1、专题 10 数_列( )回 2008 2012 年的高考 ，数列是每一年必考的内容之一. 其中在填空 中，会出 等差、等比数列的基本量的求解 . 在解答 中主要考 等差、等比数列的性 ，只有 2009 年 度 中档 ，其余四年皆 . 在 2013 年的高考 中，数列的考 化不大：填空 依然是考 等差、等比数列的基本性 .在解答 中，依然是考 等差、等比数列的 合 ，可能会涉及恒等关系 和不等关系的论证 .1在等差数列 an 中， 公差d 1，前 100 的和100 45， a13599 _.2Saaa1009解析： S100 2 ( a1 a100) 45， a1 a100 10，2a1 a9
2、9 a1a100d 5.50( aa502a a a a ) 10.13599199252答案： 102已知数列 an 任意的p， q N* 足 apq ap aq，且 a2 6，那么 a10 _.解析：由已知得a4 a2 a2 12， a8 a4 a4 24，a10 a8 a2 30.答案： 30nnnS S Sn12n3 数列 a 的前 n 和 S ，令 T 12nn，称 T 数列 a ，a ， a 的“理想数”，已知数列a1， 2，500 的“理想数” 2 004 ，那么数列12， 1， 2，a500 的“理想数” _aaaa解析：根据理想数的意 有，500a1 499a2 498a3
3、a5002 004 ，500150112 500a 499a 498a a123500501501122 004 500501 2 012.答案： 2 01222x 交点的横坐 a ，k 正整数， a 16， 4函数 yx( x0) 的 象在点 ( a ，a ) 的切 与kkk 11a a a _.135解析：函数 y x2( x0) 在点 (16,256) 的切 方程 y 25632( x 16) 令 y 0 得 a2 8；同理函数yx2(x0) 在点 (8,64) 的切 方程 y64 16( 8) ，令y0 得3 4；依次同理求得4 2，5xaaa 1. 所以 a1 a3 a5 21.答案
4、： 215将全体正整数排成一个三角形数 ：按照以上排列的 律，第n 行 ( n3) 从左向右的第 3 个数 _解析：前 n 1 行共有正整数1 2 ( n 1) 个，即n2 n个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中2n2 nn2n 6第2 3 个，即 2.n2 n 6答案：2 典例 1(1) 已知正数数列 an 任意 p， qN* ，都有 ap q ap aq，若 a2 4， an _.(2) 数列 an 正 等比数列，若a2 1，且 an an1 6an 1( n N， n2) ， 此数列的前n 和 Sn_. 解析 (1) 由 aa a ， a2a 2，所以 aap 1 4，可得 a
5、a 4?a a ，即 ap a 2，即数pqpq2211p 1p11nn1n 1n 1n列 a 等比数列，所以a a q222 .6(2) 等比数列的公比 q，由 an an 1 6an 1 知，当 n 2 ， a2 a3 6a1. 再由 a2 1，得 1 q q，化 得 q2 q 6 0，解得 q 3 或 q2. q0，12n q 2， a11， Sn 22n 11.21 222nn11 答案 (1)2(2)22这两题分别是由“ap q ap aq”和“ an an 1 6an1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1) 小题中首先要确定该数列的特征，而第(2) 小题已经明确是等比数列，代入公
6、式列方程求解即可 演练 1已知 a 是等差数列， a 10，前 10项和 S 70，则其公差 d _.n1010解析：法一：因为S 70，所以1 10又 a10，所以 a 4，故 9da a 70，即 a a 14.101101012210 4 6，所以 d .31a1 4，法二：由题意得a 9d10，解得2110a 45d 70，d3.2答案：3 典例 2已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an ( 1) n， n1.(1) 写出数列 an 的前三项 a1， a2， a3；(2) 求证数列 an2n an 的通项公式3为等比数列，并求出 解 (1) 在 Sn 2an ( 1)
7、n， n1中分别令 n 1,2,3 得a1 2a1 1，a1 1，a1 a2 2a2 1，解得 a2 0，a1 a2a3 2a3 1，a3 2.(2) 由 Sn 2an ( 1) n， n1，得 Sn1 2an 1 ( 1) n1， n2.两式相减得an 2an ( 1) n 2an 1 ( 1) n1， n2.即 an 2an1 2( 1) n， n2.nn4n2nn4n 12na 2a 1 3( 1) 3( 1) 2a 1 3( 1) 3( 1) ，an 2( 1) n 2( an 12 ( 1) n 1)( n2) ，33故数列n2n21a 3是以 a1 为首项， 2 为公比的等比数列3
