1、第一章 矩阵 一、矩阵的定义 由 mn 个数排成 m 行 n 列的矩形数表 =mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211m 个关于 n 个未知量 x1，x2，xn的一次方程组成的方程组 =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111线性方程组的系数矩阵 =mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211线性方程组的增广矩阵 =mmnmmnnbaaabaaabaaaBLMMOMMLL21222221111211矩阵相等 同型矩阵 行矩阵（或称行向量） 列矩阵（或称列
2、向量） n 阶矩阵或 n 阶方阵 单位矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵 对角矩阵 二、矩阵的运算 1、线性运算 矩阵 A 与 B 的和：C =A+B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。 +=mnmnmmmmnnnnbababababababababaCLMOMMLL221122222221211112121111矩阵 A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 mnmmnnaaaaaaaaaLMOMMLL212222111211矩阵的加法及矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算 。 2 矩阵的乘法 设矩阵 A=(aij)ms， B=(bij) sn， 构作一个 mn 矩阵 C= (ci
3、j) mn，其中 ),2,1;,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiijLLL=+=那么，矩阵 C 称为设矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 ，记作：C = AB 一个 1s 行矩阵与一个 s1 列矩阵的乘积是一个 1 阶矩阵，即一个数。 所以，矩阵 C = AB 的第 i 行、第 j 列元素 cij就是 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的乘积。 左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘 。 矩阵乘法不满足交换律。 矩阵乘法满足的运算规律： (1) (AB)C=A(BC) (2) (AB)=(A)B=A(B),其中 为数 (3) A(B+C)
4、=AB+AC， (B+C)A=BA+CA 3 线性变换 +=+=+=nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayLLLLLLL22112222121212121111表示从变量 x1， x2， ，xn到变量 y1， y2， ，ym的线性变换 。 记=mnnmijyyyxxxaAMM2121,)( yx，则 y = A x 4 矩阵的幂 矩阵的非负整数幂的定义（A 为 n 阶方阵）： A0=I ， Ak+1=AkA 由于矩阵乘法满足结合律，所以 AkAl=Ak+l (Ak)l=Akl又由于矩阵乘法不满足交换律，所以，一般 (AB)kAk Bk5、矩阵的转置 设矩阵 A 是一个
5、mn 矩阵 ，构作一个 nm 的矩阵 ，使它的第 i 行第 j 列元素是矩阵 A 的第 j 行第 i 列的元素 （i =1,2,n ， j=1,2,m ），那么这个矩阵称为 A 的转置矩阵 。记作 AT AT的行为 A 的（相应）列，AT的列为 A 的（相应）行。 矩阵的转置满足下列运算规律： （1 ） ( AT)T = A （2 ） ( A + B)T = AT + BT （3 ） ( A)T = AT （4 ） ( A B)T = BTAT 设 A 为 n 阶矩阵： 如果满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵；对称矩阵 A 的元素满足： aij=aji (i,j=1,2,n) 如果满足 AT
6、- A ，则称 A 为反对称矩阵。反对称矩阵 A 的元素满足： aij=-aji (i,j=1,2,n) 尤其注意，反对称矩阵 A 的主对角线元素 aii=0 6、矩阵的逆 设 A 是一个 n 阶矩阵，如果存在 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=I成立，那么矩阵 A 称为可逆矩阵，并且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称为矩阵 A 的逆。如果A 的逆矩阵不存在，那么 A 称为不可逆矩阵。 矩阵的逆满足下列运算规律： 设 A、B 都是 n 阶可逆阵，数 0 ，那么 （1 ）A-1可逆，且( A-1)-1=A； （2 ） A 可逆，且( A)-1=A-1/ ； （3 ） AB 可逆，且( AB )-
7、1=B-1A-1 ；（4 ）AT可逆，且( AT)-1=(A-1)T 。 7 分块矩阵 对于矩阵 A ，用若干条纵线和横线分成一些小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 。 两种常用的分块矩阵：分别以矩阵的行和列为子块。 分块对角矩阵，或称准对角矩阵的概念 分块矩阵的运算方法（了解）。 第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1、线性方程组 =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111可以写成 Ax=b 其中 系数矩阵 A=(aij)mn 常数列 b=(b1,b2,bm)T 未知
