1、线性代数与线性规划1线性代数与线性规划第一章 行列式一、二阶行列式：定义： =a11a22-a12a2112注：对角线法则二、三阶行列式：1、定义： = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-12133aa12a21a332、代数余子式表达： = - +12133a23a213a213a3、a 11的余子式 M11： （以此类推）234、a 11的代数余子式：（-1） 1+1M11四、n 阶行列式：定义：D= =a11A11+a12A12+a1nA1nn2n12n112aa 注：当 n=1 时，|a 11|=a11五、三角行列式：定
2、义：三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，即 =n2n11aa0 a11a22a33ann六、行列式的基本性质：1、转置行列式：将行列式各行元素作为各列构成的行列式线性代数与线性规划2D= Dt=n2n12n112aa nn212n121a 2、命题及推论：命题 1：行列式与它的转置行列式的值相等注：对于行成立的性质，对列也成立命题 2：交换行列式的两行或两列，行列式改变符号推论：行列式中，如果有两行或两列对应相等，则此行列式值为零命题 3：若行列式中某行或某列元素有一个公因子可以提到行列式符号外面命题 4：注：对于列也成立命题 5：行列式中某一行或列的元素乘上一个数，加到另外一行或列对应
3、的列上去，行列式的值不变命题 6：行列式可以表示为其任一行或列的元素，分别乘上它们对应的代数余子式之和，也称行列式可以按任意行或列展开推论：行列式中某行或列的元素，分别乘上另一行或列对应元素的代数余子式之和值为零 ji，0，DAaAajni2ji1ji ，nji2ji1ji七、克莱姆法则：1、n 元线性方程组： nn2n1n 2n2212 11bxaxa（1）非齐次线性方程组：b 1、b 2bn不全为零的方程组（2）齐次线性方程组：b 1、b 2bn全为零的方程组2、系数行列式：D= n2n121aa 3、定理：（1）对于线性方程组1）系数行列式 D0，则线性方程组有唯一解：x j= （j=1
4、、2、n）D注：D j是把 D 中第 j 列元素 a1j、a 2j、a nj对应地把常数项线性代数与线性规划3b1、b 2、b n替换，其余各行保持不变的行列式2）系数行列式 D=0，且 Dj=0，则线性方程组有无数解注：D j不是指一行行列式，而是线性方程组所有行的行列式都为零3）系数行列式 D=0，且 Dj0，则线性方程组无解注：D j是指任一行行列式为零（2）对于齐次线性方程组：1）系数行列式 D0，则齐次线性方程组只有零解2）系数行列式 D=0，则齐次线性方程组有非零解第二章 矩阵代数基础一、矩阵的初步：1、定义：由 mn 个数按一定的次序排成的 m 行 n 列的矩形数表，通常用大写字
5、母 A、B、C 等表示中的系数 A= mnm2m1m 2n2212 11bxaxa mn2m12n112aa简称 A=(aij)mn2、方阵：矩阵的行数与列数相等时，即 m=nAnn= n2n12n112aa3、实矩阵：元素是实数的矩阵4、复矩阵：元素是复数的矩阵5、零矩阵：元素都为零的矩阵二、特殊的矩阵：1、向量：（1）行向量（一行的矩阵）：A= n21aa（2）列向量（一列的矩阵）：B= m2a2、对角和数值矩阵：（1）对角矩阵：A=diag（ 1， 2， n）= n210线性代数与线性规划4（2）数值矩阵：A= 03、单位矩阵： ）I（En 10三、矩阵的线性运算：1、矩阵相等：A=B1
