1、基于递归法的最接近点对问题目 录1、 问题综述 .22、 用递归法解决 .22.1 一维情形下的分析 .22.2 二维情形下的分析 .32.3 算法优化 .62.4 算法实现 .63、结论 .9基于递归法的最接近点对问题摘要：在计算机应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象表现现实世界中的实体。在涉及几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来处理，则具有最大碰撞危险的两架飞机就是这个空间中最近的一点。这类问题是计算机几何学中研究的基本问题之一。本文就运用递归法对一维和二维的情况加以讨论。关键词：最接近点对 递归法1、 问题
2、综述最接近点对问题的提法是：给定平面上 n 个点，找其中的一对点，使得在 n 个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。实际情况下，最接近点对可能多于一对，为简单起见 ，我们只找其中的一对作为问题的解。有一个最直观的方法就是将每一点与其他 n-1 个点的距离算出，找出达到最小距离的两点即可。然而，这样做效率太低，我们想到用递归法来解决这个问题。2、 用递归法解决将所给的平面上 n 个点的集合 S 分成两个子集 S1 和 S2 ，每个子集中约有 n/2 个点 。然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现递归法中的合并步骤，即由 S1 和 S2 的最接近点对，如何求得
3、原集合 S 中的最接近点对。如果组成 S 的最接近点对的两个点都在 S1 中或都在 S2 中，则问题很明显就可以找到答案。可是还存在另外一种可能，就是这两给点分别在 S1 和 S2 中的时候。下面主要讨论这种情况。2.1 一维情形下的分析为使问题易于理解和分析，我们先来考虑一维的情形。此时，S 中的 n 各点退化为 x轴上的 n 个实数 x1，x 2，x 3xn。最接近点对即为这 n 个实数中相差最小的两个实数。我们尝试用递归法来求解，并希望推广到二维的情形。假设我们用 x 轴上的某个点 m 将 S 划分为两个集合 S1 和 S2 ，使得 S1=xS | xm ;S2 = xS | xm 。这
4、样一来，对于所有 p和 qS 2 有 pq。递归地在 S1 和 S2 上找出其最接近点对p 1，p 2和q 1，q 2，并设d=min| p1- p2|，| q 1- q2|由此易知，S 中的最接近进点对或者是 p 1 ，p 2，或者是 q 1 ，q 2，或者是某个p 3，q 3，其中，p 3S 1 且 q3S 2 。如图 2-1-1 所示。图 2-1-1 一维情形的递归法我们注意到，如果 S 的最接近点对是p 3，q 3，即|p 3-q3|d，则 p3 和 q3 两者与 m 的距离不超过 d，即| p3-m|d，| q3 -m|d。也就是说 ，p 3(m-d，m ，q 3(m，m+d。由于每
5、个长度为 d 的半闭区间至多包含 S1 中的一个点，并且 m 是 S1 和 S2 的分割点，由图 2-1-1 可以看出，如果(m-d，m中有 S 中点 ，则此点就是 S1 中最大点。同理，如果(m，m+d中有 S 中点，则此点就是 S2 中最小点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d，m和(m，m+d中所有点，即 p3 和 q3。从而我们用线性时间就可以将 S1 的解和 S2 的解合并成为 S 的解。但是，还有一个问题需要认真考虑，即分割点 m 的选取，即 S1 和 S2 的划分。选取分割点m 的一个基本要求是由此将 S 进行分割，使得 S= S1S 2 ，S 1，S 2 ，且S1x|xm
6、 ,S2 x| xm 。容易看出，如果选取 m=max(S)+min(S)/2，可以满足分割要求。然而，这样选取分割点，有可能造成划分出的子集 S1 和 S2 的不平衡 。例如在最坏情况下，| S1|=1，| S2 |=n-1，这样的计算效率与分割前相比提高幅度不明显。这种现象可以通过递归法中“平衡子问题”的方法加以解决。我们可以适当选择分割点 m，使 S1和 S2 中有个数大致相等的点。我们会想到用 S 中各点坐标的中位数来作为分割点。由此，我们设计出一个求一维点集 S 的最接近点对的算法 Cpair 1 如下：-Bool Cpair 1(S,d)N=|S|;if(n2)d=;return
