1、1数列教案1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第na二个位置的叫第 2 项，序号为 的项叫第 项（也叫通项）记作 ；nna数列的一般形式： ， ， ， ，简记作 。1a23 n例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个a公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，： 1，数列的通项公式是
2、= （ 7， ） ，nanN数列的通项公式是 = （ ） 。说明： 表示数列， 表示数列中的第 项， = 表示数列的通项公式；nan naf 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。 例 如 ， = = ； (1)n,21()kZ不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 （或它的有限子集）的函数 当自变量 从 1 开始依次取值N ()f
3、n时对应的一系列函数值 ， ，通常用 来代替 ，其图象是一群孤(1),2(3),ff()fnaf立点。例：画出数列 的图像.na（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列 的前 项和 与通项 的关系：nanSna1(1)2nnS例：已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的通
4、项公式32sa2练习1根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2） ， ， ， ；21324251（3） ， ， ， 。*（4）9，99，999，9999（5）7，77，777，7777，(6)8, 88, 888, 88882数列 中，已知na21()3nnN（1）写出 ， ， ， ， ； ,1231a2（2） 是否是数列中的项？若是，是第几项？793 （2003 京春理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中
5、分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（ ） ，其通项公式为 .A40 个 B45 个 C50 个 D55 个等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。用递推公式表示为d或 。(2)nad1(1)nad2 条直线相交，最多有 1 个交点 3 条直线相交，最多有 3 个交点 4 条直线相交，最多有 6 个交点（1） （4） （7） （ ） （ ）3例：等差数列 ， 12na1na2、等
6、差数列的通项公式： ；()d说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列， 为递AP00d0d减数列。例：1.已知等差数列 中， 等于（ ）na124976a， 则，A15 B30 C31 D642. 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号 等于n13d05nn（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703.等差数列 ，则 为 为 （填“递增数12,nban nanb列”或“递减数列” ）3、等差中项的概念：定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中 A2abA， ， 成等差数列 即： （ ）aAb2ab21nnamnn例：1 （06
7、 全国 I）设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则n 31523801213a（b ）A B C D12010590752.设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）naA1 B.2 C.4 D.84、等差数列的性质：（1）在等差数列 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；na（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；nmnN()nmadnma()（4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则 ；apqpqnpq5、等差数列的前 和的求和公式： 。(11()()22nnS
8、da）（ 2112是等差数列 ),(2为 常 数BAnSna递推公式： 2(2)1(1aSmnnn 例：1.如果等差数列 n中， 345a，那么 127.a（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（2009 湖南卷文）设 nS是等差数列 n的 前 n 项和，已知 23， 61a，则 7S等于( )4A13 B35 C49 D 63 3.（2009 全国卷理） 设等差数列 na的前 项和为 nS，若 972,则 49a= 4.（2010 重庆文） （2）在等差数列 中， 190，则 5的值为（ ）（A）5 （B）6 （C）8 （D）105.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3
9、 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项6.已知等差数列 的前 项和为 ，若 nanS185212 aa， 则7.（2009 全国卷理）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 53则 95S 8 （98 全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1， b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn；9.已知 数列是等差数列， ，其前 10 项的和 ，则其公差 等于( )na01a701SdC. D.332 BA3210.（2009 陕西卷文）设等差数列 n的前 n 项和为 ns,若 632as,则 na 11
10、（00 全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77， S1575， Tn为数列 的前 n 项和，求 Tn。Sn12.等差数列 的前 项和记为 ，已知nanS503210a，求通项 ；若 =242，求n13.在等差数列 中， （1）已知 ；（2）已知na81214,68,Sad求 和；(3)已知65810,aSS求 和 3570a求6.对于一个等差数列：5（1）若项数为偶数，设共有 项，则 偶 奇 ； ；2nSnd1nSa奇偶（2）若项数为奇数，设共有 项，则 奇 偶 ； 。 1na中 奇偶7.对于一个等差数列， 仍成等差数列。nnnSS232,例：1.等差数列 a
