1、42线性代数与空间解析几何及其应用习题 3习题 3.11. 已知平行四边形 的对角线为 求（如图）ABCD,.ABD,.ABCD解： ,ABCD图 3-111,22.BCA2. 把 的 边三等分，并把分点 分别与顶点 连接.试以 BC12,DA表示向量 (如图 3-10).,A12,D解： ，1 13A.2DB图 3-93. 判断下列等式何时成立：（1） （2） （3） （4）;(5) ();解：（1） （2） 与 同向；（3） 与 反向，且 （4） 与 同;向，且 （5） 与 共线，且0,;4. 设 为 的重心， 所在平面上任一点 到三个顶点的向量分别设为GABCABO.求证： （如图 3-
2、11）.123,OArr123()OGr证： ， ， 212Cr， 3()BDrABC43DACB 2132()ADBrr321(),r 3(G 211,rr 1231OGArr 2311rr 图 3-111(). 5. 设向量 与 不平行，且 ，证明四边2,4,53ABCD形 是梯形.ABCD 证：显然 与 不平行，而 时,53D ,2482B即 / . 图 3-12 ADC习题 3.21. 设向量 的长度是 5， 与轴 的夹角是 ，求 在轴 上的投影.u03u解： 5322. 在空间直角坐标系中，画出以下各点：（1） (2) .1(,);M2(1,3)3. 指出下列各点的特殊性质：（1）
3、（2） （3） （4） .1(3,0);2(0,);3(0,);M4(5,01)解：（1） 在 轴上；（2） 在 轴的负方向上；（3） 在 面上；（4）x2z3yoz在 面上.4Mxoz4. 已知向量 ，求：123(,4);(0,1);(,0)（1） ；（2） .322123()解：(1) ; (2) .(,5)(,5)445. 给定点 ，求分线段 成比例 和 的点的12(,4)(1,03)M12M12坐标.解： .5,;(,8)36. 已知点 和点 ，求向量 及点 关于点 的对称点 的坐标.,7A0,1BABBC解 ,设 由(48)B(),Cxyz则 C得，348(1,)z.314,(,9)
4、8xyz即 所 以7. 已知两点 和 ，计算向量 的模,方向角和方向余弦.1(,2)M2(3,0)12M解： 1212 1,1,cos,cs,cos.2.3,48. 设点 ，求:(25)(1,67)AB(1) 在三坐标轴上的投影及投影向量；(2) 的方向余弦；(3) 方向上的单位向量.AB解：（1） ；3,82;,ijk（2） ， ， ；cos78cos72cos7（3） .82(,)9. 已知向量 的模为 , 与 轴、 轴的夹角为 ，与 轴的夹角为 ，求 .yzx2解：设 分别为 与 轴的夹角，则有 ，,x22coscos1即45，22(cos1)cos1(,)即 ，40即得 ，2cos0(
5、),cos()24所求向量，0 2(s,s)(cos1,cos) 即 ，或 .(,1)2)0,)习题 3.31. 如果向量 垂直于向量 与 ,且与 的数量积x(2,31)(,23)(2,1)等于 ,求向量 .6解：设 (,)abc， ，0230x 230abcx，66c从而可得 .,ab2. 设向量 ，求 在 上的投影,及 在 上投影向量.(14),(,2)解：由 可得j jPP或 ()j j因此 在 上的投影为 ；投影向量为 .31,23. 设 ,求:2,ijkijk(1) 及 ；(2) 及 ；(3) 与 夹角的余弦.()解：（1） ;3;57ij（2） ; ;()(6,412)(3,)18
6、2312(0,14)4ijk46（3） .3cos3;4624. 设 求向量 与 的夹角.()(75),(4)(7),解：因 ，即30(4)()227165(1)308 2（1）-（2）得 ，所以246(3)将（3）代入（2）得 即 .2271580,2,所 以由（3）知 ，显然 ， （否则 无意义） ，从而有cos,0于是 .1cos,2,35. 设 为单位向量,且满足 ,求 .0解： 因 ,所以 ,0而 ,21同理可得 1,于是 2()3即 .26. 已知 和 ，求出与 、 同时垂直的单12(,)(3,1)M3(,)M12M3位向量.解： 而1223,4,0,，112232347而 ,12
