1、7 导数在经济分析中的应用,一(补充) 导数在经济分析中的应用,导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微分)在经济中的一些简单的应用.,1.边际分析与弹性分析,边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性分析.,(本段内容可参见微积分教程西南财大出版社),定义 经济学中,把函数(x)的导函数 f (x) 称为(x)的边际函数. 在点 x0 的值 f (x0) 称为(x)在 x0 处的边际值(或变化率、变化速度等).,在经济学中, 通常取x =1, 就认为x达到很小(再小无意义).故有,
2、(1)边际函数,例 某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的函数为,求 (1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本.,实际问题中, 略去近似二字, 就得(x)在 x0 处的边际值f (x0) 的经济意义:,即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时,函数(x)的增量.,(3)当日产量为75件时的边际成本,(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量,解 (1)日产量75件时的总成本为C(75)=7956.25(元),
3、平均成本 =106.08(元/件);,例 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.,边际成本的经济意义: C(75)=97.5说明当产量x=75件时, 再增加1件产品的成本为97.5元.,解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x) =,边际利润函数为,(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是,其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤,则总利润无增加. 当日产量为30
4、0公斤时,再增加1公斤,则总利润减少1元.,(2)弹性,弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量.,定义 若函数y =(x)在点 x0(0) 的某邻域内有定义, 且 f(x0)0 ,则称x和y分别是x和y在点x0处的绝对增量,并称,分别为自变量x与(x)在点x0 处的相对增量.,由弹性定义可知若 y = (x) 在点 x0 处可导.则它在 x0 处的弹性为,(3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.,例 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的函数关系为,(a是常数), 求,(1)需求弹性函数
5、(通常记作 ). (2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.,易知: 任何需求函数对价格之弹性 ,均满足,在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(p0)或降价(p0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.,(1) 若 (称为高弹性)时,则R与p异.此时降价(p 0)将使收益减少;,(2)若 (称为低弹性)时, 则R与p 同号.此时,降价(p 0)将使收益增加;,从而有结论:,(3)若 (称为单位弹性)时,则R0 .此时,无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响.,由此对前例而言: 当p = 4时, (低弹性), 此时降价使收益减少;提价使
6、收益增加;,当 p = 4.35 时, (单位弹性),此时,降价、提价对 收益没有明显的影响;,当 p = 5 时, (高弹性), 此时降价使收益增加;提价使收益减少.,例 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为1.4.若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商品的需求量会降低多少?,解 设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为 Q=Q2660,思考: 用类似方法,对供给函数、成本函数等常用经济函数进行弹性分析,以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等.,且,2 函数最值在经济分析中的应用,在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等.这些问题
7、都可归结为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用.,(1)平均成本最小,例 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为,求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出其最小平均成本和相应的边际成本.,(2)最大利润,设总成本函数为C(x),总收益函数为R(x), 其中x为产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为,假设产量为x0时,利润达到最大,则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,L(x)必定满足:,可见,当产量水平 x=x0 使得边际收益等于边际成本时,可获得最大利润.,L(x) = R(x) C(x),例 某商家销售某种商品的价格满
8、足关系p = 70.2x(万元/吨), 且x为销售量(单位:吨),商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元),(1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量;,(2) t 为何值时,政府税收总额最大.,解 (1)当该商品的销售量为x时, 商品销售总收入为,设政府征的总税额为T,则有T = t x,且利润函数为,(2)由(1)的结果知,政府税收总额为,显然,当 t = 2时,政府税收总额最大.但须指出的是:,为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润,就应使,即t 满足限制0 t 4,显然t = 2并未超出t 的限制范围.,例 某家银行,准备新设某种定期
9、存款业务.假设存款量与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为16%, 那么存款利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益?,*(3)最佳存款利息,解 设存款利率为x,存款总额为M,则由M与x成正比,得,M = k x ( k 是正常数 ),若贷款总额为M, 则银行的贷款收益为 0.16 M = 0.16 k x,而这笔贷款M要付给存户的利息为 xM=kx2,从而银行的投资纯收益为,故当存款利率为8%时,可创最高投资纯收益.,解 设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批数为x,则批 量为 个,且,*(4)最佳批量和批数,例 某厂年需某种零件 8000个,需分期分批外购,然后均匀投入使用(此时平均库
10、存量为批量的一半).若每次定货的手续费为40元, 每个零件的库存费为4元. 试求最经济的定货批量和进货批数.,因而当进货的批数为20批,定货批量为400个时,每年的库存费和定货的手续费最少最经济.,企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的,但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费.因此确定最适当的库存量是很重要的.,*(5)最优决策时间,准备知识: 设 A0 为初始本金(称现值), r为年利率, 按连续 复利计算,t 年末的本利和记作 At (称总收入).则当年结算m次时,就有,从而有连续复利公式,欲求At 的现在值A0的问题称为贴现(率)问题. 则一年结算m次,t 年末的贴现净额为,与此相反,经济学中把已知未来值为At ,贴现率也为r.,按连续复利计算, 得 t 年末的贴现净额为(也称为贴现公式),例 某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t=0)就出售, 售价为R0 (元).如果窖藏起来待日按陈酒价格出售(假设不计储藏费),那么未来总收入就是时间t 的函数 假设资金的贴现率为 r,并以连续复利计息,为使总收入的现值最大,应在何年出售此酒?,解 设这批酒窖藏 t 年整,售出总收入的现值为L,如r = 0.10,则 t = 25,即此酒商应将此酒窖藏25年.可见,利率(贴现率)越高窖藏期越短.,则按照贴现公式得,补充练习见课程主页,