11、n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为 。n3已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 n4.设 为等差数列 的前 项和， = nSa 97104 SS， 则， 5 （06 全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 ，则 36612A B C D310131898判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列）常 数 ） （ Nndan(1 na中项法：是等差数
12、列)221nn（ n通项公式法：是等差数列),(为 常 数bkanna前 项和公式法：是等差数列),(2为 常 数BASnn例：1.已知数列 满足 ，则数列 为 （ ）na21naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列 的通项为 ，则数列 为 （ ）n5nnA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）a42saA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）nA.等差数列 B.等比数列 C
13、.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列 满足 ，则数列 为（ ）a021naaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列 满足 =8，na1 （ ）0214 nnaa， 且 N6求数列 的通项公式；na7 （01 天津理，2）设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列9.数列最值（1） ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值；0adnS10adnS（2） 最值的求法：若已知 ， n的最值可
14、求二次函数 2ab的最值；nS可用二次函数最值的求法（ ） ；或者求出 n中的正、负分界项，即：N若已知 ，则 最值时 的值（ ）可如下确定 或 。naSn10na1n例：1等差数列 中， ，则前 项的和最大。12910S，2设等差数列 的前 项和为 ，已知nan13123S，求出公差 的范围，d指出 中哪一个值最大，并说明理由。1221S， 3 （02 上海）设 an （ nN *）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5 S6， S6 S7 S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S 5 D.S6 与 S7 均为 Sn的最大值4已知数列 的通项 （ ） ，则数列
15、的前 30 项中最大项和最小项分别是 n8a5.已知 是等差数列，其中 ，公差 。na13a8d（1）数列 从哪一项开始小于 0？（2）求数列 前 项和的最大值，并求出对应 的值n n6.已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若 ,求数列 前 项和na10ad10Sna的最大值7.在等差数列 中， ， ，求 的最大值n125a179Sn7利用 求通项1()2nnSa1.数列 的前 项和 （1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 是等差数列吗？（3）你na能写出数列 的通项公式吗？na2已知数列 的前 项和 则 n ，142nSn3.（2005 湖北卷）设数列 的前 n 项和为 Sn=2
16、n2，求数列 的通项公式；ana4.已知数列 中， 前 和na，311)(1nn求证：数列 是等差数列求数列 的通项公式n5.（2010 安徽文）设数列 na的前 n 项和 2nS，则 8a的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比数列1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即：q(0)： 。1na(0)q1 递推关系与通项公式 mnnqa推 广 ：通 项 公 式 ：递 推 关 系 ： 111 在等比数列 中, ，则 2,41na2 在等比数列
17、中, ,则 n37q19_.3.（07 重庆文）在等比数列 an中， a28， a164， ，则公比 q 为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）84.在等比数列 中， ， ，则 = na2585.在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则 （ ）na13345aA 33 B 72 C 84 D 1892 等比中项：若三个数 成等比数列，则称 为 的等比中项，且为cb,bca与是成等比数列的必要而不充分条件.aacb2， 注 ：例：1. 和 的等比中项为( )3()1A1B()1C()2D2.（2009 重庆卷文）设 na是公差不为 0 的等差数列， 1a且 136,a成等
18、比数列，则na的前 项和 nS=（ ） A274B253C234nD 2n3 等比数列的基本性质， ),(Nqpm其 中（1） naaqpnm， 则若（2） )(2aqmnn，（3） 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比 数列.n（4） 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的常数列.na例：1在等比数列 中, 和 是方程 的两个根,则 ( )na102510x47a5()2A2()B()C1()2D2. 在等比数列 ，已知 ， ，则 = na51109a18a3.在等比数列 中， 4362n，求 n若 nTaaT求,lglg214.等比数列 的各项为正数，且 （ n5647313231
19、0,logllogaa则9）A12 B10 C8 D2+ 3log55.（2009 广东卷理）已知等比数列 na满足 0,12,n ，且25(3)na，则当 1n时， 212321loglloga （ ） A. ()n B. 2()C. 2 D. 2(1)n4 前 项和公式 )1(1)()(1 qaqaSnnn例：1.已知等比数列 的首相 ，公比 ，则其前 n 项和 n512qnS2.已知等比数列 的首相 ，公比 ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项a1和 nS3.设等比数列 的前 n 项和为 ，已 ，求 和nS,62a301anS4 （2006 年北京卷）设 ，则 等于（ ）470()
20、 ()nf N ()fA B C D2(81)7n18)3842817n5 （1996 全国文，21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 S62 S9，求数列的公比 q；6设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，S n+2成等差数列，则 qna的值为 .5.若数列 是等 比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等比数列.nanS*NkkSk2kS23如下图所示： k kk SkSk aaa3 232k 3121S321 例：1.（2009 辽宁卷理）设等比数列 n的前 n 项和为 n，若 63S=3 ，则 69S= A. 2 B. 73C.