7、false;m=S 中各点坐标的中位数；/构造 S1 和 S2 ；S1=x S | xm ;S2 = xS | xm ;Cpair 1(S1,d1);Cpair 1(S2 ,d2);p=max(S1);q=min(S2 );d=min(d1,d2,q-p);return true-2.2 二维情形下的分析以上一维算法可以推广到二维的情形。设 S 中的点为平面上的点，它们都有两个坐标值 x 和 y。为了将平面上点集 S 线性分割为大小大致相等的两个子集 S1 和 S2 ，我们选取一垂直线 L：x=m 来作为分割直线。其中，m 为 S 中各点 x 坐标的中位数。由此将 S 分割为 S1=pS |
8、x (p) m 和 S2 =pS | x (p) m 。从而使 S1 和 S2 分别位于直线 L 的左侧和右侧，且 S=S1S 2 。由于 m 是 S 中各 x 坐标的中位数，因此 S1 和 S2 中得点数大致相等。递归地在 S1 和 S2 上解最接近点对问题，我们分别得到 S1 和 S2 中的最小距离 d1和 d2。现设 d=mind1,d2。若 S 的最接近点对(p,q) 之间的距离小于 d，则 p 和 q 必分属于S1 和 S2 。不妨设 pS 1，q S2 。那么 p 和 q 距直线 L 的距离均小于 d。因此，若我们用P1 和 P2 分别表示直线 L 的左边和右边的宽为 d 的两个垂
9、直长条区域，则 pP 1 且 qP 2，如图 2-2-1 所示。图 2-2-1 距直线 L 的距离小于 d 的所有点在一维情形下 ，距分割点距离为 d 的两个区间(m-d，m和(m，m+d中最多各有 S中一个点。因而这两点成为唯一的未检查过的最接近点对候选者。二维的情形则要复杂些。此时，P 1 中所有点和 P2 中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏的情况下有n2/4 对这样的候选者。考虑 P1 中任意一点 p，它若与 P2 中的点 q 构成最接近点对的候选者，则必有 distance(p,q) d。满足这个条件的 P2 中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个 d*2d 的矩
10、形 R 中，如图 2-2-2 所示。图 2-2-2 包含点 q 的 d*2d 矩形 R由 d 的意义可知，P 2 中任何两个 S 中的点的距离都不小于 d。由此可以推出矩形 R 中最多只有 6 个 S 中的点。下面我们来证明这个结论 。我们可以将矩形 R 的长为 2d 的边 3 等分，将它的长为 d 的边 2 等分，由此导出 6 个（d/2）*（2d/3）的矩形。如图 2-2-3(a) 所示。如图 2-2-3 矩形 R 中点的稀疏性若矩形 R 中有多于 6 个 S 中的点，则由鸽舍原理 1易知至少有一个（ d/2）*（2d/3）的小矩形中有 2 个以上 S 中的点。设 u，v 是这样 2 个点
11、，它们位于同一小矩形中，则（x（u）-x（v） ） 2+（y（u）-y（v） ） 2 （d/2） 2+（2d/3 ） 2=25/36d2因此， distance(u,v) 5d/6 d。这与 d 的意义相矛盾。也就是说矩形 R 中最多只有6 个 S 中的点。1 鸽舍原理也称“抽屉原理” ，一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有 n+1 或多于 n+1 个元素放到 n 个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。 ”图 2-2-3（b）是矩形中恰有 6 个 S 中点的极端情形。由于这种稀疏性质 ，对于 P1 中任意一点 p，P 2 中最多只有 6 个
