1、第16章 基于Copula的VaR度量与事后检验,清华大学经管学院 朱世武 Z Resdat样本数据： SAS论坛： ,Copula函数,最常见的两种Copula函数是正态Copula函数和t-分布Copula函数。,正态Copula函数,正态分布随机变量 的均值分别为 ，方差分别为 ，相关矩阵为R，则随机变量 的分布函数 为Copula函数，称为协方差矩阵为R的正态Copula函数，或称为Gauss Copula函数。（ 为标准正态分布函数）。,t-分布Copula函数,t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。 正态分布随机变量 的均值分别为0，方差分别为1，相关矩阵为R。Y为
2、 分布随机变量，自由度为 ，与 独立。则随机变量 的分布函数 为Copula函数，称为自由度为 ，相关矩阵为R的t-分布Copula函数。 . t-分布Copula函数继承了正态Copula函数的几乎全部性质。但在正态Copula函数模型中，极端事件的发生总是彼此独立的，即 接近于0或1的可能性彼此独立。而在t-分布Copula函数中，极端事件是相关的。,联合分布模拟与收益率映射,假设有一个包括n个资产的组合，收益率为向量为。设 的边际分布分别为， 的联合分布为 。,正态Copula模拟,对R进行Cholesky分解 生成一个 的服从独立标准正态分布的随机向量令 ，产生 维向量，这时， 即X向
3、量中的每一个随机变量均服从期望为0，方差为1的正态分 布，并且它们相关矩阵正好为R。,计算 ，得到 用边际分布函数的反函数把 映射到收益率 .若边际分布为正态分布，则 若边际分布为t分布，则 其中 分别是相应t分布的自由度。,t-分布Copula模拟,对R进行Cholesky分解 生成一个 的服从独立标准正态分布的随机向量令 ，产生 维向量，这时， 即Y向量中的每一个随机变量均服从期望为0，方差为1的正态分 布，并且它们相关矩阵正好为R。,产生与Y相互独立的变量S，服从 分布。 令 ，则X服从自由度为 的t分布。计算 ，得到 用边际分布函数的反函数把 映射到收益率,若边际分布为正态分布，则 若
4、边际分布为t分布，则 其中 分别是相应t分布的自由度。,投资组合VaR度量,假设一资产组合中包含20只股票，利用前面介绍的方法估计该资产组合特定置信水平下的日风险值（VaR）。,计算环境,2004年12月底以前的历史数据，计算2005年第一个交易日的VaR。假设投资总额为100万元，构造股票投资组合，针对投资组合做相应计算。 类似地，可以计算2005年全年交易日的VaR，并作相应的事后检验。 数据集： 个股数据集ResDat.Qttndist；,计算步骤,第一步：确定权重，构造投资组合； 第二步：对每只股票的收益率进行模拟； 第三步：利用前两步所得，计算组合的的收益率； 第四步：利用第三步所得
5、的组合的收益率，计算投资组合的VaR； 第五步：对投资组合的VaR作相应的事后检验。,计算结果,表16.1 正态Copula相关结果,表16.2 t-分布Copula相关结果,以上结果表明，采用Copula计算的VaR比上章只用正分布的VaR大，所以，事后检验效果更好。,极大似然法拟合t分布,从事后检验结果可以看出，不同自由度下，t分布的检验效果均优于正态边际分布。下面给出确定t分布自由度n的极大似然法。,t分布概率密度函数为，其中n为自由度。t分布拟合就是估计该密度函数的自由度参数n。,通过最大化样本的对数似然函数，就可以得到参数n的估计值。 对迭代方法与初值都有很多要求，此处采用一种比较直
6、观的方法。即通过令n取一列值，分别计算对数似然函 数 的值，取其最大值所对应的 值为自由度参数n的估计值。,/*求t边际分布的自由度*/ options nodate nosource nonotes; proc means data=return1 noprint; var return1; output out=b mean=m std=std; data b; set b; call symput(mean, m);/*求组合收益率的均值和方差*/ call symput(std, std); data result; delete; %macro a(x); %do i=2 %to ,
7、proc means data=t noprint; var lnt; output out=t1 sum=sum ; data t1; set t1; n=,计算结果： Obs _TYPE_ _FREQ_ sum n 1 0 961 -1337.83 10 2 0 961 -1337.93 11 3 0 961 -1337.99 9 4 0 961 -1338.20 12 5 0 961 -1338.57 8 6 0 961 -1338.57 13 7 0 961 -1339.01 14 8 0 961 -1339.48 15 9 0 961 -1339.84 7 10 0 961 -1339.98 16 11 0 961 -1340.48 17 12 0 961 -1340.98 18 0 961 -1341.48 19 从结果可以看出，当自由度取10时，似然函数取得极大值。,