7、341642Mijkijk故与 、 同时垂直的单位向量为 .123 32, ,1717或7. 设 ，问 与 有怎样的关系,才能使 与 轴垂直.(,5)(2,14)z解： 与 轴垂直的充要条件是 ,z()(0,而3,52,4,32, 01即 .-+4=,8. 已知 ,其中 ， ,求平行四边2,3ABD5,31sin,6形 的面积.CD解： ,(2)()SABA所以 .5sin,2SA 9. 已知三角形的顶点为 求三角形 的面积.(1,)2,34)(,)BCABC解： ,而11,23AABCS,23481ijkijk所以 .16462ABCS10. 已知向量 .(,3)(2,0)(6,2)(1)
8、, , 是否共面?(2) 与 是否平行?(3)求 .(,)48解：(1)不共面;(2)不平行;(3)36.习题 3.41. 求过点 且与平面 平行的平面方程.(3,01)375120xyz解：设所求平面方程为 , 将点 代入D(3,1)得 ，4因此所求平面方程为 .3750xyz2. 求过 和 三点的平面方程.(1,)(2,)AB(1,2)C解：先找出 这平面的法线向量 . 由于向量 与 都垂直，而nn,ABC所以可取它们的向量积为 ，即3,B0,3, 9631,2,023ijknijk根据平面的点法式方程，得所求得平面得方程为10,xyz即 .323. 求下列各平面的方程:(1) 过点 且平
9、行于向量 和 ；(2) 过点 和 轴；(1,0)(,1)(,10)(1,2)z（3） 过点 且平行于 轴. (4,2)(5,17z解：（1）因 ，所求平面方程为310ijkij，()(1)0xyz即 .34（2）由于平面经过 轴，故平面方程可设为 ，zAxBy又因为点 在平面上，所以 则 代人所求方程得所求得平(1,)20,2,49面方程为 .20xy（3）由于平面平行于 轴，故平面方程可设为z 0,AxByD又由于点 在平面上，所以 则(4,)(5,174,5将其代人所求方程即得所求得平面方程为 .DAB 4xy4. 求平面 与各坐标面的夹角的余弦.20xyz解： 的平面的法向量分别为(,1
10、),oxn ,01k(,)0i从而 .(,)0j 12cs,cos,s33nk5. 求过点 且平行于直线 的直线方程.(4,1)15xyz解：由于所求直线平行于直线 ，故可设平面方程为2又由于点 在直线上，代人直线方程可得所求直线得方程000,215xyz(4,13)为 .436. 求过两点 和 的直线方程.1(,2)M2(,0)解：所求直线的方向向量 ，所求直线的方程是14,s.3421xyz7. 把下列直线的一般式方程化为对称式方程或把对称式方程化为一般式方程. （1） ； zyx 85(2).431xyz解：（1）令 得 , 解得 ,点 在直线上，直线0508436yzz(04,)的方向
11、向量 ,故所求方程为 .1(,)3ijkn 15xyz（2）由 得 ,由 得 ,故所求方程为854xy40xy531z0.30yz508. 求直线 与直线 的夹角的余弦. 539021xyz230381xyz解：两直线的方向向量分别为, ,153(,4)2ijks2(0,5)381ijks于是有 .1212cos,s9. 求直线 与 平面 的夹角.30xyz0xyz解：由于直线方程中两个平面得法向量分别是 ，故12(,3)(1,),n12324,1ijkijnks平面 得法向量为 且0xyz(1,),n故夹角为 0.12420ns10. 求点 到平面 的距离.(,)xyz解：点 到平面 的距离
12、 .1,221012104d11. 求点 到直线 的距离.(3,)P4xyz解：过点 作直线的垂面，得垂足 ， 即为所求.直线的方向向量HP，由点法式得过点 且垂直于已知直线的121(0,3)ijksn (3,12)平面方程为 ，解方程组 得 的坐标 ，yz1024yzxH13,2xyz则51.22213(3)()()PH习题 3.51某糖果公司经与雇员谈判和原料原料价格提高之后，每日生产 千克糖果的成本费x用为 2.3 +350(元).Cx(1)若每千克糖果的售价为 4 元，则每天应售出多少千克才能保本？(2)若销售价格增至每千克 4.3 元，则其保本点是多少？(3)如果每天至少能售出 33
13、0 千克糖果，则每千克定价应为多少才能保证不致赔本？解：(1) 如果每千克售价为 4 元，则其销售收益为 (元),这里 表示销售数量，4Rx其保本点应当满足：4 2.3 +350，即 1.7 350， 205.88.即每天如果销售xx3501.7出 205 千克糖果就亏本，而售出 206 千克糖果就会获利.(2) 若销售价格提高到每千克 4.3 元，则新的销售收益为 (元) ，其保本点应当.x满足：4.3 2.3 +350，2 350， = =175，即按这个价格销货，其保本点为 175xx3502千克.(3) 若每天销货 330 千克，则要保证不致赔本的价格 (即至少达到保本点) 应当满足下
