1、平方差公式( 一)一、教学目标(一)知识目标1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力目标1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的推导和应用.（二）教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.三、教具准备投影片四张第一张：做一做，记作(1.7.1 A)第二张：例 1，记作(1.7.1 B)第三张：例 2，记作(1.7.1 C)第四张：练一练，记作(1.7.1 D)四、
2、教学过程.创设情景，引入新课师你能用简便方法计算下列各题吗？(1)20011999；(2)99 21生可以.在(1)中 20011999=(2000+1)(20001)=200022000+20001 1=200021 2=40000001=3999999,在(2)中9921=(1001) 21=(1001)(1001)1=100 2100 100+1 1=10000200=9800.师很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99 化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001 和 1999，一个比 2000 大 1，于是可写成
3、2000 与 1 的和，一个比 2000 小1，于是可写成 2000 与 1 的差，所以 20011999 就是 2000 与 1 这两个数的和与差的积，即(2000+1)(20001)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：2000 21 2，恰为这两个数 2000 与 1 的平方差.即(2000+1)(20001)=2000 21 2.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.使 学 生 在 计 算 的 过 程 中 ， 通 过 观 察 、 归 纳 发 现 规 律 ， 并 用 自 己 的 语 言 和符 号 表 示 其 规 律师出示投影片(1.7.1
4、A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x2);(2)(1+3a)(13a);(3)(x+5y)(x5y);(4)(y+3z)(y3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？生上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.生上面四个算式每个因式都是两项.生除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x ”与“5y ”的和与差的积；算式(4) 是“y”与“3z ”这两个数的和与差的积.师我们观察出了算式的结构特点.像这
5、样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.生解：(1)(x +2)(x2)=x22x +2x4=x 24；(2)(1+3a)(13a)=13a +3a 9a2=19a 2；(3)(x+5y)(x5y)=x25xy +5xy25y 2=x225y 2；(4)(y+3z)(y3z)=y23yz +3zy9z 2=y29z 2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)生从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出
6、同样的结果.即师你还能举两个例子验证你的发现吗？生可以.例如：(1)10199=(100+1)(1001)=1002 100+1001 2=10021 2=100001=9999 ；(2)(x +y)(xy)=( x)(x )+xyxy y 2=(x) 2y 2=x2y 2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.师为什么会有这样的特点呢？生因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.师很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？生可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(ab)= a2
7、b 2其中 a,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(ab)= a2ab+ abb 2=a2b 2师同学们确实不简单 用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你 能 给 我 们 发 现 的 规 律 (a+b)(a b)=a2 b2 起 一 个 名 字 吗 ？ 能 形 象 直 观 地反 映 出 此 规 律 的 .生我们可以把(a+b)(ab)= a2b 2 叫做平方差公式 .师大家同意吗？生同意.师好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？生可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的
8、平方差.师平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(1.7.1 B)例 1(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.( 2a+b)(b 21a)C.(a+b)( a b) D.(x2y)(x+y 2)E.(ab)(ab) F.(c2d 2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(56x );(x2y)(x +2y);(m+n)(mn).生(1)中只有 B、E 、 F 能用平
9、方差公式.因为 B.( 21a+b)(b 21a)利用加法交换律可得( 21a+b)(b 21a)=(b+ a)(b 21a),表示 b 与 a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(ab)( ab),同样可利用加法交换律得(ab)(ab)=(b a)(b+a),表示b 与 a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2d 2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c 2d 2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2d 2)，表 示 c2 与 d2 这 两 个 数 和 与 差 的 积 ， 同 样 符 合 平 方 差 公 式 的 特 点 .师为什么 A、C、D 不能用平方
