1、- 1 -湖南省岳阳县第一中学 2019 届高三数学上学期期中试题 理满分：150 分 时间：120 分钟，1. 选择题：（每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ，2Mx|0，则 =（ ）Ny|1,RNA. B. |2x|12C. D. x|2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）i()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3阅读右面的程序框图，则输出的 k的值为（ ） A4 B5 C6 D.74.已知命题 命题 则( )p:xR,2lgx,2q:R,x0,A.命题 是真命题 B.命题 是真命题 qpC.命题 是假命题 D.命题 是假命题()()5.函数 在 上的单调递增
2、区间是（ ）xysin232,A. B. C. D. 和5,5,352,3,26.已知 ，则 的最小值是 ( )19x0,y,xy且xyA.4 B.12 C.16 D.247.若 ，则 ( )3tan42cosinA. B. C. D.6258516258.函数 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A,B 分别ycs(x)0,)为最高点与最低点,且两点间的距离为 ，则该函数的一条对称轴为( )A. B. C. D.21x2- 2 -9.观察 , , 由归纳推理可得：若定义在 R 上的函2/(x)4/3()x/(cos)inx.数 满足 ，记 为 的导函数，则 =（ ）ffgfg()A. B.
3、C. D.()()()10.已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 距离为ORA,BCOABC， , ,则球 的表面积为( )1R2AB2120A. B. C. D.6913649311.某几何体的三视图如图所示，则该集合体中，面积最大的侧面的面积是（ ）A. B. C. D.2562312. 在数列 中， ，若数列 满足 na1n10,a5(n2)N,n2)nb，则数列 的最大项为（ ）n18b()bA.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.第 8 项二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知点 P(x,y)在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z=x+y
4、 的最大值是 2xy014.设 ， 是夹角为 60的单位向量， ，则 = 1e2 12OPe3OP15.数列 满足： ,且 是递增数列，nann6(3a),7(nN,a01)且na则实数 的取值范围为 .16. 对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 是曲线yf(x)000f(x)0(x,f)的“优美点” ，已知 若曲线 存在“优美点” ，则实数 的取f(x) 2,kf(k值范围为 三解答题（17-21 题每题 12 分，选做题 10 分，共 70 分）- 3 -17设数列 的前 项和为 ， 且 ，数列 为等差数列，且公nanS1a3n12S3nb差 ，d0123b5(1).求数列 的通项公式；n
5、a(2).若 成等比数列，求数列 的前 项和312,b3 nbnT18.在 中， 分别是内角 所对的边，且满足 。ABCa,cA,BCcosB2ab0C(1).求角 的值；(2).若 ， 边上的中线 ，求 的面积b2D319. 设二次函数 2()fxabc在区间 2,上的最大值、最小值分别是 ;集合,Mm|()Axf（1）若 ,2，且 (0)2f，求 和 的值；Mm（2）若 ，且 1a，记 g，求 ()ga的最小值20.如图，在 中， , , 分别是 的中点，RtABC90B3DEAB,C的延长线交 于 。现将 沿 折起，折成二面角，连接EFACF(1).求证：平面 平面 ；D(2).当 时，
6、求二面角 大小的余弦值- 4 -21.已知函数 ， 。alnxf()g()mx(1).求函数 的单调区间；(2).当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；a0f(x)(3).当 时，求证：当 时， .11x11()f()2)ee选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐21yC:x4标系，曲线 是圆心极坐标为 ,半径为 1 的圆。2C(3)(1).求曲线 的参数方程和 的直角坐标方程；12(2).设 M , N 分别为曲线 ，
