1、,6.4 微积分基本定理,上述结果对你有什么启发？,设有一物体在一直线上运动 时刻t时物体所在位 置为s(t) 速度为v(t)s(t) 则物体在时间间隔 a, b内 经过的路程有以下两种表示,变上限定积分,设函数f(x)在区间a, b上连续 x为区间a, b上的任意一 点 则函数f(x)在部分区间a, x上的定积分是区间a, b上的函 数 记为,定理61(变上限定积分的导数),如果函数f(x)在区间,对积分上限x的导数等于被积分,(变上限定积分),a, b上连续 则函数,函数在上限x处的值 即,x,简要证明 若x (a，b)，, p p(xDx) p(x),应用积分中值定理，有pf (x)Dx
2、，其中x在x 与xDx之间， 即当Dx0时，xx 于是由 f (x) 的连续性,取Dx,使x Dx(a，b),定理62(原函数存在定理),如果函数f(x)在区间a, b上连续 则函数,是函数f(x)在区间a, b上的一个原函数,说明,这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另 一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,定理62(原函数存在定理),如果函数f(x)在区间a, b上连续 则函数,是函数f(x)在区间a, b上的一个原函数,sin xsin u2x, sinx2xsinx2,上述过程可简化如下:,= 2xsinx2 sinx ,更一般地，,由,即可得结论.,变限积分
3、函数的求导公式：,例如,定理63(莱布尼茨公式)如果函数f(x)在区间a, b上连续 且F(x)是f(x)的一个原函 数 则,证,所以,说明,牛顿莱布尼茨公式表明 要求函数f(x)在区间a, b上的 定积分 只需求出f(x)在a, b上的一个原函数F(x) 并计算它由 端点a到端点b的改变量F(b)F(a)即可,注意,定理63(莱布尼茨公式)如果函数f(x)在区间a, b上连续 且F(x)是f(x)的一个原函数 则,定理63(莱布尼茨公式)如果函数f(x)在区间a, b上连续 且F(x)是f(x)的一个原函数 则,解,由定积分的可加性,因此 k 2k0 解得 k0 1,f (x)x1,f (x)1,令f (x)0 得x1,因为f (1)0 所以f(1)为极小值 极小值为,注:如果函数在所讨论的区间上不满足可积条件,则定理 6.3不能使用.例如,下例解法,是错的.,作业:p261 4(1)(4) 5(4)(9)(13)(16),14(2),
