1、第五章课后习题及解答1.求下列矩阵的特征值和特征向量:解：九IOr3712A3L -1 373 161 372 0 0所以,A)x。的基础解系为：(6,137).-厂因此，A的属于I的所有特征向量为：k, (6,137) (kf2I AX 一00137所以，(2l A)x0的基础解系为：(6.137)因此，A的属于2的由有特征向量为：卜2(6,137)出T 0).*TZ - 22)九一3解：% - A = %1 2r = r /以x -2所以，特征值为：1(单根),X =22(二重根)所以，(/ A)x 0的基础解系为：(011).T0).因此，A的属于1的所有特征向量为：k,(0,1.1)
2、(k1T所以,)0A X的基础解系为：(110) 0).因此，A的属于2的所有特征向量为：k2(1,1.0) (k220011;11T3X -2所以，特征值为Z 二2（三重根）32)-101所以,A)x的基础解系为：(11,0)因此，A的属于I的除有特征向量为2（ 1。，1） （kk2为不全为零的任意常数)o解:/J A0 12 3 4解：I (1A00 12所以，特征值为：0-2-34-00-2-3M =000-20000- =所以，(J A)x 。的基础解系为：(1,0,0,0).因此，A的属于；的所有特征向量为：九一4所以，特征值为X =11(三重根所以,A)x0的基础解系为：因此,A的
3、属于的所有特征向量为：(1,11)0)二 2 (T(6)121-2 ；)A -220%一=I A 20所以，特征值为：1 1（单根），2 4（单根），32（单根）,所以，（/ A）x 0的基础解系为：（2, 12）.因此，A的属于1的所有特征向量为：1(2, 1,2)出0)024Ak -=一T所以，（2l A）x。的基础解系为：（2, 2,1）.因此，A的属于2的所有特征向量为：k2(2f 21) (k20)九一 =一423I A 2302所以，（3I Qx 0的基础解系为：（1,2,2）因此，A的属于3的所有特征向量为：Tk3(1,2,2) (k3。)于2.已知矩阵7_向量。的特征值%=3(
4、二重),4电求x的值，并求其特征123I A所以，(3IA)x0的基础解系为：T(1, 1,0) ,(1,0,4).因此，A的属于3的所有特征向量为：数)k, 1,0)T kT2(1.0,4) (K*2为不全为零的任意常121 A所以,(121 A)xo的基础解系为：(1,因此，A的属于12的所有特征向量为：T k3( 1 1,1) (k30)3.设，X2是矩阵A不同特征值的特征向量,证明 x, X2不是A的一个特征向量。证：（反证法）若为是A的属于特征值 且为# /2，则：的一个特征向量，为,X2是A的属于特征值n以的特征向量Ax1+ X X21 1所以，（,一九%，X属于不同特征值2XX2
5、线性无关所以，*0,X不是A的一个特征向量。22矛盾。4.设X，X2，X3分别是矩阵A对应于互不相同的特征值3的特征向量，证明Xxx不是A的一个特征向量。证：类似3题可证。5.证而骼矩阵瓦前A-r2 I II A(1)力的特征信只能为1或In证：1）01.A的特征值只有1.若为A的特征值,则 22A的特征值 一为A的特征值只能为1或1.6.设A可逆，讨论A与A的特征彳直（特征向量）之间的相互关系。).11=K=X若 Ax x,贝lj A x x .7.若 P，问：P (A 2I)P B 211AP B1是否成立？解：成立。&已知Ar-、A=l J1 0、,求 det(A I ).02A解： A
6、 ，相似矩阵具有相同的特征值X - =九 + X -I A (1)(2) = = +2119.已知 P,P AP-3=2-6(nn1)32(n 1nl1)212nn力 2(1)0n PPA022n ，210.设 BP AP,xA是矩阵A属于特征值 勺的特征向量。证明：是矩阵B对应其特征值九。的一个特征向量。证： Ax ()x,B P APB(p & P 1APP x P Ax P )11设A为非奇异矩阵，证明1存在:.A (AB)4 BAAB与BA相似12.设A B,C D,证明：A B,C Drr存在可逆矩阵P,Q,使得P APQ CQYAP1CQ一人A 0010 cQ1 CJ 1 DJp
7、1 .)0*m13.证明：m阶矩阵j =.只有零特征值，且特征子空间是R的一维子空1间，并求它的基。 X - | = 解：I J0 J只有零特征值。01. 0JI 1J0 . TJX 0的基础解系为：(1,0,0).十 一14 .若I A可逆，I A不可逆，那么，关于 A的特征值能做出怎样的断语？ + _解：I A可逆，I A不可逆二 | + | W | - | =I A 0, I A 01不是A的特征值，1是A的特征值。215 .若det（l 屋）0,证明：1或1至少看二个是A的特征值。证：0 det(l A ) 2*t Il +A1或1至少有一个是A的特征值。16 .在第1题中，哪些矩阵可
8、对角化？并对可对角化的矩阵A,求矩阵P和对角矩阵，使得P1AP1AP解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：,可对角化。37 337diag(3737(2) P 1diag (1,4, 2).17 .主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）？解：可以，因为有 n个互不相等的特征值。一18 .设n阶矩阵A的个元素全为1,试求可逆矩阵P,使P AP为对角阵,似的对角阵。并写出与A相所以，特征值为： = * 1所以，（nl A）xn（单根），2 0（n 1重根）：10011._0101n1 )1100。的基础解系为：（11所以,Ax 0的基础解系为：（1, 1。，,0