8、量列 x =(x1,x2,xn)T 增广矩阵 B=( A | b) 如果 b1,b2,bm全部为零，那么上述方程组称为齐次线性方程组 ，否则称为非齐次线性方程组 。 2、高斯消元法 线性方程组的三种初等变换 ： (1) 交换两个方程的位置； (2) 以非零数 k 乘一个方程； (3) 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上。 任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得到的方程组与原方程组等价； 任意一个线性方程组一定可以经过若干次适当的初等变换得到一个阶梯形的方程组。 一种求解线性方程组的一般方法： 对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目的。这种求
9、解线性方程组的方法称为高斯(Gauss) 消元法 3、利用矩阵初等行变换解线性方程组 定义 1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)交换两行的位置( 交换第 i，j 两行，记作 ri rj )； (2)以非零数 k 乘某一行( 以 k 乘第 i 行，记作 k ri )； (3)把某一行的 k 倍加到另一行上( 把第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 ri+ k rj )。 三种初等行变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等行变换: 变换 ri rj的逆变换就是它( 该变换) 自身； 变换 k ri （k 0 ）的逆变换为 ri /k ； 变换 ri+ k rj的逆变换为 ri
10、+(-k) rj。 任意矩阵 A=(aij)mn都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。 对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应的阶梯形方程组并用“ 回代 ”法求解，就可以得到原方程组的解。 这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法，是高斯消元法的另一种表现形式。 4、一般的线性方程组解的三种不同情况 =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111+0000000000000000000011,221,2222111,111211LLM
11、MMMMMLLLLLLMMMMMMLLLLrrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc=+=+=+000111,2211,222221111,11212111rrnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrddxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxcLLLLLLLLL(1) 情形 1：dr+10 ，对应一个矛盾方程 0x1+0x2+0xn=dr+1 方程无解。 (2) 情形 2：dr+1=0，r= n，此时非零行的行数等于未知量的个数，且 crrxn=dr 使用回代法可得到方程组唯一解。 (3) 情形 3：dr+1=0，r0 时，它与 a方向相同；当 =+cbaczb
12、yax单叶双曲面： 1222222=+czbyax双叶双曲面： 1222222=+czbyax椭圆抛物面 ： )(2222同号与 qpzqypx=+ 双曲抛物面（马鞍面） ： ),(2222同号qpzqypx= 19、空间曲线及其方程 空间曲线 C 可看作两个曲面 F(x , y , z) = 0 及 G(x , y , z) = 0 的交线 空间曲线的一般方程 ( )()=0,0,zyxGcyxF空间曲线的参数方程 ( )()()( btatzztyytxx=20、空间曲线在坐标面上的投影 求解步骤： 空间曲线 C 的一般方程 ( )()=0,0,zyxGcyxF(1) 投影柱面方程 (消去
13、相应的变量） () 0),(0),(0, = zxTzyRyxH 或或 (2) 得投影曲线方程 () ( ) ( )=00,00,00,yzxTxzyRzyxH或或 第五章 n 维向量空间 1、n 维向量 n 个数 a1、 a2、an组成的有序数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai称为它的第 i 个分量。 设两个 n 维向量 a = (a1,a2,an)T与 b=(b1,b2,bn)T ，如果它们对应的分量都相等，即ai=bi (i= 1, 2, , n)，那么 a 与 b 相等，记作 a = b。 定义零向量 0=(0,0,0)T； 向量 a 的负向量
14、， - a =(-a1,-a2,-an)T。 Rn为由所有 n 维实向量组成的集合，并按下列规则在 Rn中定义向量的加法与数乘（统称向量的线性运算）： 设 a=(a1,a2,an)T ，b =(b1,b2,bn)T ， 为数，则 ( ) ( ) ( )+=+=+nnnnbabababbbaaa ,22112121LLLba ()( )=nnaaaaaa ,2121LLa 向量的加法与数乘应满足下列八条运算规律： (1) a + b = b + a ; (2) (a + b) + c = a + (b + c); (3) a + 0 = a ; (4) a +(- a) = 0 ; (5) 1a
