1、抛物线上存在性问题的探究教案一、教学目标1、通过本节课的复习，进一步提高学生运用二次函数、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决问题的能力。2 能从数和形的角度探究抛物线上图形的若干综合问题二、重点和难点重点：利用抛物线上的图形的特性，如何将问题转化为基本的数学问题难点：根据题意找出能使四边形转变成平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件。三、教学过程一、平行四边形与抛物线1、 （2012 钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B 的坐标分别为（4，0） 、 （0，3） ，抛物线 y= x2+bx+c 经过点 B，且对称轴是直线 x= （1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中ABO 沿 x
2、 轴向左平移到DCE（如图乙） ，当四边形 ABCD 是菱形时，请说明点 C 和点 D 都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点 M 是抛物线上的一个动点（点 M 不与点 C、D 重合） ，经过点 M作 MNy 轴交直线 CD 于 N，设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l，求 l 与 t 之间的函数解析式，并求当 t 为何值时，以 M、N、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形 （参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（ ， ） ，对称轴是直线 x= ）1、解：（1）由于抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 B（0 ，4） ，则 c=4；抛物线的对称轴 x=
3、= ，b=5a= ；即抛物线的解析式：y= x2+ x+4（2）A （4，0） 、B（3，0）OA=4，OB =3，AB = =5；若四边形 ABCD 是菱形，则 BC=AD=AB=5，C（ 5，3） 、D（1，0） 将 C（5，3）代入 y= x2+ x+4 中，得： （5） 2+ （ 5）+4=3，所以点 C 在抛物线上；同理可证：点 D 也在抛物线上（3）设直线 CD 的解析式为：y=kx+b，依题意，有：，解得 直线 CD：y= x 由于 MNy 轴，设 M（t， t2+ t+4） ，则 N（t ， t ） ；t 5 或 t1 时，l=MN= （ t2+ t+4）（ t ）= t2+
4、t+ ；5t1 时，l=MN= （ t ）（ t2+ t+4）= t2 t ；若以 M、N、C、E 为顶点的四边形是平行四边形，由于 MNCE，则 MN=CE=3，则有：t2+ t+ =3，解得：t= 32 ；二、梯形与抛物线1、已知，在 RtOAB 中，OAB=90，BOA=30，AB =2若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一象限内将 RtOAB 沿 OB 折叠后，点 A 落在第一象限内的点 C 处（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线 y=ax2+bx（a0 ）经过 C、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与 OB
5、 交于点 D，点 P 为线段 DB 上一动点，过 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M，问：是否存在这样的点 P，使得四边形 CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由1、解：（1）过点 C 作 CHx 轴，垂足为 H；在 RtOAB 中， OAB=90，BOA=30，AB=2，OB=4，OA =2 ；由折叠的性质知：COB=30，OC=AO =2 ，COH=60，OH= ，CH=3；C 点坐标为（ ，3） （2）抛物线 y=ax2+bx（a0）经过 C（ ，3） 、A（2 ，0）两点， ，解得 ；此抛物线的函数关系式为：y=x 2+2 x（3）存在因为
6、y=x2+2 x 的顶点坐标为（ ，3） ，即为点 C，MP x 轴，垂足为 N，设 PN=t；因为BOA=30，所以 ON= t，P（ t，t） ；作 PQCD，垂足为 Q，ME CD，垂足为 E；把 x= t 代入 y=x2+2 x，得 y=3t2+6t，M（ t，3t 2+6t） ，E（ ，3t 2+6t） ，同理：Q（ ，t） ，D（ ， 1） ；2.（2012 玉林）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是（0，4） ，现有两动点 P，Q，点 P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以每秒 2 个单位长度的速度匀速向点 C 运动，点 Q 从
7、点 C 出发沿线段 CD（不包括端点 C，D ）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动点 P，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为 t（秒） ，当t=2（秒）时，PQ=2 （1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围（2）连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E，把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F，连接 EF，则AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出 S 的值（3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？.解：（1）由题意可知，当 t=2（秒）时，OP=4，CQ=2 ，在 RtPCQ 中，由