21、8D.32.一个等比数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为（ ）nnnA83 B108 C75 D63103.已知数列 是等比数列，且 na mmSS3201， 则，6.等比数列的判定法（1）定义法： 为等比数列；（ 常 数 ）qan1na（2）中项法： 为等比数列； )0(221nnn（3）通项公式法： 为等比数列； 为 常 数 ）qk,a（4）前 项和法： 为等比数列。 n为 常 数 ）（Snn)(n为等比数列。为 常 数 ）（ k,例：1.已知数列 的通项为 ，则数列 为 （ ）nan2naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法
22、判断2.已知数列 满足 ，则数列 为 （ ）)0(1nnanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）1n2sA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断7.利用 求通项1()2nnSa例：1.（2005 北京卷）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， ， n=1，2，3，求1nSa2， a3， a4的值及数列 an的通项公式 2.（2005 山东卷）已知数列 的首项 前 项和为 ，且 ，n15,annS*15()nSN证明数列 是等比数列1na11求数列通项公式方法（
23、1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列 满足： ， 求 ；na26,7753ana2.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式；n )1(,211n n3.数列 满足 =8， （ ） ，求数列 的通项公式；na1 0214 nnaa， 且 Nna4. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式；n,211nn5.设数列 满足 且 ，求 的通项公式na01 11nnan6. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112,nn7.等比数列 的各项均为正数，且 ， ，求数列 的通项公式na321a6239an8. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式；n )(,211n
24、an n9.已知数列 满足 （ ） ，求数列 的通项公式；na 212214nna且， Nna10.已知数列 满足 且 （ ） ，求数列 的通项公式；n，115()nnan11. 已知数列 满足 且 （ ） ，求数列 的na，211123(52)nnnaNna通项公式；12.数列已知数列 满足 则数列 的通项公式= n11,4().2nan12（2）累加法1、累加法 适用于： 1()naf若 ，则 1()naf22131() ()naff 两边分别相加得 11()nkaf例：1.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 14,22nan na2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11
25、n， n3.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n1123nnaa， na4.设数列 满足 ， ，求数列 的通项公式na1 121nnn（3）累乘法适用于： 1()nnaf若 ，则1()nf31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 1()nnkaf例：1. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112()53nna， na2.已知数列 满足 ， ，求 。na31nn13.已知 ， ，求 。31nna21)(na13（4）待定系数法 适用于 1()naqfn解题基本步骤：1、确定 ()fn2、设等比数列 ，公比为1()naf3、列出关系式 )(221 nfafnn 4、
26、比较系数求 ，125、解得数列 的通项公式1()naf6、解得数列 的通项公式n例：1. 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。na11,2()nana2.（2006，重庆,文,14）在数列 中，若 ，则该数列的通项n11,23(1)na_na3.（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列 满足 求数列na*11,2().naN的通项公式；na4.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na解：设 15()xx5. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa， na解：设 12()xyxy6.已知数列 中， , ，求n61 112(
27、3nn n147. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nana， na解：设 2 21()()()xyzxyz8. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1143nna， na递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnp12先把原递推公式转化为 )(112nsatsa其中 s，t 满足 qt9. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na211256,nnaana（5）递推公式中既有 nS分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法1,2nnaSnaS求解。1.（2005 北京卷）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， ， n=1