15、 = a ; (6) ( a ) =(a) =()a ; (7) (a + b) = a + b ; (8) ( + ) a = a + a 。 其中 , 是 任意实数，a ，b ，c 是任意 n 维向量。 非空集合 Rn按我们定义的向量的加法与数乘满足上述的八条运算规律， 称 Rn对于所定义的向量加法与数乘构成一个 n 维向量空间。 2、向量空间及其子空间 设 V 是 Rn非空子集合，如果集合 V 对于向量加法与数乘两种运算都封闭，那么就称集合 V 对于 Rn的向量加法与数乘构成一个向量空间。 所谓集合 V 对于向量加法与数乘运算封闭，是指：如果 a V， b V ，那么 a + b V；如
16、果 a V， R，那么 a V。 一般地由向量 a1， a2， am所生成 的向量空间为 () RLmmmm+= ,|21221121LLL aaaxa,a,a 设有向量空间 V1及 V2，如果 V1V2，那么就称 V1是 V2的子空间。 3、线性方程组、矩阵、向量组的对应关系 向量组：有限个或无限个同维数列向量（或行向量）所组成的集合称为一个向量组。 一个 m n 矩阵 A=(aij)有 n 个 m 维列向量 aj=(a1j,a2j,amj)T (j=1,2,n) 它们组成的向量组 a1、 a2、an称为矩阵 A 的列向量组。 一个 m n 矩阵 B=(bij)有 m 个 n 维行向量 bi
17、T=(bi1,ai2,ain)(i=1,2,m) 它们组成的向量组 b1T、 b2T 、 bmT称为矩阵 A 的行向量组。 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 m 个 n 维列向量所组成的向量组 a1、a2、 am可以构成一个 n m 矩阵 A=(a1 a2 am ) m 个 n 维行向量所组成的向量组 b1T、b2T、bmT可以构成一个 m n 矩阵 =TT2T1mBbbbM把含有 n 个未知量的 m 个方程组成的线性方程组写成矩阵形式 Ax=b，从而线性方程组可以与它的增广矩阵 B=(A | b)一一对应。这种对应如果看成一个方程对应 B 的一个行向量，那么方程组就与 B 的行向
18、量组对应。 =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111=mmnmmnnbaaabaaabaaaBLMMOMMLL21222221111211方程组与 B 的列向量组 a1、a2、an 、 b 之间也有一一对应关系。如果利用分块矩阵的乘法把线性方程组写成向量形式 =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111=+mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaaxMMLMM2121222122121111x1a1+x2a2+xnan=b
19、 那么，当方程组有解时，向量 b 可以由向量组 a1、a2、an通过线性运算得到。 如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性运算（加法与数乘运算）来表示，那么这种关系称为向量组的线性关系。 3、向量组的线性组合 设向量组 A： a1、 a2、 、 am，对于任何一组实数 k1、 k2、 、 km，向量 k1a1+k2a2+kmam称为向量组 A 的一个线性组合， k1、 k2、 、 km称为这个线性组合的组合系数。 设向量 b 与向量组 A： a1、 a2、 、 am，如果存在一组数1、 2、 、 m，使 b = 1 a1+ 2 a2 + + m am，那么向量 b 是向量组 A 的线性组
20、合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示。 向量 b 能由向量组 A 线性表示，也就是方程组 Ax=b 有解。 定理 1 设向量组 A： a1,a2,am与向量 b (a1,a2,am , b 都是 n 维向量 )，记矩阵 A =(a1, a2, , am) x =(x1, x2, , xm)T B = ( A | b ) 那么下列三个命题等价： （ 1）向量 b 能由向量组 A 线性表示； （ 2）线性方程组 Ax=b 有解； （ 3）线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 B 的秩等于其系数矩阵 A 的秩，即 R(A)=R(B) =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxab
21、xaxaxaLLLLLLL22112222212111212111+0000000000000000000011,221,2222111,111211LLMMMMMMLLLLLLMMMMMMLLLLrrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc借助于定理 1，我们可以直接使用矩阵的初等变换来判断向量 b 能否由向量组 A：a1,a2,am线性表示，并且在 b 能由向量组 A 线性表示时求相关的组合系数( 即 Ax=b 的解) 。其具体过程如下： 记 A =(a1, a2, , am)， B = ( A | b ) 对矩阵 B 施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵 B1 ；比较 R