8、勾股定理得：PC = =4，OC=OP+PC=4+4=8，又 矩形 AOCD，A（0，4） ， D（8，4） 点 P 到达终点所需时间为 =4 秒，点 Q 到达终点所需时间为 =4 秒，由题意可知，t 的取值范围为： 0t 4（2）结论：AEF 的面积 S 不变化AOCD 是矩形， ADOE，AQD EQC， ，即 ，解得 CE= 由翻折变换的性质可知：DF= DQ=4t，则 CF=CD+DF=8tS=S 梯形 AOCF+SFCESAOE= （OA+CF） OC+ CFCE OAOE= 4+（8t）8+ （8 t） 4（8+ ）化简得：S=32 为定值所以AEF 的面积 S 不变化， S=32
9、（3）若四边形 APQF 是梯形，因为 AP 与 CF 不平行，所以只有 PQAF由 PQAF 可得：CPQDAF， ，即 ，化简得 t212t+16=0，解得：t 1=6+2 ，t 2=62 ，由（1）可知，0t4，t 1=6+2 不符合题意，舍去当 t=（6 2 ）秒时，四边形 APQF 是梯形三、等腰三角形、菱形与抛物线1、 （2012 龙岩）在平面直角坐标系 xOy 中，一块含 60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（ 1，0） （1）请直接写出点 B、C 的坐标： B 、C ；并求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式；（2）现有
10、与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中EDF=90，DEF=60） ，把顶点 E放在线段 AB 上（点 E 是不与 A、B 两点重合的动点） ，并使 ED 所在直线经过点 C此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点 M设 AE=x，当 x 为何值时，OCE OBC；在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P 使 PEM 是等腰三角形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由1、解：（1）点 A（ 1，0） ，OA=1，由图可知，BAC 是三角板的 60角， ABC 是 30角，所以，OC=OAtan60=1 = ，OB=OCcot30= =3，所以，点 B（3，0） ，C
11、（0， ） ，设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，则 ，解得 ，所以，抛物线的解析式为 y= x2+ x+ ；（2）OCE OBC， = ，即 = ，解得 OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即 x=2 时，OCEOBC；存在理由如下：抛物线的对称轴为 x= = =1，所以，点 E 为抛物线的对称轴与 x 轴的交点，OA=OE，OCx 轴，BAC=60，ACE 是等边三角形，AEC=60，又DEF=60，FEB=60，BAC=FEB，EFAC，由 A（1，0） ，C（0， ）可得直线 AC 的解析式为 y= x+ ，点 E（1，0） ，直线 EF 的解析式为 y= x ，联立 ，
12、解得 ， （舍去） ，点 M 的坐标为（2， ） ，EM= =2，分三种情况讨论PEM 是等腰三角形，当 PE=EM 时，PE =2，所以，点 P 的坐标为（1，2）或（1，2） ，当 PE=PM 时， FEB=60，PEF=9060=30，PE= EMcos30= 2 = ，所以，点 P 的坐标为（1， ） ，当 PM=EM 时， PE=2EMcos30=22 =2 ，所以，点 P 的坐标为（1，2 ） ，综上所述，抛物线对称轴上存在点 P（1，2）或（1，2）或（1， ）或（1，2 ） ，使PEM 是等腰三角形四、直角三角形与抛物线1、 （2012 广州）如图，抛物线 y= 与 x 轴交于
13、 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式1、解：（1）令 y=0，即 =0，解得 x1=4，x 2=2，A、 B 点的坐标为 A（4，0） 、B （2，0） （2）S ACB= ABOC=9，在 RtAOC 中，AC= = =5，设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有 ACh=9，解得 h= 如
14、答图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离 =h= ，这样的直线有 2 条，分别是 l1 和 l2，则直线与对称轴 x=1 的两个交点即为所求的点 D设 l1 交 y 轴于 E，过 C 作 CFl1 于 F，则 CF=h= ，CE= = 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（ 4，0） ，B（0，3）坐标代入，得到 ，解得 ，直线 AC 解析式为 y= x+3直线 l1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（ 个长度单位）而形成的，直线 l1 的解析式为 y= x+3 = x 则 D1 的纵坐标为 （ 1） = ，D 1（4， ） 同理，直线 AC 向上平移
15、 个长度单位得到 l2，可求得 D2（ 1， ）综上所述，D 点坐标为：D 1（4， ） ，D 2（1， ） （3）如答图 2，以 AB 为直径作 F，圆心为 F过 E 点作 F 的切线，这样的切线有 2条连接 FM，过 M 作 MNx 轴于点 NA（ 4，0） ，B（2，0） ， F（ 1，0） ，F 半径 FM=FB=3又 FE=5，则在 RtMEF 中，ME= =4，sin MFE= ，cos MFE= 在 RtFMN 中，MN=MNsinMFE=3 = ，FN=MNcosMFE=3 = ，则 ON= ，M 点坐标为（ ， ）直线 l 过 M（ ， ） ，E（4，0） ，设直线 l 的解