7、上的动点，求| MN | 的取值范围1C23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 。f(x)|21|x2|（1）求不等式 的解集；0（2）若关于 x 的不等式 有解，求实数 m 的取值范围|m|f(3)|x5|- 5 -参考答案：1-6.CDAAAC 7-12.ACDDBB T8.解析:函数 为奇函数,所以, ， 该函数的部分图象如图所表示,A、B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为,所以,所以 ， ，所以函数的表达式为显然 是它的一条对称轴方程.所以 C 选项是正确的T11.解析:由三视图可知，几何体的直观图如图所示。平面 平面 ，四棱锥 的高为 ，四边形 是边长为 的正方形，所以 ，
8、12=， ，所以面积最大的侧面的面积为 。故本题正确答案为 B。- 6 -T12:解析：二。填空题 13. 4 14. 15. 16.19(2,3)(,2)T16：3解答题17、解：（1）由 321nSa，得 )2(321nSan- 7 -相减得： )(211nnSa ，即 nna21，则31n当 时， 9312，312a数列 na是等比数列，nn（2） 231321,5bb， 5由题意)()3(a，而93,12aa设 dbdb5,5321 ， )5)(64d， 082，得 或 10（舍去）故nndnbTn 22)(3)1(1 T18.19. （本题满分 12 分）设二次函数 2()fxabc
9、在区间 2,上的最大值、最小值- 8 -分别是 ;集合 |()Axf （1）若 ,2A，且 (0)2f，求 和 的值；,Mm Mm（2）若 1，且 a，记 gMm，求 ()ga的最小值解：（1）由条件得 (),2),(0)fff得 1,bc， 2()fx= 1x,-3 分-()4,()Mfmf. 5 分(2)有条件得 20axbc有两个相等实根，从而 21,()4abcac，得1,bc. 则 2()(1)fxax.-8 分对称轴 1,2x， ()9,()4Mfamfa， 1()9,4ga()a 又g在 1,上单调递增，-10 分min13()()84g12 分20、 （I）证明：在 ,RtAB
10、CDACDB中 为 的 中 点 得 ，30,又 得 是 正 三 角 形又 E 是 CD 的中点，得 AFCD。 折起后，AECD，EFCD，又 AEEF=E，AE 平面 AED，EF 平面 AEF，故 CD平面 AEF，又 CD 平面 CDB，故平面 AEF平面 CBD。（II）方法一：解：过点 A 作 AHEF，垂足 H 落在 FE 的延长线上。因为 CD平面 AEF，所以 CDAH，所以 AH平面 CBD。以 E 为原点，EF 所在直线为 x 轴，ED 所在直线为 y 轴，过 E 与 AH 平行的直线为 z 轴建立如图空间直角坐标系数。- 9 -由（I）可知AEF 即为所求二面角的平面角，
11、设为 ，并设 AC=a，可得 33(0,),(,0)(,0)(cos,0sin).222aaaCDBA2233(cos,sin),22,0),3cos,4aaABDCBDa故即得 1. 故二项角 ACDB 大小的余弦值为 1.3方法二：解：过点 A 作 AHEF，垂足 H 落在 FE 的延长线，因为 CD平面 AEF，所以 CDAH，所以 AH平面 CBD。 连接 CH 并延长交 BD 的延长线于 G，由已知 ACBD，得 CHBD，即CGB=90，因此CEHCGD，则 ,EHCDG360,223,2AaaECGHaEA设 易 得代 入 上 式 得又故 1cos.3又AECD，EFCD，- 1
12、0 -AEF 即为所求二面角的平面角，故二项角 ACDB 大小的余弦值为 1.321.已知函数 ， 。alnxf()g()mx(1).求函数 的单调区间；(2).当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；a0f(x)(3).当 时，求证：当 时， .11x11()f()2)ee解析：（1） 的定义域为 ，则 ，由lnf()x0,/ 2alnxalnx/ 1ax0lala所以，在单调递增，在 单调递减；1a(,e)1a(e,)(2)解：a=0, ,lnxf2lnxlnxfgm令 ， ，由 ，2lu(x)/32lu()/u()0e单调递增，在 单调递减；0,e且(e,，maxln1()()2（3）.证明 等价于x)f()eex11(x)ln2e令 ， ，(1)lnpx/2xlnp令 ，则l/1()因为 x1,所以 ， 在 单调递增/x0(x),)， 在 单调递增(x)1/p(1()2p,e1f- 11 -令 ，x12eh()x1/ 2e()h()在 单调递减x/1,e0,(),(x)1,)当 x1 时， 2h()1exp2x,()f()2)e1 e且