22、(A)与 R(B) ，如果 R(A)R( B) ，那么向量 b 不能由向量组 A 线性表示； 如果 R(A)=R(B) ，那么向量 b 能由向量组 A 线性表示。 继续对 B1施行初等行变换使它变成行最简形矩阵 B2。此时，矩阵 B2的最后一个列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的组合系数就是向量 b 关于向量组 A 的组合系数。 设有两个向量组 A：a1， a2， am及 B： b1，b2， ， bs 。如果向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，那么称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。如果向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，那么称这两个向量组等价 。 如果
23、Cmn=AmsBsn，那么矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵。同时 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵 设矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B， 那么 B 的每个行向量都是 A 的行向量组的线性组合，即 B 的行向量组能由 A 的行向量组的线性表示。 由于初等行变换是可逆的，因此矩阵 B 也可以经过初等行变换变成 A，从而 A 的行向量组也能由 B 的行向量组线性表示。于是 A 的行向量组与 B 的行向量组等价 。 类似地，如果矩阵 A 经初等列变换变成 B，那么 A 的列向量组与 B 的列向量组等价 。
24、4、向量组的线性相关性 设 n 维向量组 a1, a2, , am，如果存在一组不全为零的数 k1, k2, , km，使得向量等式 k1 a1 + k2 a2 + km am =0 成立，那么称向量组 a1, a2, , am线性相关；否则称向量组 a1, a2, , am线性无关，即如果由上述向量等式成立可以推导出 k1= k2= = km=0，那么称向量组 a1, a2, , am线性无关。 定理 2 设 n 维向量组 a1, a2, , am，记矩阵 A=(a1, a2, , am) ，x =(x1,x2,xm)T，那么下列三个命题等价： (1) 向量组 a1, a2, , am线性相
25、关； (2) 齐次线性方程组 Ax=0 有非零解； (3) R(A) 021222122121111=+mnnnnmmaaaxaaaxaaaxMLMM+0000000000000000001,21,222211,111211LLMMMMMLLLLLLMMMMMLLLLrnrrrrnrrnrrcccccccccccc推论 1 设 n 个维向量组 a1, a2, , an， A=(a1, a2, , an) ，那么下列三个命题等价： （ 1）向量组 a1, a2, , an线性相关（无关） ； （ 2）齐次线性方程组有非零解 (只有零解) ； （ 3） detA=0(detA 0) 推论 2 设
26、n 维向量组维向量组 a1, a2, , am， mn ， 即向量组所含向量个数大于向量的维数，那么 a1, a2, , am一定线性相关。 定理 3 如果向量组 A：a1, a2, , am线性相关，那么向量组 B：a1, a2, , am , am+1也线性相关。等价地，如果向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。 如果一个向量组有线性相关的部分组，那么该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组一定线性相关。等价地，如果一个向量组线性无关，那么它的任意部分组都线性无关。 定理 4 设 ),1,2,( ,12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjjLMM=+ba ， ， 即向
27、量 aj在相同位置上都添上一个分量后得向量 bj；如果向量组 A： a1, a2, , am线性无关，那么向量组 B： b1, b2, , bm也线性无关；等价地，如果向量组 B 线性相关，则向量组 A 也线性相关。 定理 5 设向量组 A： a1, a2, , am线性无关，而向量组 B ： a1, a2, , am , b 线性相关，那么向量 b 一定能由向量组 A 线性表示，而且表示式是唯一的。 定理 6 向量组 a1, a2, , am(m2) 线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示 。 5、向量组的秩与极大无关组 引理 设矩阵 A = ( a
28、1, a2, , am )， R(A)= r，向量组 A1是向量组 A : a1, a2, , am的部分组且包含 S 个向量。如果向量组 A1线性无关，且向量组 A 的任意 S+1 个向量线性相关，那么 S = r。 设向量组 A 的一个包含 r 个向量的部分组 A0: a1, a2, , ar，满足 （ 1）向量组 A0线性无关； （ 2）向量组 A 中任意 r+1 个向量（如果 A 中有 r+1 个向量的话）组成的向量组都线性相关。 那么向量组 A0称为向量组 A 的一个极大线性无关向量组 （简称极大无关组 ）；极大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩。 矩阵 A 的列向量组的秩