9、） ,（1。,0. 1).1 T所以， =P 1 ：0 ： 10 1：。4 A相似的对角阵为: 1p AP diag n,0).(,0,1AP diag n19 .已知4阶矩阵A的特征值为11(三重)，23；对应于1的特征向量有=TTX (1, 1,0,0) ,( 1,1, 1,0) ,(0, 11 1),对应于 2 的特征向量为T XX 1A (n为正整数)。TX (0,0, 1,1) 问：A可否对角化？如能对角化，求出 A及容易验证线性无关, 丁-4=1 ( 3)3)3) 11%)20 .设三阶矩阵A有二重特征值？如果1,0, 1),x =T(1,10) , 4T（0.1. 1）都是对应于
10、1的特征向量，问A可否对角化？解(X” x2,x3,x4)所以，XX线性无关。又因为剩余的那个特征值是单根,所以A可对角化。九一所以，特征值为：九支一2)(1). 0/.=2（单根）,1 （单根）-3 221 .已知A求 45卜也为正整数）oA , A , A,求 f (A).若f(x)所以，（J A）x 0的基础解系为：（21）.1280640z、10 A6 If （内, 一二6403203 40022设 AA （k为正整数）。（提示：按对角块矩阵求A .）4 3 0 0，求0024000 22451A-=48=It t所以，（5I封力0的基础解系为8J2151A一42001Pl121 5
11、0 2 1 4(5)(5)2(5)2( 5)k5)-214k25)一 +k2(5)23.对5.2节例1的矩阵2(5)A,求正交矩阵T,使T02( -5)0A A九是。或纯虚数37已知r中两个非零的正交向量a =P =(aia2,aj(bi,b2 f,bj.0,且A不可对角化。T0Pa =证明：矩阵a二a”的特征值全为证：，为两个非零正交实向量 a PA( =a Pa P =a Pa B =2.A的特征值全为。 22.若为A的特征值，则X A的特征值 为A的特征值全为。r(A) 1 Ax 0的基础解系中含n 1 n不向量A不可对角化a =aTa的特征值，并求、n.a= =w 38 .设色，an)
12、 R,且a 0(i1,2,，可试求矩阵可逆矩阵P,使P AP成对角形。解：:(A) T 。是A的特征值且是A的特征方程的n 1重根。,A的所有特征值之和等于其主对角元之和. 2是A的特征方程的单根 =a. =zn2=2Aa人ii 1z -=产a ) 2I A A i,(0 zi 1A南每歹扃量甑毫(a A)x 0的解i 1-a, 0(i1,2,n),可取，T ，a )为(2| A x)0的一个基础解系. -Ax的一个基础解系为：(a , a ,0,21，0)t a a ,(,0,0,)a a a12n _ a -a02：1：可取p , I- Ja 0a39.已知匐一个特征向量(1,1, 1).
13、确定a,b及对应的特征值；A能否相似于对角矩阵？说明理由。解：由（IA） 0求解得：1, a 3,b0.(2) I A31)0特征值为：1（三重根）（IF）充）=只有一个线性无关的特征向量.A不能与对角矩阵相似40.设A试求a, b,c及a T c*5 b 3 ,、一一,已知A 1,且A有一特征值1 c0 a九xo,其特征向量(1, 1,1),解： A 1,是A的一特征值,TX （ 1，1,1）是对应的一特征向量Ax/.1XoA/vA)x及A 1可得到la c 4,b3.41.设 A Xy ,已知A有3个线性无关的特征向量，且 2是其二重特征值,求P,使P AP（对角矩阵）o解：；A有3个线性
14、无关的特征向量，A可对角化，属于 =2的线性无关的特征向量有两个-A)1 =x =2, y =2-设另一特征值为%,则2七 十九七小5+/. /. =62(K 0（勺7）x的一基础解系为：(1,-1,0)T. (1,0,1)TT, (1,0,1)Tk 一2I AA）x 0的一基础解系为：（1,2,3)P -1AP1APa P = =aP42.设(a a2,均为非零向量:已知0,2A.舟A%特征值与舄曲句量，T=aP aP =a P( q02=.T TA。是A.的特征值Ax的一基础解系为：(bb,0,1,0,1+入=。至少是n 1重特征值。设另一特征值为，则：anbn 0。是A的特征方程的n重根
15、。.A的特征值为。.特征向量为：一 . t +k b b.ki(b2, b( ,0,0)2( 3。1。，)+仆 b1 (，i)b _T(k1tk2, h为不全为零的任意常数)o下列4346题为选择题。43.已知2,4,6,2n是n阶矩阵A的n个特征值，则行列式 ; +(A)2 nI 3 ;(B)(2n3)! 1 3 5(2n3);(C)(2n 3)!;(D)5 7 9(2n3). nn解：A 3I ( 1) 3I A ( 1) (3 2)(3 4)(3 2n)(2nA 3I (C).3)!)E(E为单位矩阵)必44.已知n阶矩阵A的行列式A有特征值(B).九十九A(2A)( 1 A) 1; (B)() t0, 为A的一个特征值，贝IJ(A+十九22(0)(1|A);(D)(1).45.若AB均为n阶矩阵，且AB,则(D).(A)西 a 至 B；-(B) A与B有相同的特征值和特征向量；(C)ABB ;(D)对于任意常数t,均有tE AtE B.(A)x 0, y1； (B)y0,x1；(C)x0; (D)x y 1.解：相似矩阵有相同的特征值。由特征值的性质有：2 0 x 2 y 1; A B.