14、P式，即 330 2.3(330)+350,330 =1109, = 3.36(元/千克) ，这就是说，如果每天PP1930能够售出 330 千克糖的话，以每千克 3.36 元的价格售出，将可以保证不蒙受损失.2求 ， 的值，使它们满足约束条件1x21212040,3,.x并使目标函数 6 +3 的值最小.S1x2解：画出满足约束条件的可行解集 的图如下：X这是一个无界区域，令 取不同值作平行线族 ，显见当直线离原点愈近时，目标函数值SL愈小，由图可知 的最小值在可行解 的顶点 处达到，而顶点 是直线XBB10 +4 100 和直线 20 +30 =420 的交点，解之得： =6, =10,即
15、为最优解，相应1x21x2 1x2的目标函数的最小估值为： =6 6+3 10=66.即 =66.minS52复习题三1. 的充要条件是 ( ).（A） ; （B） ;0或 0（C） ; （D ） .解： 选（C）.22()()02. 若 ,则 C =( ).()1（A） 1;（B） 2;（C）3;（D）4.解：原式= 选（B）.()()23. 设 3 个向量 的矩阵 的行列式 ，(,)(1,3)iiixyz112233xyzX0X而其伴随矩阵 的充要条件是( ).0X(A) 3 向量共面 ; (B)存在不共线 3 向量;（C）3 向量共面,且至少有 2 个向量不共线; (D) 3 向量相互平
16、行.解： 的充要条件是 3 向量共面,由 ,不妨设 ，则00X2310a,即 与 不平行，故 . 选（C ）.23a123(,)a132(,)a234. 直线 与平面 的关系是( ).0xyzl:40xyz(A) / ； (B) ； (C) ； (D) 不斜交.llll与解：组成 的两平面的法向量分别为 均与 的法向量12(,3);(,10)n相垂直(内积为 0)，故 . 选 (C).4,21)l5. 设 .2,2ijkijk(1) 是否存在向量 满足 ；（2）若存在这样的向量 ，写出满足 的向量 的坐标表达式；=(3) 求出模最小的向量 .53解：要使 ，必有 ，即 ，因此要首先验证 是否为
17、零.=0解 （1）由于 ，故满足 的向量 存在.0=（2）设向量 ，由 ，即 .,xyz122xyzijkijk得 ,即 ，因此 ，其中 可取任意实数.12yzx21yxz(,)x（3）令 由题意可得只需求出 y 的最小.5129),( x值即可，即求 的最小值.529xz对上式两边关于 x 求导并令其等于零即， ,0128xz即 , 则 就是所求的向量.32x1,326. 试证直线 与直线 相交，并写出由12:54xyzl2816:32xyzl此两直线决定的平面方程.解：分析：要证两直线相交，只需证两直线共面但不平行即可.解 直线 的方向向量 ，过点 ；直线 的方向向量 ，1l1(,2)s1
18、(,)M2l2(3,1)s过点 .2(8,6)M由于 与 不平行，且 ,所以 共面，即直线1s2121254()30s 122,Ms与 共面，且 与 不平行，因此直线 与 相交.1l21l21l2取 及点 ，由点法式可得1254(0,)3ijknsj 1(3,2)，所求平面方程为 .()0yz240yz7. 设一平面垂直于平面 ，且通过点 到直线 的垂线，0z0(1,)M10:yzl54求此平面方程.解：（1）先求点 到直线 的垂线 的方程.为此，求过点 且垂直于 的平面 ，0Ml1l 0Ml1显然，可取 的法向量 ，即 .于是，平面 的方程为 .1n(,0)ijk10x再求 与 的交点 ，即
19、求解线性方程组 ，可得点 的坐标为 ，l11M1yzx1M(,)于是由两点式得垂线 的方程 ，即 .1l102xyz02yz(2)写出过 的平面束方程，并求出与平面 垂直的平面方程，则此方程即为所求 .1l 0过 的平面束方程为 ，即 ，因为1l()(1)xyz0xyz，所以 ，于是 即为所求平面的方程.(,2)0,2nk 18. 求异面直线 与直线 之间的距离.1:3zl 2:2zl分析 利用点到平面的距离.过 做平行于 的平面 ，则 上的点 到平面 的距离1llM即为异面直线间的距离.解 设平面 为过 且平行于 的平面，其法向量为 ，因为 过 ，故 ，又1l2ln1l1ln与 平行，故 ,