29、称为 A 的列秩，它的行向量组的秩称为 A 的行秩。 定理 8 矩阵的初等行变换不改变（部分或全部）列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变（部分或全部）行向量之间的线性关系。 6、向量组极大无关组的性质 向量组 A 与它的极大无关组 A0: a1, a2, , ar是等价的。 定理 9 设向量组 a1, a2, , ar能由向量组 b1, b2, , bs线性表示。如果 r s，那么向量组 a1, a2, , ar线性相关；或者等价地，如果向量组 a1, a2, , ar线性无关，那么 r s。（即 r 个向量表示出的 r+1 个向量一定线性相关 ） 推论 1 设向量组 A 的秩为 r1
30、，向量组 B 的秩为 r2。如果向量组 A 能由向量组 B 线性表示，那么 r1 r2。从而，等价的向量组一定有相同的秩。 推论 2 （极大无关组的等价定义） 设向量组 B 是向量组 A 的部分向量组。如果向量组 B 线性无关，且向量组 A 能由向量组 B 线性表示，那么向量组 B 是向量组 A 的一个极大无关组。 设 Cmn=AmsBsn，那么 R( C )R( A )， R( C )R ( B ) 7、向量空间的基、维数 设 V 为向量空间。如果 V 的向量组 a1,a2,ar满足 （ 1） a1,a2,ar 线性无关； （ 2） V 中任一向量都能由 a1,a2,ar 线性表示。那么向量
31、组 a1,a2,ar 称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，记作 r = dimV，并称 V 为 r 维向量空间。 设 a1,a2,ar是向量组 V 的一个基，根据定义 8 及2 定理 5 可知， V 的任一向量 a 能由 a1,a2,ar线性表示，并且表示式唯一，即有 a =x1a1+ x2a2+ + xrar上式称为 a 在基 a1,a2,ar下的坐标表示式； ( x1, x2, , xr)称为 a 在基 a1,a2,ar下的坐标。 此时 V 可以表示为 V =L(a1,a2,ar ) =x= 1a1 + 2a2 + + rar | 1, 2 , r R 8、齐次线性方
32、程组解的结构 =+=+=+000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLL Ax=0 其中 A=( aij )mn， x=( x1,x2, , xn )T矩阵方程的解向量的性质： 性质 1 如果 x=1， x=2为矩阵方程的解向量，那么 x=1 +2也是矩阵方程的解向量。 性质 2 如果 x = 为矩阵方程的解向量， k 为实数，那么 x = k 也是矩阵方程的解向量。 如果用 S 表示矩阵方程 A x =0 的全体解向量所组成的集合，那么性质 1 及性质 2 就是 (1) 如果 1 S ， 2 S ，那么1+2S ； (2) 如果
33、 S ，k R ，那么 k S 。 这就说明集合 S 对向量的线性运算是封闭的，所以集合 S 是一个向量空间，称为齐次线性方程组或矩阵方程的解空间。 求解空间 S 的一个基的方法。（下述过程提供的求齐次线性方程组基础解系的方法，实际上就是第二章中用矩阵初等行变换求方程组的通解的过程。） =+=+=+000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLL=000000001001,1,111LLLLLLLLLLLLLLrnrrrnccccC nrnrrrrnrnrxcxcxxcxcx=+,11,11111LLLLL令 xr+1 , , xn
34、取下列 n - r 组数：=+10001000121MLMMM，nrrxxx，对应的 x1, , xr分别为=rnrrnrrrccccccxx,12121111, , , MLMMM 。 从而求得齐次线性方程组 Ax=0 的 n r 个解向量 =100 , , 010 , 001,121221111MMLMMMMrnrrnrrccccccrn 向量组 1， 2 ， ， n-r就是齐次线性方程组的解空间 S 的一个基。从而知解空间 S 的维数 dim S = n-r 。 当 R(A )= r = n 时，齐次线性方程组只有零解，解空间 S 只含一个零向量。 定理 11 设 A 是 mn 矩阵，齐
35、次线性方程 Ax = 0 全体解向量所组成的集合 S 是一个向量空间，当系数矩阵 A 的秩 R(A)=r 时，解空间 S 的维数是 n r。 齐次线性方程组解空间 S 的一个基又称为方程组 A x = 0 的一个基础解系。 当 R( A ) = r = n 时，齐次线性方程组只有零解，因此没有基础解系； 当 R( A ) = r n 时，齐次线性方程组一定有含有 n r 个解向量的基础解系；那么齐次线性方程组的解可以表示为 rnrnkkk+= x L2211其中 k1,k2,kn-r为任意数。 上式称为齐次线性方程组的通解。此时，解空间 S 可以表示为 RkkkkSrnrnrn+=,|111L
36、L x 9、非齐次线性方程组解的结构 =+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111记 A=(aij)mn, x=(x1,x2,xn)T, b=(b1,b2,bm)T, 那么上述非齐次线性方程组可以写成矩阵方程 Ax=b 此时，齐次线性方程 Ax=0 称为非齐次线性方程组对应的（或导出的）齐次线性方程组。 性质 3 设 x=1及 x=2都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解向量， 那么 x=1 - 2为对应的齐次线性方程组 Ax=0 的解向量。 性质 4 设 x= 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解向量， x= 是