16、析式为 y=kx+b，则有，解得 ，所以直线 l 的解析式为 y= x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为 y= x3综上所述，直线 l 的解析式为 y= x+3 或 y= x3五、相似三角形与抛物线1、 （2012 福州）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（a0）经过 A（3，0） 、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求m 的值及点 D 的坐标；（3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且 NBO=ABO，则在（ 2）的条件下，求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标（点 P、O、D 分别与点 N、
17、O、B 对应） 1、解：（1）抛物线 y=y=ax2+bx（a0）经过A（3，0） 、B （4，4） ，解得：抛物线的解析式是 y=x23x（2）设直线 OB 的解析式为 y=k1x，由点 B（4，4） ，得：4=4k 1，解得：k 1=1直线 OB 的解析式为 y=x，直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y=x m，点 D 在抛物线 y=x23x 上，可设 D（x，x 23x） ，又点 D 在直线 y=xm 上，x23x=xm，即 x24x+m=0，抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得：m=4，此时 x1=x2=2，y =x23x=2，D 点的坐标为（2， 2） （
18、3）直线 OB 的解析式为 y=x，且 A（3，0） ，点 A 关于直线 OB 的对称点 A的坐标是（0，3） ，设直线 AB 的解析式为 y=k2x+3，过点（4，4） ，4k2+3=4，解得：k 2= ，直线 AB 的解析式是 y= ，NBO=ABO，点 N 在直线 AB 上，设点 N（n， ） ，又点 N 在抛物线 y=x23x 上， =n23n，解得：n 1= ，n 2=4（不合题意，舍去）N 点的坐标为（ ， ） 方法一：如图 1，将NOB 沿 x 轴翻折，得到N 1OB1，则 N1（ ， ） ，B 1（ 4， 4） ，O、 D、 B1 都在直线 y=x 上P1ODNOB，P1ODN
19、1OB1， ，点 P1 的坐标为（ ， ） 将OP 1D 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（ ， ） ，综上所述，点 P 的坐标是（ ， ）或（ ， ） 六、抛物线中的翻折问题1、 （2012 天门）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 交 x 轴于 A（1，0） ，B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，与过点 C 且平行于 x 轴的直线交于另一点 D，点 P 是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点 D 坐标；（2）点 E 在 x 轴上，若以A，E，D，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点 P 的坐标；（3）过点 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 Q，若将CPQ 沿 CP
20、 翻折，点 Q 的对应点为Q是否存在点 P，使 Q恰好落在 x 轴上？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，说明理由1、解：（1）抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点， ，解得：y= x2+ x+2；当 y=2 时， x2+ x+2=2，解得：x 1=3，x 2=0（舍） ，即：点 D 坐标为（3，2） （2）A，E 两点都在 x 轴上，AE 有两种可能：当 AE 为一边时， AEPD，P1（0，2） ，当 AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知 P 点、D 点到直线 AE（即 x 轴）的距离相等，P 点的纵坐标为 2，代入抛物线
21、的解析式： x2+ x+2=2解得：x 1= ，x 2= ，P 点的坐标为（ ，2） ， （ ， 2）综上所述：p 1（0，2） ；p 2（ ，2） ；p 3（ ， 2） （3）存在满足条件的点 P，显然点 P 在直线 CD 下方，设直线 PQ 交 x 轴于 F，点 P 的坐标为（a， a2+ a+2） ，当 P 点在 y 轴右侧时（如图 1） ，CQ=a，PQ=2（ a2+ a+2）= a2 a，又CQO+FQ P=90，COQ= QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP， ， ，QF=a3，OQ=OFQF=a（a3）=3 ，CQ=CQ= = ，此时 a= ，点 P 的坐标为（ ， ） ，
22、当 P 点在 y 轴左侧时（如图 2）此时 a0， ， a2+ a+20，CQ= a，PQ=2（ a2+ a+2）= a2 a，又CQO+FQ P=90，CQ O+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=Q FP=90，COQQFP， ， ，Q F=3a，OQ=3，CQ=CQ= ，此时 a= ，点 P 的坐标为（ ， ） 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（ ， ） ， （ ， ） 2、 （2010 恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3）点，点 P是直线 BC 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积
