1、 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-特征值与特征向量知识点讲解和习题】 ，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块八 特征值与特征向量 教学规划【教学目标】1、全面掌握特征值与特征向量的概念，性质2、熟练掌握数值型矩阵的特征值与特征向量的求解方法3、熟练掌握各类抽象型矩阵的特征值与特征向量的求解方法4、系统梳
2、理“矩阵，向量，方程组”与特征值与特征向量之间的联系【主要内容】1、特征值与特征向量的概念与性质2、数值型矩阵特征值与特征向量的计算方法3、抽象型矩阵特征值与特征向量的计算方法4、特征值重数与无关特征向量的关系点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料【重难点】1、理解掌握矩阵乘法运算与特征向量的联系2、抽象矩阵行列式的计算3、特征值重数与无关特征向量的关系 知识点回顾一基本概念设 A为 n阶矩阵， 是一个数，若存在一个 n维的非零列向量 使得关系式成立，则称 是矩阵 A的特征值， 是属于特征值 的特征向量.设 E为 阶单位矩阵，则行列式 E称为矩阵 A的特征多
3、项式.二公式定理定理 1：设 2,.s都是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则对任意常数 12,.sk，当 0skk时， 12.skk也是矩阵 A属于特征值 的特征向量.定理 2：矩阵 A属于不同特征值的特征向量必线性无关 .推论：假设 12,分别为矩阵 属于两个不同特征值的特征向量，则 12不为矩阵的特征向量.定理 3：设 ,0，则对任意的多项式 ()fx， fAf，当矩阵 A可逆时，还有 11fAf.定理 4：设 ()x为任意多项式，如果矩阵 A满足 ()fO，则 的任一特征值 都满足 0f.定理 5：设矩阵 A所有的特征值为 12,.n（其中可以有一样的，也可以有虚数） ，则点这里，看更多
4、数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料有 121.nia， 1niA.定理 6：矩阵 A的 k重特征值至多有 k个线性无关的特征向量. 考点精讲一数值型矩阵的特征值与特征向量【例 1】求矩阵310482A的特征值与特征向量.【答案】：特征值-2，1，1；-2 的特征向量 (0,1)Tk，其中 0k；1 的特征向量(,24)Tk-其中 0k。小结：求特征值主要是求行列式 EA；特征值 的所有特征向量就是齐次线性方程组 EAx的所有非零解. 需要注意的是特征向量一定是非零的.【例 2】求矩阵3246的特征值与特征向量.【答案】：特征值 7（二重） 其特征向量 12(,0)(,
5、1)TTkk-+- ，其中 12,k不全为 0特征值-2 其特征向量 T(2,)，其中 【例 3】求矩阵213468A的特征值与特征向量.【答案】：特征值 0（二重） ，特征向量 12(,0)(,31)TTkk-+-，其中 12,k不全为 0特征值 16，特征向量 ,24T，其中 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料【例 4】设 n阶矩阵 A的元素全为 1，则 A的 n个特征值是 【答案】： ,0 (n-1 重根)【例 5】设矩阵1.122.aAnna，试计算 A.【答案】： 1()2a-+ 【例 6】设矩阵 5310cAba，其行列式 1A，又 A 的伴
6、随矩阵 *有一个特征值 0. 属于 0的一个特征向量为 (,)T，求 ,abc和 0的值.【答案】： 02;1acl=-= 小结：当题目中出现了特征向量时，一般直接代入定义式 A.二抽象型矩阵的特征值与特征向量【例 7】设 A是 n阶实对称矩阵， P是 n阶可逆矩阵. 已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵 1TA属于特征值 的特征向量是（ ）（A） 1P （B） （C） P （D） 1TP【答案】：B【例 8】设 为 2 阶矩阵， 12,为线性无关的 2 维列向量 . 12120,A，则 A的非零特征值为 .【答案】：1【例9】设 为 n阶可逆矩阵，那么下列矩阵中与 A具有
7、相同特征值的是（ ）（A） T （B） 2A （C） 1 （D） AE【答案】：A点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料【例10 】 设 A为 n阶矩阵， P为 n阶可逆矩阵， 为矩阵 A属于特征值 的特征向量，则下列矩阵中 2 1 T 2E肯定是其特征向量的有（ ）个.（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4【答案】：B小结： 1*111?n TkAfAfAP矩 阵 ：特 征 值 ：特 征 向 量要注意，公式中哪些特征值发生了变化，哪些特征向量发生了变化.【例 11】 设 A为 3阶矩阵，已知 30EA，矩阵 2EA不可逆，线性方程组0Ex有非零解，
8、试求 *.【答案】：42【例 12】设 3阶矩阵 A满足 23EO，且 1A，试求 1*A.【答案】： 109【例 13】设 4阶矩阵 A的伴随矩阵为 *， A的特征值为 6,2,3，则下列矩阵中可逆的是（ ）（A） E （B） E （C ） 2E （D） EA【答案】：D三综合讨论【例 14】设 12,nA是 阶 矩 阵 的特征值， 12,A分 别 是 的对应于 12,的特征向量，则（ ）（A）当 12时， 12,对应分量必成比例点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料（B）当 12时， 12,对应分量不成比例（C ）当 时， 对应分量必成比例（D）当 12时， 12,对应分量必不成比例【答案】：D【例 15】设 n阶矩阵 A满足 32O，证明：矩阵 AE可逆.【例 16】设 阶矩阵 的秩 1r，试讨论矩阵 的可逆性.【例 17】设 ,AB均为 n阶矩阵，证明：如果 为 AB的特征值，则 也必为 BA的特征值. 测试成绩在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