12、点与它构成最接近点对的候选者。因此，在递归法的合并步骤中，我们最多只需要检查 6*n/2=3n 个候选者，而不是 n2/4 个候选者。我们将 p 和 P2 中所有 S2 的点投影到垂直线 L 上。由于能与 p 点一起构成最接近点对候选者的 S2 中点一定在矩形 R 中，所以它们在直线 L 上的投影点距 p 在 L 上投影点的距离小于 d。由上面的分析可知， 这种投影点最多只有 6 个。因此，若将 P1 和 P2 中所有S 中点按其 y 坐标排好序，则对 P1 中所有点，对排好序的点列做一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对 P1 中每一点最多只要检查 P2 中排好序的相继 6 个点。至
13、此，我们给出用递归法求二维点集最接近点对的算法 Cpair 2 如下：-bool Cpair 2(S,d)N=|S|;If(nm 2. Cpair 2(S1,d1);Cpair 2(S2 ,d2);3. dm=min(d1,d2);4. 设 P1 是 S1 中距垂直分割线 L 的距离在 dm 之内的所有点组成的集合；P2 是 S2 中距分割线 L 的距离在 dm 之内所有点组成的集合；将 P1 和 P2 中点依其 y 坐标值排序；并设 X 和 Y 是相应的已经排好序的点列；5. 通过扫描 X 以及对于 X 中每个点检查 Y 中与其距离在 dm 内的所有点（最多 6 个）可以完成合并；当 X 中
14、的扫描指针逐次向上移动时， Y 中的扫描指针可在宽为 2dm 的一个区间内移动；设 dl 是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离；6. d=min(dm，dl)；return true；-2.3 算法优化在以上二维情形下的算法中，在每次执行第 4 步时都要进行排序，这将花费较多的时间，从而增加算法的复杂度。因此，在这里我们要作一个技术处理。我们采用设计算法时常用的预排序技术，在使用递归法之前，预先将 S 中 n 个点依其 y 坐标值排好序，设排好序的点列为 P*。在执行递归法的第 4 步时，只要对 P*作一次线性扫描，即可抽取出我们所需要的排好序的点列 X 和 Y。然后，在第 5 步时再对 X
15、 作一次线性扫描，即可求得 dl。2.4 算法实现在具体实现算法 Cpair 2 时，我们分别用类 Point X 和 Point Y 表示依 x 坐标和依 y 坐标排序的点。-Class Point XPublic:Int operatorInline float distance(const Type Float dy=u.y-v.y;Return sqrt(dx * dx + dy * dy);-在算法 Cpair 2 中，用数组 X 存储输入的点集。在算法的预处理阶段，将数组 X 中的点依 x 坐标和依 y 坐标排序，排好序的点集分别存储在数组 X 和数组 Y 中。事实上，我们只要取
16、m=(L+r)/2，则 XL:m和 Xm+1:r就是满足要求的分割。依 y 坐标排好序的数组 Y用于在算法的合并步中快速检查 d 矩形条内最接近点对的候选者。-Bool Cpair 2(Point X X,int n,Point XElseZf+ = Yi ;Closest (X,Z,Y,L,m,a,b,d);Float dr;Point X ar ,br;Closest (X,Y,Z,m+L,r,ar,br,dr);If (drd) a = ar;b = br;d =dr;Merge(Z,Y,L,m,r); /重构数组 Y/d 矩形条内的点置于 Z 中Int k = L;For (int i
17、 = L, i= r, i+)If(fabs(Ym.x Yi.x)d)Zk+=Yi; /搜索 ZL:k-1For(int i = L;i=k;i+)For (int j =i+1;jk j+)Float dp = distance (Zi,Zj);If (dp p)d = dp;a =XZi.p;b =XZj.p;3、结论3.1.对于一类问题，如果该问题规模为 n，但是可以分解为 k 个互相独立且与原问题相同的规模较小的子问题的话，我们就可以运用递归法，递归的解决这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。 3.2 通过对最接近点对问题的解决 ，熟悉了解决问题的基本步骤和方法：首先对问题进行分类，然后运用该类问题的处理思路进行算法的设计，最后还要考察所设计算法的复杂性，进一步进行优化处理。