6、）两个矩阵对应的行和列都相等2）对应元素相等2、矩阵的加法：A+B=（a ij+bij） mn= mn2m1m 22 n1121 baba注：只有同行同列的矩阵可加3、矩阵的减法：A-B=A+（-B）4、数乘运算：kA=k（a ij）= n2n12n112kak5、矩阵的乘法：C=AB= nm2n121m12aa ms2m121s12bb= msns2ns12mn2n1mn21n1 222 ms1s21211 bababababa注：左边矩阵的列数=右边矩阵的行数，两个矩阵可进行乘法，否则无意义乘积矩阵的行数=左边矩阵的行数，乘积矩阵的列数=右边矩阵的列数任何一矩阵乘上或者被乘上单位矩阵，那么
7、乘积还是原来的矩阵一般不满足交换律，即 ABBA线性代数与线性规划5一般不满足消去律，即 AC=BC0 A=B6、方阵的幂运算： A k=AAA（共有 k 个 A）注：A 0=E7、运算：（1）A+B=B+A（2） （A+B）+C=A+（B+C）（3）A+O=A（4）A+（-A）=O（5）k（lA）=（kl）A（6） （k+l）A=kA+lA（7）k（A+B）=kA+kB（8） （AB）C=A（BC）（9） （A+B）C=AC+BC（10）C（A+B）=CA+CB（11）k（AB）（kA）B=A（kB）（12）A mAn=Am+n（m、n 为非负整数）（13） （A m） n=Amn（14）当
8、 AB=BA 时，则（AB） m=AmBm（15） （A B） 2A 2 2AB+B2（16）A 2-B2（A-B） （A+B）四、矩阵的分块：1、子块：在一个矩阵行和列之间加一些虚线，将矩阵分成一些小的矩阵2、分块矩阵：保持子块的相对位置组成的矩阵若 A= A11= 、A 12= 、A 21= 、A 22= nm2n121m12aa1m112a n12 nm2n则 A= 21A注：不只分为这种方法，可以任意分3、分块对角矩阵：主对角线以外的子块都是零矩阵的矩阵，A= n21AO 04、运算：线性代数与线性规划6（1）矩阵 A 与 B 的行列都相等：A B= mn2m1m 22 n1121 B
9、ABA（2）常数 k 乘以矩阵：kA= nm2n1212kAkA（3）分块矩阵的乘法：AB= msns2n12mn2n1mn21n1 222 ms1s212m1211m211 BABABABABA 注：A 是 hl 的矩阵，B 是 lt 的矩阵五、线性方程组的矩阵表示：1、矩阵法表示：线性方程组 mnm2m1m 2n2212 11bxaxa矩阵形式： （A） （X）= （b） mn2m12n12aa n21x m212、系数矩阵： （A） mn2m1211aa3、解向量：若 x1=c1，x 2=c2，x n=cn，则 x= n21c4、齐次线性方程矩阵法表示：AX=O六、矩阵的转置：1、转置矩
10、阵：把矩阵的行与同序数的列交换得到的矩阵线性代数与线性规划7A= At（ ）= mn2m121n12aa mnn212m121aa2、对称矩阵：A=A t注：关于主对角线对称的矩阵也是对称矩阵3、反对称矩阵：A t=-A注：每一个方阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和4、运算：（1） （A T） T=A（2） （A+B） T=AT+BT（3） （kA） T=kAT（4） （AB） T=BTAT七、方阵的行列式：1、定义：由 n 阶方阵的元素构成的行列式（各元素的位置不变） ，记作：|A|或 detAA= |A|= n2n121n12aan2n12n112aa 注：方阵与行列式的概念不
11、同，方阵是 n2个数按一定方式排列成的数表，行列式是一个数值2、运算：（1）|A T|=|A|（2）|kA|=k n|A|（3）|AB|=|A|B|八、可逆矩阵：1、方阵 A 可逆：对于方阵 A，若存在方阵 B，且 AB=BA=E，记作：A -12、矩阵 A 的逆： AB=BA=E 中的 B注：可逆矩阵的逆是唯一的单位矩阵是可逆的，切逆矩阵就是本身3、运算：（1） （A -1） -1=A（2） （kA） -1=k-1A-1（3） （AB） -1=B-1A-1（4）|A -1|=|A|-1（5） （A T） -1=（A -1） T4、伴随矩阵：方阵 A 的行列式|A|中各个元素的代数余子式线性代
