1、2002 年线性代数与空间解析几何试题（A）一.填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设矩阵 ， ，则行列式 .20541130BAB2设 ，若 3 阶非零方阵 满足 ，则 .tA3 0t3已知 3 阶方阵 的行列式 ，则行列式|A|2|1A4设 3 阶方阵 的三个特征值分别为 1、2、3，又方阵 ，EAB2则方阵 的特征值为.B5若矩阵 为正定矩阵，则 的取值范围是.aA012a二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件【 】x(A) 的行向量组线性相关; (B) 的列向量组线性相关;A(C) 的行向量中有一个为零向量; (D) 为方阵且其行列
2、式为零.A2设 维行向量 ，矩阵 ， ，其中n)21,0,(TIT2IB为I阶单位阵，则 【 】B(A) 0； (B) ； (C) ； (D) .IITI3设 是齐次方程组 的基础解系，则下列向量组中也可作为321,0Ax的基础解系的是【 】Ax(A) ; (B) ;3213, 1321,(C) 21;(D) 321,.4 已知线性方程组 32xa有无穷多个解，则 a【 】(A) 2； (B) ； (C) 1； (D) 1.5 设矩阵 nmA的秩 nr)(，下述结论中正确的是.【 】(A) 的 任 意 个 列 向 量 必 线 性 无 关 ；(B) A的任意一个 m阶子式不等于零；(C)齐次方程
3、组 0x只有零解；(D)非齐次方程组 bx必有无穷多解.三. (10 分)已知方阵 20136A，试求行列式 |A及逆矩阵 1.四.（10 分）设方阵 31，已知 B26，求 .五. (12 分)讨论 为何值时，方程组 321)(0)(xx（ 1） 有 唯 一 解 ？ （ 2） 无 解 ？ （ 3） 有 无 穷 多 解 ？ 并 在 有 无 穷 多 解 时 求 出 其 通 解 .六.(10 分) 设向量组： T,(， T),43(， T)0,4(， T4)1,(，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.七. (12 分)用正交变换化二次型 32321321 4, xxx
4、f 为标准型，并求出所用的正交变换及 的标准型. 八. (8 分)已知 3 阶方阵 )(ijaA满足： ijijA， 0a，其中 ijA为元素 ija的代数余子式，求 .|九.(8 分)设两向量组： 321,I， 421,I的秩为 3)I(,2)r，证明：向量组 4321,的秩为 3.2002 年线性代数与空间解析几何试题（B）一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设矩阵 20541A， 130，则行列式 AB.2设 t2341，若 3 阶非零方阵 B满足 0，则 t.3齐次线性方程组 020131x的基础解系为_.4曲线 )( xzexy绕 o轴旋转一周所得旋转面的方程为.5若矩阵 a
5、A012为正定矩阵，则 a的取值范围是.二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1 齐次线性方程组 x有非零解的充分必要条件是【 】(A) A的行向量组线性相关; (B) A的列向量组线性相关;(C) 的行向量中有一个为零向量; (D) 为方阵且其行列式为零.2 设 n维行向量 )21,0,(，矩阵 TI， T2IB，其中 I为 阶单位阵，则 AB【 】(A) 0； (B) I；(C) ； (D) TI.3 设 321,是齐次方程组 x的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax的基础解系的是【 】(A) 321, ; (B) 1321,;(C) 321;(D) 321,0.6 已知线性方程
6、组 132xa有无穷多个解，则 a【 】(A) 2； (B) ； (C) 1； (D) 1.7 设矩阵 nmA的秩 nr)(，下述结论中正确的是【 】(A) 的 任 意 个 列 向 量 必 线 性 无 关 ； (B) A的任意一个 m阶子式不等于零；(C)齐次方程组 0x只有零解；(D)非齐次方程组 bx必有无穷多解.三. (10 分)已知 3 阶方阵 A可逆且 30211，试求 A的伴随矩阵的逆矩阵.四.（12 分）证明直线 3:1zyxL与直线 243514:2zyxL在同一平面 上，并求 与 2交点的坐标，及平面 的方程.五. (12 分)设向量 T1)4 ,(， T) ,310(， T