28、，2，3，求1nSa2， a3， a4的值及数列 an的通项公式 2.（2005 山东卷）已知数列 的首项 前 项和为 ，且 ，证明数n15,annS*15()nSN列 是等比数列1na3已知数列 中， 前 和n，31an1)(21naS求证：数列 是等差数列求数列 的通项公式n154. 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 ，且 成等比数列，nanS1()26na249,a求数列 的通项公式。（6）根据条件找 与 项关系1n例 1.已知数列 中， ，若 ，求数列 的通项公式annaC1,1 21,5nabnb2.（2009 全国卷理）在数列 n中， 11,()nn（I）设nab，求
29、数列 nb的通项公式（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nnana（8）对无穷递推数列消项得到第 与 项的关系1n例：1. （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naaa，2.设数列 n满足 21133n， a*N求数列 na的通项；16（8） 、迭代法例：1.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn1212(2)132()3()(1)112(3)(1)33(1()32() nn nn
30、nn nnaaaa 2(1)()1! nn 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna（9） 、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例： 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。511237nn， 10nn，两边取常用对数得 1lgllg32nna2、换元法 适用于含根式的递推关系例： 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2)nb17数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 dnanSn2)1(2)(11)1(1qanSn公比含字母时一定要讨论
31、(理)无穷递缩等比数列时， q1例：1.已知等差数列 满足 ，求前 项和na,132annS2. 等差数列 an中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）A9 B10 C11 D123.已知等比数列 满足 ，求前 项和n,12n4.设 4710310()2()nf N ，则 ()f等于（ ）A. 817n B. (8)n C. 3287D. 4281)7n2错位相减法求和：如： ., 21的 和求等 比等 差 nnn babaa例：1求和 2113nSxx2.求和： nnaa323.设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ，nnb1ab3521（
32、）求 ， 的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 531abnannS3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。18常见拆项： 1)(1nn )12(1)2(nn)2()2()()()(!1!nn )!1(!)1(niniinC11数列 是等差数列，数列 的前 项和na1na例：1.数列 n的前 项和为 nS，若 ()，则 5S等于（ B ）A1 B 56 C 1 D 302.已知数列 的通项公式为 ，求前 项的和；na()nan3.已知数列 的通项公式为 ，求前 项的和n 1n4.已知数列 的通项公式为 ，设 ，求 nana2132421n nTaa nT5求 。)
33、(,314231*Nn6已知 ，数列 是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令 ，求,0an )(lgNnabn数列 的前 项和 。nbnS4倒序相加法求和19例：1. 求 SCnCnn363122.求证： nnnn 2)1()(.5210 3设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，nadda0求和： nnCCS101综合练习：1.设数列 满足 且na0111nna（1）求 的通项公式n（2）设 记 ，证明：,1abnnnkbS11nS2.等比数列 的各项均为正数，且 ，na13221a6239a（1）求数列 的通项公式（2）设 ，求数列 的前 n 项和naanb33log.log21b2
34、03.已知等差数列 满足 , .na021086a(1)求数列 的通项公式及 nS（2）求数列 的前 n 项和21n4.已知两个等比数列 ， ，满足 ， ， ，nab)0(1a11ab2233ab（1）若 求数列 的通项公式,（2）若数列 唯一，求 的值n5.设数列 满足 ，na211213nna（1）求数列 的通项公式（2）令 ，求数列 的前 n 项和nbbnS6.已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+ an)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列 an的通项；
35、（3） 记 bn= n，求 bn数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ 132T=1.217.已知等差数列 满足： ， 的前 n 项和na26,7753anS（1）求 及nS（2）令 （ ） ，求数列 前 n 项和12nabNbT8已知数列 中， 前 和na，31n1)(21naS求证：数列 是等差数列求数列 的通项公式n设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，1nanTMTnn求 的最小值，若不存在，试说明理由。M9.数列 满足 =8， （ ） ，na1 0214 nnaa， 且 N（）求数列 的通项公式；（）设 ，是否存在最大的整数 m，使得任意的 n 均有nnnn bbSNab21*)()2(，总成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由3mSn
