1、1寒假训练 05 基本不等式与线性规划2018八一中学若变量 x， y满足约束条件2036xy，求：（1） 23zxy的最大值；（2） 的取值范围；（3） 21zxy的取值范围【答案】 （1）5；（2） 25,6；（3） 1,08【解析】作出可行域，如图阴影部分所示由 20236xyxy，即 ,0A，由 10xy，即 ,B，由 363x，即 ,C，（1）如图可知 2zy，在点 2,0A处取得最优解， max5z；（2） 3yx，可看作 ,x与 3,取的斜率的范围，在点 ,0A， ,C处取得最优解， min25z， max326z， 5,6z；2(3) 222 114zxyxy，221xy可看作
2、 ,xy与 ,2距离的平方，如图可知 min12d， mini148zd，在点 3,C处取得最大值，22ax30， 1,08z一、选择题12018深圳实验已知 x， y满足02xy，则 zxy的最大值为（）A4 B3 C2 D122018哈尔滨三中设 x， y满足约束条件360,xy，则目标函数 32zxy的最小值为（）A4 B 2C 6D 832018宁德期中已知 0x，函数 4yx的最小值是（）A6 B5 C4 D342018北师附中下列不等式中，不正确的是（）A 12xB 210xC 254D若 3，则 53x352018华侨中学变量 x， y满足21xy，则 3zyx的取值范围为（）A
3、 1,6B 2,6C 2,5D 1,262018东北育才函数 51yx取得最小值时的 x的值为（）A 51B 3C 5D 5172018雅礼中学不等式组04xy所表示的平面区域的面积等于（）A 32B 23C 3D 3482018皖南八校若 0m， n， 12n上，则 2mn的最小值为（）A3 B4 C5 D692018鹤岗一中设实数 x， y满足不等式组 21xy，则 2xy的取值范围是（）A 1,2B 1,4C ,3D ,4102018广州模拟已知不等式 19axy对任意正实数 x， y恒成立，则正实数 a的最小值为（）A2 B4 C6 D 8136112018皖南八校设不等式组2043x
4、y，所表示的平面区城为 M，若直线 21ykx的图象经过区域 M，则实数 k的取值范围是（）A ,B ,12C 3,2D 1,3122018广西质检已知函数 lgfx， 0ab，若 pfab， 2abqf，12rfafb，则 p， q， r的大小关系是（）4A prqB prqC qrpD qrp二、填空题132018鄂尔多斯期中用绳子围成一块矩形场地，若绳长为 20 米，则围成最大矩形的面积是_平方米142018淄博期末设变量 x， y满足约束条件：312xy，则目标函数 1yzx的最小值为_152018黑龙江实验中学已知 0x， y，且 1xy，若 2xym恒成立，则实数 m的取值范围是_
5、162018宜宾四中若 x， y满足约束条件10:3xy，则 ,xy，都有 260axy成立；则 a的最小值是_三、解答题172018宁阳一中（1）已知 3x，求 43yx的最小值，并求取到最小值时 x的值；（2）已知 0x， y， 23y，求 xy的最大值，并求取到最大值时 x、 y的值5182018闽侯二中某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料1 千克， B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A原料 2 千克， B原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A， 原料都不超过 12 千
6、克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？6寒假训练 05 基本不等式与线性规划一、选择题1 【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，通过平移 20xy到点 2,的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为 4故选 A2 【答案】C【解析】画出约束条件3602,xy表示的平面区域，如图所示；由 32zxy得 312xz，平移直线 312yxz，由图象可知当直线 经过点 A时，直线的截距最小，此时 z最小；由 360xy，解得 2,0，此时 min3206z， 2z的最小值为 6故选 C3 【答案】C【解析】 0x，函数 424yx，当且仅当 4