20、若设直线 与 的方向向量分别为 ，则2l2n12,s,1203(4)ijks于是平面 的方程为 ，即 .4()3()xyz50xyz点 到平面 的距离为2(1,0)M,2210(1)5426343d此即异面直线 与 之间的距离.1l29. 已知 （如图）,2OADA A55（1）求证： 的面积等于 ；ODA2（2）当 的夹角为何值时， 的面积最大. 图 3-57 ,A解：（1） 22cosin，11sini()sinODAS （2） ,2221cossin4ODAS时， 取最大值.4ODAS10. 已知 ，求一单位向量 ，使 ，且 共面. ,2,ijkij n,解：设 则()abcn22221
21、10012abcabcn,或 .6,3abc6(,)3n6(,)311. 确定下列各组的直线和平面间的位置关系：（1） 和 ；427xyz2xyz（2） 和 ；3378（3） 和 .4905xyz2410xyz解：（1）因 ，所以直线与平面平行.2(7)3()（2）因为直线的方向向量和平面的法向量平行，所以直线和平面垂直.（3）直线在平面上.12. 设一平面过原点及点 ，且与平面 垂直，求此平面方程.(6,2)428xyz56解：设法向量 ，由平面过原点得(,)ABCn0xyz由平面过点 得 (6,32)623ACB又与平面 垂直得48xyz0B解 联立的方程组得 ，即可得所求平面方程 .,2
22、230xyz13. 已知两直线方程为 ，求过 且平行于1 231:,:1xyzxyl l1l的平面方程.2l解： 的一般方程为 ，故过 的平面方程为 即1l 240yxz1l4(2)0xzy40由于 与 平行，即与平面的法向量垂直，所以 即 ,代入2l1 210,3即得所求平面的方程 .32xyz14. 求过点 且与直线 垂直的平面方程.(2,0)47051zxy解：所给直线的方向向量 此即为所求平面的法向量，12(6,)3ijks故所求平面的方程为 ，即6()4(0)(3)0xyz.16465xyz15. 求过点 且通过直线 的平面方程.(3,12)52解：原直线方程可化为一般式 ，设过此直
23、线的平面方程为03zxy，即 ，54(23)0zxzy(25)40z57将点 代入得 ，故所求平面方程为 .3,129889250xyz16. 求与两直线 及 都平行，且过原点的平面方程.12xytz12yz解：设所求平面的方程为 ，由所给直线的参数方程可化为对称式方0AxBCz程 ，则所给两直线的方向向量 ，所求平面的10xyz12(,)(1,)ss法向量 ，故所求平面方程为 .12(,)0(,)ABCijkns 0xyz17. 求直线 在平面 上的投影直线 的方程.1:3xyzl1:20xyzl解：解法一 直线 的一般式为 ，过 的平面束方程为1l20xzl，(3)3(1)0y在其中选一平
24、面 ，使 与 垂直，令 ，解212,10n即得 ，于是所求平面方程为 ，于是所求投影直线 是平面 ，1 2-xyz： =0l1的交线，即 .2:23xyzl解法二 与 不平行，不垂直，则过 与平面 垂直的平面 的法向量1l1l12，在 上取一点 ，则平面 的方程为232ijknijk1l(,0)2, 即 , 1()0xyz23xyz故所求投影方程为.(如图) 0xyz11nl22n58图 3-618.求两异面直线 的公垂线方程.1 2331:,:010xyzxyzl l解：解法一 由于 ，所以公垂线的方向向量2(,)(0)ss.12(3,21)0ijk(1) 过公垂线及 的平面 的法向量 ,
25、1l1121(5,63)0ijkns则 的方程为 ,即 .15(1)6(2)3()0xyz563xyz(2) 过公垂线及 的平面 的法向量 , 2l2221(6,02)03ijkns则 的方程为 ，即 ，故所求公垂26()10(3)(1)0xyz61xyz线方程为 .52z解法二 公垂线的方向向量为 ，以 的方向向量和 组成的平012(3,1)ijksls面过 点，设此平面为 ，则此平面的法向量为 ，则 的1,232(5,63)01ijkn方程为 .562xyz由 的对称式方程可得其参数方程为 ，将其代入平面 的方程可得 与 2l 23xtyzt2l的交点： ，即 ，得 .故公垂线的方程5108932tt1t5,2xz.53xzy5919. 设有 个平面 ，且设n0(1,2)iiiiAxByCzDn，1112222,nnnnABCDAB证明 这 个平面过同一直线的充分必要条件是 .n()3R