12、数与线性规划8A= A*= n2n121n12aa n2n121n12A5、可逆矩阵的值：A -1= *A注：|A|0九、初等变换：1、单位矩阵的初等变换（初等矩阵）：（1）E 的第 i 行（列）乘以非零常数 k 得到的矩阵：E（i（k） ）= 10k1（2）E 的第 i、j 行（列）互换得到：E（i，j）= 10001000 01010（3）E 的第 j 行乘以数 k 加到第 i 行上，或 E 的第 i 列乘以数 k 加到第 j 列上得到的矩阵：E（ij（k） ）= 1000k102、初等矩阵的性质：线性代数与线性规划9（1）初等矩阵的逆：1）E（i（k） ） -1=E（i（k -1） ）2
13、）E（i，j） -1=E（i，j）3）E（ij（k） ） -1=E（ij（-k） ）（2）初等矩阵的行列式：1）|E（i，j）|=-12）|E（i（k） ）|=k3）|E（ij（k） ）|=13、矩阵与初等矩阵关系：设 A 是一个 mn 的矩阵（1）若 AE（i（k） ）或 E（i（k） ）A，则 A 的第 i 行（或第 i 列）元素乘k（2）若 AE（i，j）或 E（i，j）A，则 A 的第 i 行与第 j 行（或第 i 列与第 j 列）互换（3）若 AE（ij（k） ）或 E（ij（k） ）A，则 A 的第 j 行乘上常数 k 加到了第 i 行（或第 i 列乘上常数 k 加到了第 j 列）
14、4、矩阵的初等变换：（1）以一个非零的常数 k 乘矩阵的某一行或某一列（2）交换矩阵的两行或两列（3）把矩阵的某一行或某一列的 k 倍加到另一行或另一列5、梯形矩阵：（1）形式：1）零行（元素都为零的行）位于矩阵的最下方（有零行的情况下）2）各非零行的首非零元的列标随行标的增大而增大（2）最简行阶梯形矩阵：1）各非零行的首非零元都是 12）每个首非零元所在列的其余元素都是零6、求逆矩阵的初等变换法：（1）过程：将 A 化为单位矩阵，E 化为 A-1，即 ）A E（）E （ -1初 等 行 变 换 （2）扩展： ）BE（）B （ -1初 等 行 变 换 注：A 为 n 阶可逆矩阵，则矩阵 A 经
15、过有限次初等变换可化为单位矩阵 E十、向量的线性相关性：1、n 元向量（n 维向量）：1n 或 b1 的矩阵，用 、 等表示2、n 元向量组： 1、 2、 3、 S3、向量组的线性组合：向量组 1、 2、 3、 S，对于任何一组实数k1、k 2、k 3、k S，则 k1 1+k2 2+kS S4、线性组合的系数：k 2、k 3、k S5、 的线性组合：=k 1 1+k2 2+kS S6、向量组线性相关：向量组 1、 2、 3、 S，对于不全为零的k1、k 2、k 3、k S，则 k1 1+k2 2+kS S=0注：包含零向量的任何向量组都是线性相关的向量组只含有一个向量 且 =0，则线性相关线
16、性代数与线性规划10向量线性相关的两个向量 两个向量分量成比例7、向量组线性无关：（1）向量组 1、 2、 3、 S，对于不全为零的k1、k 2、k 3、k S，则 k1 1+k2 2+kS S0（2）k 1=k2=k3=kS=0 时，则 k1 1+k2 2+kS S=0注：向量组只含有一个向量 且 0，则线性无关向量线性无关的两个向量 两个向量分量不成比例注：从定义出发判断一个向量组的线性相关性，可以令它的线性组合为零，如果说明系数必须全为零，则此向量组线性无关；如果系数不全为零，则此向量组线性相关8、定理：（1）向量组 1、 2、 3、 S（S2）线性相关 向量组至少有一个向量可由其余 S