37、非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，那么 x=+ 是非齐次线性方程 Ax=b 的解向量。 如果已经求得非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解0，又求得对应的齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系 1， 2 ， ， n-r那么根据性质 3 及性质 4 不难证明，非齐次线性方程 Ax=b 的通解为 rnrnkkx+= L110第六章 特征值与特征向量 1、特征值与特征向量的概念及性质 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 和 n 维非零列向量 x，使得 Ax= x 那么数 称为矩阵 A 的特征值，非零列向量 x 称为矩阵 A 的属于特征值 的特征向量。 特征向量与特征值的概念相
38、关联，不同的特征值对应的特征向量不同，且特征向量一定是非零列向量。 性质 1 x 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，对于任意的非零常数 k ，则 k x 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量。 性质 2 设 x1, x2都是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么当 x1+x20 时 , x1+x2也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量。 从而 矩阵 A 的属于同一特征值 的有限个特征向量 x1, x2, , xl的任意一个非零线性组合 x = k1x1 +k2x2+ +klxl也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量。 定理 6.1 设1,2,m是 n 阶矩阵 A 的 m 个互不相同的特
39、征值， x1, x2, xm分别是 A的属于 1,2,m的特征向量，那么向量组 x1, x2, xm线性无关。 2、特征值与特征向量的计算 根据特征值与特征向量的概念： Ax= x。 可得 ( I - A ) x = 0 从而 021212222111211=nnnnnnnxxxaaaaaaaaaMLMMMMLL由特征值与特征向量定义知，上述齐次线性方程组有非零解（特征向量 x 非零） ，即 0212222111211=nnnnnnaaaaaaaaaAILMMMMLL|I-A| 的展开式是一个关于 的 n 次多项式，称为矩阵 A 的特征多项式，上述行列式方程称为矩阵 A 的特征方程显然， 是矩
40、阵 A 的特征值的充分必要条件是 | I-A|=0。所以由方程 | I-A|= 0 求出的它的全部根（称为 A 的特征根），就是矩阵 A 的全部特征值。 n 阶矩阵的 n 个特征值之和等于矩阵的主对角线上元素之和； 矩阵的 n 个特征值之积等于矩阵的行列式的值。 对于每一个特征值 ，矩阵 A 的属于特征值 的特征向量 x 是下面方程组的非零解向量。 021212222111211=nnnnnnnxxxaaaaaaaaaMLMMMMLL求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤是： 第一步：求 A 的全部特征值，即求特征方程 | I-A|=0 的全部根； 第二步：求 A 的特征向量。 对于每一
41、个特征值i，求出齐次线性方程组( I - A ) x = 0 的一个基础解系1，2 ， ，s，那么 x = k11+k22+kss就是 A 的属于i的全部特征向量，其中 k1 , k2 , , ks为不全为零的任意数。 3、矩阵相似的概念与性质 设 A、 B 都是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 C，使 C-1AC=B，那么称矩阵 A 与矩阵 B 相似。可逆矩阵 C 称为相似变换矩阵。 性质 1 相似矩阵的行列式相等。 性质 2 如果两个可逆的矩阵相似，那么它们的逆矩阵也相似。 性质 3 设 A 与 B 相似，那么 kA 与 kB 相似， Am与 Bm相似（其中 k 为任意数， m为任意
42、的正整数） 。 性质 4 设 A 与 B 相似， f ( x )为一多项式，则 f (A)与 f (B)相似。 性质 5 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具有相同的特征值。 4、矩阵的相似对角化 定理 6.2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。 如果矩阵 A 可对角化 （1 ）对角矩阵对角线上得元素为矩阵 A 的特征值1, 2, , n； （2 ）对角化相似变换矩阵 C 的列向量就是矩阵 A 的特征值对应的特征向量 x1,x2,xn。 这里需要注意 1, 2, , n的顺序与 x1,x2,xn的顺序的对应关系。 推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，那么 A 一定可对角化；反之不一定成立。
