.4.A 解析 设等差数列 an的公差为 d(d0) .a 2,a4,a8成等比数列, =a2a8,即( a1+3d)a242=(a1+d)(a1+7d), (1+3d)2=(1+d)(1+7d),d= 1,S n=n+ = .
27、故选 A.n(n-1)2 n(n+1)2小题 4例 4 (1)C (2)-4,-2 解析 (1)设数列 an的公差为 d,则 解得a1+2d=4,6a1+15d=27, a1=2,d=1, 数列 an的通项公式为 an=n+1.当 n2 时, bn+1-bn=bn,b n+1=2bn,即数列 bn从第二项起为等比数列, b n=2n-2(n2), 数列 bn的通项公式为 bn=1,n=1,2n-2,n 2.分组求和可得数列 cn的前 11项和 S11=(2+3+4+12)+(1+1+2+22+29)=77+210=1101.(2)在等比数列 bn中,由 b1b4=8得 b2b3=8,又 b2+
28、b3=6,且公比 q小于 1,b 2=4,b3=2,q= = ,因此 bn=b2qn-b3b2122=4 = .由 cn= + ,得 cn= c n是取 an,bn中的较大者 .由题易知 c4是数列(12)n-2(12)n-4 an+bn2 |an-bn|2 bn(an bn),an(anbn),cn中的最小项,又 bn= 递减, an=n+t递增, 当 c4=a4时, c4 cn,即 a4 cn,a4是数列 cn中的最小项,则必(12)n-4须满足 b40.a 1a6=2a3,a4与 2a6的等差中项为 , q5=2a1q2,a1(q3+2q5)32 a21=3,得 a1=16,q= ,则
29、S5= =31.12 161-(12)51-12123.A 解析 由题设知, N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,S (n)=1+3+5+(2n-1)+N(2)+N(4)+N(6)+N(2n)=4n-1+N(1)+N(2)+N(3)+N(2n-1)=4n-1+S(n-1)(n2),又 S(1)=N(1)+N(2)=2,S (n)=4n-1+4n-2+41+2= ,4n+23S (5)= =342.45+23故选 A.4.1024 解析 设数列 an的公比为 q.由已知得 a3a4=a2a5=2a3a4=2,a4+2a7=2 a7= , = =q3,54 14 a7a418q= =2
30、-1,a1= =24,a n=242-(n-1)=25-n,a 1a2an=242325-n=24+3+(5-n)= = =12 a4q3 2n4+(5-n)2 2-n2+9n2, 当 n=4或 5时, a1a2an取得最大值 1024.2-(n-92)2+8142备选理由 例 1为由递推关系求数列的通项公式问题,难度较大;例 2考查等比数列前 n项和中参数的计算,不同于原例 2只考查等差、等比数列的基本量的计算;例 3考查等比数列的计算,采用整体求解比较方便;例 4为等差数列性质的应用问题;例 5是一道等差数列与等比数列的综合题 .例 1 配例 1使用 已知数列 an满足 a1=1,a2=
31、,若 anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n2, nN *),则数列 an的通项公13式为 an= . 答案 12n-1解析 a nan-1+2anan+1=3an-1an+1(n2, nN *), + = ,即 - =2 ,1an+1 2an-13an 1an+11an (1an- 1an-1)又 - =2,1a21a1 数列 是以 2为首项,2 为公比的等比数列,1an+1-1an - =2n,1an+11an13 当 n2 时, = + + + =2n-1+2n-2+2+1= =2n-1.当 n=1时, =1,满足上式,1an(1an- 1an-1)(1an-1- 1an-
32、2) (1a2-1a1)1a1 2n-12-1 1a1 =2n-1,1ana n= .12n-1例 2 配例 2使用 已知等比数列 an的前 n项和 Sn=32n-1+r,则 r的值为 ( )A. B.-13 13C. D.-19 19解析 B 当 n=1时, a1=S1=3+r;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=832n-3=832n-23-1= 9n-1.83 数列 an为等比数列, 3+r= ,r=- ,故选 B.83 13例 3 配例 2使用 在等比数列 an中,已知 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则 a8+a9+a10
33、= . 答案 128解析 设数列 an的公比为 q.a 1+a2+a3=1,a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q=2,q= 2,a 8+a9+a10=(a1+a2+a3)q7=27=128.例 4 配例 3使用 在等差数列 an中,其前 n项和为 Sn,若 2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则 S13+2a7=( )A.17 B.26C.30 D.56解析 C 设等差数列 an的公差为 d,由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4,a9+a11=2a10,则有 6a4+6a10=24,即a1+6d=2,所以 S13=13a1+ d=13(a1+6d)=26,2a7=2(a1+6d)=4,所以 S13+2a7=30.13122例 5 配例 4使用 已知各项都是正数的等比数列 an的公比 q1,且 a2, a3,a1成等差数列,则 的值为 ( )12 a4+a5a2+a3A. B.1+ 52 3+ 5214C. D. 或5-12 3- 52 3+ 52解析 B 由题得 a32=a2+a1,a 1q2=a1q+a1,q= , = =q2= .12 1+ 52 a4+a5a2+a3a2q2+a3q2a2+a3 3+ 52