7、3)1 ,0 ,(a，T4)5 ,2(a， ,6 ,(b，问 ba,取何值时，向量 可由向量组 431线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式.六.(8 分)设两向量组： 321,I(， 421,)I的秩为 3)I(,2)r，证明：向量组 4321,的秩为 3.七. (10 分)已知方阵 30abA的特征值为 .0,321（1） 求 ba,的值；（2） 是否可以对角化？若可以，求可逆矩阵 P及对角矩阵 D，使得DP1.一 .(12 分 )用 正 交 变 换 化 二 次 型 3212321321 8878),( xxxxf 为标准型，并求出所用的正交变换及 f的标准型九. 证明题（6 分）
8、（两题中选做一题）1 设 3 维欧几里德 V有两个标准正交基 321,)I(， 321,)I(.已知 )I(可由 )I(线性表示为 323132aa，试证：矩阵 3ijaA为正交矩阵.2 设 A为 n阶方阵， )(AR表示矩阵 的秩，试证： ).()(1nnR2002 年线性代数与空间解析几何试题（C）一. 填空题（每小题 3 分，共 30 分）1. 已知 3 阶方阵 A的行列式 0|a，则行列式 |2|A.2. 已知 3 阶方阵 ),(321B，其中 321,为 B的列向量组，若行列式 |，则行列式 |,| .3. 已知 n阶方阵 ，满足 E， 为单位阵，则 1.4设矩阵 10A， A为 的
9、伴随阵，则 )(A_.5设 231t，若 3 阶非零方阵 B满足 0，则 t_.6. 设向量组： T1)0,(， T2)4,(， T3),1(t线性相关，则t_.7.设 21,是 n维向量，令 1， 21， 2，则向量组 3,的线性相关性是.8. 设 A为 4的矩阵且秩为 2，又 3 维向量 21,是方程组 bAx的两个不等的解，则对应的齐次方程组 0Ax的通解为.9. 设 3 阶可逆方阵 有特征值 2，则方阵 12)(必有一个特征值为.10. 若二次型 231321),( xxf 为正定二次型，则的取值范围是_.二. (8 分) 已知方阵 yxxyA32，试求行列式 |A.三.(12 分)
10、设方阵 201,012B，又已知 BX，求XA ,1以及 5.四. (12 分)讨论 为何值时，方程组 321)(0)(xx(1) 有唯一解？(2) 无解？(3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.五.( 10 分 )设 向 量 组 ： T1),(， T2,43， T)0,42(， T4)1,(，试 求 此 向 量 组 的 秩 和 一 个 极 大 无 关 组 ， 并 将 其 余 向 量 用 极 大 无 关 组 线 性 表 示 .六. (12 分) 用正交变换化二次型 3232131),( xxxf 为标准型，并求出所用的正交变换及 f的标准型. 七. (8 分)设方阵 A为 n阶正交阵且 0|A
11、， E为 n阶单位阵，试求行列式.|EA八.(8 分)设两向量组： 321,)I(， 4321,)I(的秩为 3)I(r，证明： 4可由向量组 线性表出.2005 年线性代数与空间解析几何试题（A）符号说明： 指方阵 的行列式； 指方阵 的伴随矩阵； 指矩阵 的转置)det(*ATA矩阵； 指矩阵 的秩； 为单位矩阵； 指次数不超过 的一元多项式全体构rInxFn成的线性空间.一、填空题 (每小题 3 分，共 12 分)(1) 若 3 阶方阵 、 的行列式分别为 ，AB3)det(,2)det(BA 则 _.)2det(*1(2) 设 4 阶可逆方阵 按列分块为 ，方阵4321 ，已知线性方程
12、组 有唯一解为 ，2314 BbBxT) ,75(x则方程组 的解为 =_ .bAxx(3) 设 3 阶实对称矩阵 的特征值为 ， 及1,213 T)3,2(均为 的对应于特征值 2 的特征向量，则 的对应于特征T)4,2( A值 的特征值向量为_.1(4) 设矩阵 ，已知线性方程组 无解，则常A301,210btp bx数 与 满足的关系式是_.pt二、单项选择题(每小题 3 分，共 12 分)(1) 设 阶方阵 的秩为 ， 矩阵 的秩为 ，则mAnmBs(A) . (B) .(rBs)(rA)(C) . (D) . 【 】(2) 设方阵 与 相似，即存在可逆方阵 ，使 ，已知 为 的对P1