8、3n2n1n 1所以 a 3( 1) 32 ，1n 12n即 an 32 3( 1)31求数列通 公式的方法：(1) 公式法； (2) 根据 推关系求通 公式有：叠加法；叠乘法；S ， n 1， 化法； (3) 已知前 n 和公式用 an1nn 1求解SS， n22数列求和的基本方法：(1)公式法； (2)分 法； (3) 裂 相消法； (4) 位相减法； (5) 倒序相加法 演 2已知数列 a 的前 n 和 S，且 足 2S pa *，其中常数p2.2n， n Nnnnn(1) 明：数列 an1 等比数列；(2) 若 a2 3，求数列 an 的通 公式；(3) 于 (2)中数列 an ，若数
9、列 bn 足 bnlog 2( an 1)( n N* ) ，在 bk 与 bk 1 之 插入2k 1( k N* ) 个2，得到一个新的数列 cn ， ：是否存在正整数，使得数列 cn 的前 的和m 2 011？如果存在，mmT求出 m的 ；如果不存在， 明理由解： (1) 明：因 2S pa 2n，nn所以 2 n 1 n 1 2( 1) ，Span所以 2an 1 pan 1 pan 2，所以 an 1p an2，所以 an1 1p( an 1) p2p2p2因 211 2，且2，所以a120.apapp 2p所以 a1 1 p 20an 1 1p所以 an 1 p 20.所以数列 an
10、 1 等比数列p n(2) 由 (1) 知 an 1 p 2 ，npn所以 a p 2 1.2p21 3又因 a 3，所以 p 2所以 4，n 2n1.pa(3) 由 (2) 得 bn2n*nkk(1 2 3 k) (20 log 2 n( nN ) ，数列 c 中，b( 含 b 项 ) 前的所有 的和是 21 22 2k 2) 2 kk 2k2，2当 k10 ，其和是 55 210 2 1 0772 011 ，又因 2 011 1 077 9344672，是 2 的倍数，4所以当 m 10(1 2 22 28) 467 988 ，Tm 2 011 ，所以存在m 988 使得 Tm 2 011
11、. 典例 3将数列 an 中的所有 按每一行比上一行多两 的 排成如下数表：已知表中的第一列数a1， a2， a5，构成一个等差数列， bn ，且 b2 4， b5 10. 表中每一行正中 一个数1， 3， 7，构成数列 cn ，其前n 和 n .a a aS(1) 求数列 bn 的通 公式；(2) 若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的 序均构成等比数列，公比 同一个正数，且 a13 1.求 Sn； M n|(n 1) c*，若集合 M的元素个数 3，求 数 的取 范 ，n N n 解 (1) 数列 bn 的公差 d，b1 d 4，b1 2，n 2 .则解得所以b1 4d 10，d
12、2，bn(2) 每一行 成的等比数列的公比 .q由于前 n 行共有 1 3 5 (2 n 1) n2 个数，且321342 ，所以 a b 8.104131033131所以 a a q8q .又 a 1，解得 q2.因此 c 2n1 n 1n2 2 2.nn121n112n1ncn 2 120n21所以 Sn c1 c2 cn 12n 3 2n 2， 2Sn 20 2n 2 2n 1.111 11n1nn 2因此 Sn 101 n 2 n 1 4 n 2 n 1 4n 1，222222222n 2解得 Sn 8 2n 2 .由知cn，不等式 ( 1)nnn n2n ，可化 n 2 .2nc2n
13、n设 f ( n) 2n 2， 算得 f(1) 4， f (2) f (3) 6， f (4)5， f (5) 15，4n n因 f ( n 1) f ( n) 2n 1，5所以当 n3 ， f ( n 1) f ( n) 因 集合 M的元素的个数 3，所以 的取 范 是(4,5nn本 第二小 中的参数取 范 ，运用了函数的思想方法， 行参数分离 化 2n2nn 的取 范 ， 里要注意 n 只能取正整数 ，再构造函数求出2n 2的取 范 ， 从而得到参数 演 3下面的数 均由三个数 成，它 是：(1,2,3) ， (2,4,6)， (3,8,11 ) ， (4,16,20) ，(5,32,37
14、) ，( an， bn， cn) (1) 写出 cn 的一个表达式， cn _；(2) 若数列 cn 的前 n 和 Mn， M10 _.( 用数字作答 )解析：由1,2,3,4,5，猜想an n；由 2,4,8,16,32 ，猜想 bn 2n；由每 数都是“前两个之和等于第三个”猜想cnn 2n. 从而 M10 (1 2 10) (2 22 210)102 101.22 1答案： (1)n 2n(2)2 101 技法 1数列的 推关系是相 之 的关系，高考 推关系的考 不多，填空 中出 复 推关系 ，可以用不完全 法研究在解答 中主要是 化 等差、等比数列的基本量来求解2数列求和 ，主要考 利