17、-1 个向量线性表示（2）如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关注：线性无关的向量组中的任何部分皆线性无关（3）若向量组 1、 2、 3、 S， 线性相关，而向量组 1、 2、 3、 S线性无关，则向量 可由唯一的 1、 2、 3、 S线性表示（4）若向量组 1、 2、 3、 t线性无关且每个向量都可以由 1、 2、 3、 S线性表示，则 tS注：当且仅当两向量组等价时， “=”成立9、向量组的极大无关组：（1）条件：对于向量组 1、 2、 3、 n的一个部分组1）此部分组线性无关2） 1、 2、 3、 n中的每一个向量都可以由这个部分组线性表示注：向量组的极大无关组
18、不唯一（2）向量组的极大无关组所含向量个数是相同的10、向量的秩：向量组的极大无关组所含向量的个数第三章 线性方程组一、矩阵的秩：1、k 阶子式：在矩阵 A 中，位于任意选定的 k 行 k 列相交处的 k2个元素，按照原来的相对位置构成的 k 阶行列式2、非零子式：子式的值不等于零注：mn 矩阵 A 的 k 阶子式一共有 个knmC当 A=O 时，任何子式都为零当 AO 时，至少有一个元素不为零如果 A 中有 r 阶子式不为零，且没有高于 r 阶的不为零的子式，则此时不为零的子式的最高阶数为 r3、定义：设 A 为 mn 矩阵，如果存在 A 的 r 阶子式不为零，而任何 r+1 阶子式（如果存
19、在）皆为零，记作：r（A） （R（A） ） （子时不全为零的最高节数）线性代数与线性规划11注：零距阵的秩等于零4、满秩矩阵：当 r（A）=m 或 n 中的最小数5、降秩矩阵：当 r（A）m 或 n 中的最小数6、性质：（1）若矩阵 A 中某个 s 阶子式不为 0，则 r（A）s（2）若 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r（A）t（3）r（A）=r（A T）（4）若 A 为 mn 矩阵，则 0r（A）m 或 n 中最小的数（5）若 A 为 nn 矩阵且 A 满秩 r（A）=n 行列式一定不等于 0 一定是可逆的矩阵7、定理：（1）行阶梯形矩阵的秩等于它所含非零行的个数（2）对矩阵做一次行（
20、列）变换，矩阵的秩不变（3）初等变换不改变矩阵的秩二、线性方程组的解：1、矩阵消元法：对于给定的线性方程组，写出其增广矩阵（ ） ，对其进行初A等变换为最简阶梯形矩阵，还原成方程组2、有解的条件：n 元线性方程组 Ax=b 有解 r（A）=r（ ）（1）方程有唯一解：r（A）=r（ ）=nA（2）方程有无穷解：r（A）=r（ ）n（3）对于 n 元齐次线性方程组：1）一定有零解：Ax=02）有非零解：r（A）n（4）无穷解的向量形式：设 x3=c1，x 4=c2（c 1R 且 c2R） ，241322cxmkjhfd注：d、f、h、j、k、m 都是常数则 X= 10mhckf0dx214321
21、三、线性方程组的结构：1、向量组：（1）设 1、 2、 3、 n为 n 元向量组（mn）线性代数与线性规划121）当 n 元向量组线性相关时，它的秩小于 m2）当 n 元向量组线性无关时，它的秩等于 m（2）解向量组是否线性相关的方法：用每个向量的元素作为一列构成一个矩阵，然后化成行阶梯形矩阵，根据上面的定理判断（3）k 元线性无关的向量组每个向量组增加 p 个分量后，得到 k+p 元向量组仍线性无关设 、 、 线性无关，则组向量k121ak212akm2m1ma、1）pk（ 211a、 也线性无关2）pk（ 22am）pk（ m21maa2、齐次线性方程组：（1） mnm2m1m 2n221