7、x， 2时，等号成立，7故函数 4yx的最小值是 4，故选 C4 【答案】A【解析】在 A 中，若 0x，则 10x，故 A 不成立；在 B 中， 21x， 43，不等式 210x的解集为 R，故 B 成立；在 C 中，22225144xx，设 2t， ， gtt在 ,上递增，有最小值 52g，故 C 成立；在 D 中， 3x， 0， 11133xxx，当且仅当 4时取等号， 3的最小值为 5，D 成立；不正确的结论是 A，故选 A5 【答案】A【解析】画出21xy表示的可行域，由 21xy，可得 10xy，将 3z变形为 3z，平移直线 13yxz，由图可知当直 1yx经过点 0,2A时，直
8、线在 轴上的截距最大，目标函数 z取得最大值 max6z，8由图可知当直 13yxz经过点 1,0B时，直线在 y轴上的截距最小， z在点 ,0B处取得最小值 min3， 16x，故选 A6 【答案】B【解析】 551yxx， 12，当且仅当 1x时，取得最小值，函数 y在 51,x上单调递增， ,5上递减，由于 2，函数 yx在区间 2,上单调递增，因此，当 x时，函数取得最小值 13，故选 B7 【答案】C【解析】不等式组对应的可行域如图所示：由 34xy得到 1,A，两条直线的纵截距分别为 43和 ，故不等式组对应的可行域的面积为 12，故选 C8 【答案】B【解析】 0m， n， 1n
9、， 122 24mn，当且仅当 ，即 时，取“ ”故选 B9 【答案】B【解析】设 2zxy，则 的几何意义为动点 ,Pxy到原点距离的平方，z9作出不等式组21xy，对应的平面区域如图，由图象可知点 0,2A到原点的距离最大， 2zxy最大值为 4，原点到直线 1y的距离最小， 2的最小值为 1z， 2x的取值范围是 ,4，故选 B10 【答案】B【解析】由 1129axayxy a ， 280a， 420a， 4故选 B11 【答案】A【解析】画出不等式组2043xy表示的可行域，如图 ABD ，21ykx恒过 2,1C， 12ykx即为可行域内的点 ,xy与 2,1C连线的斜率，由图可知
10、， Bk，即实数 的取值范围是 ,1，故选 A12 【答案】B10【解析】由 2ab，函数 lgfx在 0,上单调递增，可得 ff又 11lgl22rfafbabfap， 2abqf，故 pq故选 B二、填空题13 【答案】25【解析】设矩形的长和宽为小 x、 y， 0， y，绳长为 20 米，则 10y，25，当且仅当 5xy时等号成立则围成最大矩形的面积是 25 平方米14 【答案】1【解析】 1yzx的几何意义为区域内点到点 0,1G的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知， AG的斜率最小，由 32xy 解得 21xy，即 ,A，则 的斜率 12k，故答案为 115 【答案】
11、 4m【解析】由 1xy，可得 214428xyxyxyxy ，而 2恒成立 2min，11 28m恒成立，即 280m恒成立，解得 4m2故答案为 416 【答案】 103【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，根据题意设 2623zaxyaxy，则目标直线过点定点 2,3，由图像可知，当目标函数过点 1,C时，对 ,x，都有 60axy成立，故 0123a， 0a即答案为 103三、解答题17 【答案】 （1）当 5x时， y的最小值为 7；（2） x， 3y时， xy的最大值为6【解析】 （1）已知 3x，则 0，故 444237yxx，当且仅当 43x，解得 5，即当 5x时， y的最小值为 7（2）已知 0， ， 23，则 236xy，解得 6xy，即 123xy，解得 x， 3y时， xy的最大值为 618 【答案】 280【解析】设公司每天生产甲种产品 x桶，乙种产品 y桶，公司每天共可获得的利润为 z元，12依题意，得210xyN且且，目标函数为 304zxy，可行域为如图所示的阴影部分，目标函数 304zxy可变形为 340zyx，这是随 z变化的一族平行直线由 21xy，解得 ，即 ,A目标函数 304zxy过点 时取得最大值为 max1206280z(元)每天生产的甲、乙两种产品都为 4 桶，公司共可获得的最大利润是 元