15、用公式法求数列的前n 和，再 和的性 ，故不 多涉及求和的技巧以及 的 形3数列中 an 或 Sn 的最 与函数 理方法 似，首先研究数列an 或 Sn 的特征，再 一步判断数列的 性，从而得到最 要注意的 是n 只能取正整数4数列中大小比 与不等式中大小比 方法 似，同 型的多 式比 可以作差作商或用基本不等式，不同 型的比 一般要构造函数来解决5数列中的参数取 范 在 理 ，首 是参数分离，分离后根据新数列的 性确定最 或范 1已知等差数列 an 中， a7 a9 16，a41， a12 的 _解析：由 a7 a9 16，得 a8 8，由 a4 a12 2a8，得 a12 15.6答案：
16、152已知数列 an 足 a1 0， an 1 an 3( n N* ) ， a20_.3a 1n解析：由1 0，n 1 an3(nN* ) ，得23，33，4 0，由此可知：数列 n 是周aa3an 1aaaa期 化的，且循 周期 3，所以可得 a a 3.202答案：33已知 a，b，a b 成等差数列， a，b，ab 成等比数列， 且 0log m( ab)1 ， m的取 范 是_2b 2a b，b 2a，a2，解析：由 意得即解得b2 a2b，b a2，b 4.由 0log m88.答案： (8 ，)4等差数列 a 共有 21 ，其中奇数 之和 319，偶数 之和 290， n_.nn
17、1aa212n 1n 1 319，解析：由122nnn2902a a得 n10.答案： 105 等比数列 an 的公比 q，前 n 和 Sn，若 Sn 1， Sn， Sn 2 成等差数列， q 的 _解析：由 意可知1，可得 2(1 nn 1n2) ，即2 20，解得 2或q) (1q) (1 qqqqqq 1( 不合 意，舍去) ， q 2.答案： 26所有正奇数如下数表排列 ( 表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2 倍 ) ：第一行1第二行35第三行7911 13 第 6 行中 的第 3 个数是 _解析：由 1 2 4 8 16 3 34 得第六行第三个数 第34 个正奇数， 所以
18、 个数是 234 1 67.答案： 677 1 1 2a7，其中1， 3， 5，7成公比 q的等比数列，a2，4，6 成公差 1 的等差数a aa a a aaa列， q 的最小 是 _解析： a2 m， 1 m q m1 q2 m2 q3 ，要 q 取最小 ， m 必定 1，于是有1 q2,2 q23，3 q3，所以 q33.73答案： 35an 13*8已知数列 an 足 a1 2， an 1 3 n 7 ( n N) ， 数列 an 的前 100 的和 _a5 n1352 1353 1351 13解析：由 a1 2， an1a n( n N* ) ，得 a2 3，a3 1， a43 1
19、7 2，3a 732 733 7则 an 是周期 3 的数列，所以S100(2 31) 33 2 200.答案： 2009已知数列 an ， bn 足 a1 1，a2 2， b1 2，且任意的正整数i ，j ， k， l ，当 i j k l ，12 010都有 ai bj ak bl， ( ai bi ) 的 是 _2 010i 1解析：由 意得a1 1， a22， a3 3，a4 4 ， a5 5；b12， b2 3， b3 4， b4 5， b5 6. 得 an n，b n 1； c a b ，c a b n n 1 2n1， 数列 c 是首 c 3，公差 2 的等差nnnnnnnn11
20、2 0101数列，所以 (ii) 2 012.2 010a b2 0102i 1答案： 2 012n x) 在 x2 的切 与 y 交点的 坐 nan的前 n10 正整数 n， 曲 y x (1a ， 数列 n 1 和是 _解析： y nxn1nn x) 在 x2 的切 的斜率 kn1 ( n1)n ( n 1) x ，曲 y x (1 n22 ，nnnann切点 (2 ， 2 ) ，所以切 方程 y2 k( x2)，令 x 0得 an ( n1) 2 ，令 bnn 1 2，数列的前 n 和 2 22 23 2n 2n1 2.答案： 2n 12*333211已知数列 a 足 a 0 且 一切
21、n N，有 aa a S ，a a a S.nn12nn12nn* 2(1) 求 ： 一切 n N有 an1 an1 2Sn；ann 1(2) 求数列 an 通 公式解： (1)3332， 明： a1 a2 an Sn33332 a a a a S . 12nn 1n 1得223，Sn1 Sn an13即 ( Sn1 Sn)( Sn1 Sn) an 1，3an1(2 Sn an1) an 1. an 10， a2 a*n1 2S( nN ) n 1n(2)22由 an 1 an 1 2Sn 及 an an 2Sn 1( n2)两式相减，得( an 1 an)( an 1 an) an 1an. an 1 an0， an 1an 1( n2) 8当 n1,2 ，易得 a 1，a 2 也适合 an 1a 1，12n a 是等差数列，且a n.nn12 数列 an 的前n 和 n，已知1 11n( N* ) SSSSn 1n12n(1) 求 S1， S2 及 Sn；1n1216(2) 设nn，若 一切N*，均有k 的 取 范 b，m6m，求 数2ank 1bm3m解：依 意，n 1 ， S12； n 2 ， S2 6.因 111n( n N* ) ，SSSn112nn2 ，111n 1