22、2 11bxaxa1）矩阵表示法：A= ，X= AX=0 mn2m12112aa n21x2）解向量：X= n2x3）若 为上面方程组解向量，则 也是解向量21、 21线性代数与线性规划134）若 为上面方程组的解向量，则 （k R）也是解向量11（2）齐次线性方程组 AX=0 的解集中，所有解向量的极大无关组 、 、12满足：t1） 、 、 线性无关2t2）方程组任意一解均可用 、 、 表示12t（3）基础解系：此时的 、 、（4）通解：x= 21c（5）设 x3=c1，x 4=c2（c 1R 且 c2R） ，2413221cxmkhf注：d、f、h、j、k、m 都是常数则 X= 10mhc
23、fx214321）基础解系： = ， =10kf21mh2）通解：x= 21c3、非齐次线性方程组：（1）导出的齐次线性方程组的解：设 是非齐次线性方程组 AX=b 的解，21、 则解为： 21-（2）非齐次线性方程组的解：设 是非齐次线性方程组 AX=b 的解， 为导出的齐次线性方程组的解，则解为： +（3）非齐次线性方程组的通解：设 是非齐次线性方程组 AX=b 的一个解，线性代数与线性规划14为导出的齐次线性方程组的通解第四章 投入产出的数学模型一、投入产出表：二、意义：1、x ij：一个周期内第 i 个产业部门对第 j 个产业部门投入的产品数量（第 j个产业部门消耗地 i 个产业部门的
24、产品价值）2、y i：第 i 个产业部门供给市场消耗的产品价值3、z j：第 j 个产业部门在一个生产周期内的创新价值4、x i：汇总三、方程组：1、分配平衡：（1）普通： nn2n1 2n221 11xyx（2）矩阵：AX+Y=X2、消耗平衡：（1）普通： nnn21 22n21 11xzx（2）矩阵：CX+Z=X3、直接消耗系数： jia4、矩阵解释：（1）直接消耗系数矩阵：A= mn2m121n12aa线性代数与线性规划15（2）X= ，Y= ，Z= n21x n21y n21z（3）C= nn212n2121 aa00 0aa第四章 线性规划一、模型：1、实际应用类型：（1）任务安排问
25、题：裁决变量：设 xj是第 j 种产品的生产总量（jN *）（2）配料问题（3）运输问题（4）作物布局问题（5）合理下料问题2、线性规划问题：（1）特点：1）每一个问题都可以用一组变量来表示，这组变量的一组定值代表一个具体方案，这些变量的取值通常是非负的2）有约束条件（用一组变量的线性等式或不等式表达）3）有目标（一组变量的线性函数） ，按要求求最大值或最小值（2）数学语言表示：1）最大值模型：（S max）maxS=c 1x1+c2x2+cnxn 0x，0x， b）（ 或aa）（ 或 ）（ 或n21 3mmm 2n2212 12）最小值模型：（S min）minS=c 1x1+c2x2+cn
26、xn 0x，0x， b）（ 或aa）（ 或 ）（ 或n21 3mmm 2n2212 1线性代数与线性规划163、标准形式：（1）表示：1）数学语言：（S max）maxS=c 1x1+c2x2+cnxn 0x，0x， baaxn21 3mmm 2n22122）矩阵：（S max）maxS=CX0xbAX注：X= ，C=（c 1，c 2，c n） ，A= =（P 1，P 2，P 3） ，b= n21x mn2m121n12aa n21b（2）特点：1）目标函数求最大值2）所有约束条件都用等式表示3）所有变量要求非负4）约束常数 bi为非负二、基本概念：1、可行解：满足线性规划模型中，约束条件的决策变量的一组值2、可行域：满足约束条件的解的集合3、最优解：目标函数最大或最小的一组可行解4、最优值：最优解下的值三、图解法：1、过程：（1）根据约束条件，在平面直角坐标系下画出可行域 E（2）根据目标函数 S 的表达式画出目标直线 S=0，并标明目标函数增加的方向（3）在可行域 E 中，寻求符合要求的距离目标直线 S=0 最远或最近的点，并求该点的坐标2、类型：（1）唯一最优解线性代数与线性规划17（2）有无穷最优解（3）有可行域，无最优解（4）无可行域，无最优解