13、A应于特征值 的特征向量，则 的对应于特征值 的特征向量为B(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】PTP1(3) 设 为实对称矩阵，则 是 为正定矩阵的A0)det(A(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设 是齐次线性方程组 的基础解系，则向量组321 ,0Ax(A) 不能作为 的基础解系.13 ,(B) 可作为 的基础解系.21 ,0x(C) 可作为 的基础解系 .132A(D) 不能作为 的基础解系. 【 】211 , ,三、(12 分) 已知方阵 的第 1 行元素分别为 ， ，3)
14、(ija1a2，且知 ，求 及 .13a52479*A)det(A四、 （12 分）设有向量组(I)： ， ，T1) ,3(T2)4,3 (， .问向量 能否表示成向T3),1 4(47 , ,076,量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.五、 （12 分）求直线 ： 在平面 ： 上的投影直线Lzyx112zyx（即 上各点在 上的垂足点全体所形成的直线）的方程.0l六、(13 分) 已知矩阵 相似于对角矩阵 . Aab32140D(1) 求常数 、 的值；(2) 求一个可逆矩阵 ，使 .abPA1七、 （13 分）求一个正交变换，将二次型 化3232321),( xxxf 成标准形，并指
15、出二次曲面 的名称. 0),(321xf八、(8 分)（注意：学习过第 8 章“线性变换”者做第 2 题，其余的做第 1 题）.1. 设矩阵 ， ， ， .312A41103A62734A证明：元素组 线性无关，而 线性相关，并指出数域2, 4321,上线性空间 + | 的基与维数.F1kW4k, F,ii2. 设 为 上的线性算子，定义为 ,T3Fx )(1()xffxfT3Fxf求 在 的基： 下的矩阵，并指出 的秩及 的零度.32 ,1xT九、 （6 分）设 阶方阵 的秩为 . 证明： 的伴随矩阵 相似于对角矩阵nA1nA*的充要条件是 ，其中 为 的 元素的代数021 i)det(,i
16、余子式.2005 年线性代数与空间解析几何试题（B）符号说明： 指方阵 的行列式； 指方阵 的伴随矩阵； 指矩阵 的转置)det(A*ATA矩阵； 指矩阵 的秩； 为单位矩阵； 指次数不超过 的一元多项式全体构rInxFn成的线性空间.一、填空题 (每小题 3 分，共 12 分)(1) 若 3 阶方阵 的行列式为 ，则 _.A2det(A1*det(2)A(2) 设 为 的矩阵，秩 ，已知方程组 有两个不等的特解43)rbx，则方程组 的通解为 =_ .21,0xx(3) 设 3 阶实对称矩阵 的特征值为 ，又 为 的2,132T)0,(1A对应于特征值 1 的特征向量，则 为_.A(4) 设
17、 ，已知非零矩阵 满足 ，则 =_.At230B0t二、单项选择题(每小题 3 分，共 12 分)(1) 设 阶方阵 的秩为 ，则矩阵 的秩为m2mA(A) . (B) . (C) . (D) 0. 【 】21(2) 设三阶方阵 可逆，且各行元素之和均为 2，则 A 必有特征值A(A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】(3) 是 线性无关的2a T3T2T1 ),1(,0)(1,(,-) aa(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设 为 矩阵且 ，则下述结论正确的是Anmn(A)
18、 必有解. (B) 必有无穷多组解.)0(bx0Ax(C) 只有零解. (D) 必无解. 【 】)(b三、(12 分) 已知 ，又三阶方阵 满足10,4105362BAX，求 .XAB10四、 （12 分）已知方程组 ，讨论 为何值时方程组1224431xxaba,（1） 有解？（2）无解？并在有解时求出其通解.五、 （12 分）求过点(1,2,3)且与直线 ： 垂直相交的直线方程.Lzy六、(13 分) 已知矩阵 可以相似于对角矩阵，A2103t(1) 求常数 的值；(2) 求一个可逆矩阵 ，使 为对角阵.t PA1七、 （13 分）求一个正交变换，将二次型 化31212321),( xxxf 成标准形，并指出二次曲面 的名称.),(321xf八、(8 分)（注意：学习过第 8 章“线性变换”者做第 2 题，其余的做第 1 题）.1.设矩阵 ， ， ， .312A4107013A34试求数域 上线性空间 + | 的基与维数.FkWk4, F,ii