10、差公式呢？生A、C、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.师下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.生(5+6x)(5 6x )是 5 与 6x 这两个数的和与差的形式； (x2y)(x +2y)是x 与 2y 这两个数的和与差的形式； (m+n)(m n)是m 与 n 这两个数的和与差的形式.师很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.生(5+6x)(5 6x )=52(6x) 2=2536x 2;(x 2y)(x+2y)=x2(2y) 2=x24y 2;(m+n)(mn)=(m) 2 n2=m2n 2.师这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示
11、投影片(记作1.7.1 C)例 2利用平方差公式计算：(1)( 41xy)( 41x+y);(2)(ab+8)(ab8);(3)(m+n)(mn)+3n 2.师同 学 们 可 先 交 流 、 讨 论 ， 然 后 各 小 组 派 一 代 表 到 黑 板 上 演 示 .然 后 再派 一 位 同 学 讲 评 .生解：(1)( 41xy)( 41x+y)( 41x)与 y 的和与差的积=( 41x)2y 2利用平方差公式得( x)与 y 的平方差= 6x2y 2运算至最后结果(2)(ab+8)(ab8)ab 与 8 的和与差的积=(ab)2 82利用平方差公式得 ab 与 8 的平方差=a2b2 64
12、运算至最后结果(3)(m+n)(mn)+3n 2据运算顺序先计算 m 与 n 的和与差的积=(m2n 2)+3n2利用平方差公式=m2n 2+3n2去括号=m2+2n2合并同类项至最简结果生刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.生还需注意最后的结果必须最简.师同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.投影片(1.7.1 D)
13、1.计算：(1)(a+2)(a2);(2)(3a+2b)(3a2b);(3)(x +1)( x1);(4)(4k+3)( 4k3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b), 所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a2)=a 22 2=a24;(2)(3a+2b)(3a2b)=(3a) 2(2b) 2=9a24b 2;(3)(x +1)( x1)=(x )21 2=x21;(4)(4k+3)( 4k3)=(4k )23 2=16k29.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(ab)(a+b)= a2b 2;(a+b)(
14、a+ b)=(b+a)(ba)=b 2a 2;(a b)(a+b)=a(a+b)b(a+b)=a 2 ab abb 2=a 2 2ab b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导).课时小结师同学们有何体会和收获呢？生今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式平方差公式即(a+ b)(ab )=a2b 2.生应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.生公式中的 a、b 可以是数，也可以是代表数的整式.生有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.师同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算 992
15、1，现在想一想，能使它运算更简便吗？生可以.99 21 可以看成 99 与 1 的平方差，从右往左用平方差公式可得：9921=99 2 12=(99+1)(991)=10098=9800.师我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.课后作业课本 P30，习题 1.11，第 1 题.活动与探究有 10 位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用 x1,y1 顺次表示第1 号选手胜与负的场数，用 x2,y2 顺次表示第 2 号选手胜与负的场数， 用x10,y10 顺次表示第 10 号选手胜与负的场数 .则 10 名选手胜的场数的平方和与他们负
16、的场数的平方和相等，即x12+x22+x102=y12+y22+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加 9 局比赛，即 xi+yi=9(其中i=1、2 、3、 10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+x10=y1+y2+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.结果由题意知 xi+yi=9(i=1、2、3、10)且 x1+x2+x10=y1+y2+y10(x12+x22+x102)( y12+y22+y102)=(x12y 12)+(x22y 22)+(x102y 102)=(x1+y1)(x1y 1)+(x2+y2)(x2y 2)+(x10+y1
17、0)(x10y 10)=9(x 1y 1)+(x2y 2)+(x3y 3)+(x10y 10)=9(x 1+x2+x10)(y 1+y2+y10)=0所以，x 12+x22+x102=y12+y22+y102.五、板书设计1.7.1 平方差公式( 一)做一做解：(1)(x+2)(x 2)=x 22 x+2x4= x24;(2)(1+3a)(13a)=13a+3a9a 2=19a 2;(3)(x+5y)(x5y)=x 25xy+5xy 25y 2=x225y 2;(4)(y+3z)(y3z)=y 23yz +3zy9z 2=y29z 2.归纳、猜想规律(a+b)(ab)= a2b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.用符号运算证明(a+b)(ab)= a2ab+ abb 2=a2b 2.应用、升华例 1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)例 2.(对公式中 a、b 含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).
