1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（15）乘法公式甲内容提要1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开） ，还可以由右到左逆用（因式分解） ，还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab) 2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a 2b 2立方和（差）公式：(ab)(a 2 ab+b2)=a3b33.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+
2、c+d) 2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 二项式定理：(ab) 3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab） 5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab 4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a 3a 2b+ab2b 3)=a4b 4 (a+b)(a4a 3b+a2b2ab 3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a 4b+a3b2a 2b3+ab4b 5)=a6b 6 注意观察左
3、边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n1 a 2n2 b+a2n3 b2ab 2n2 b 2n1 )=a2nb 2n(a+b)(a2na 2n1 b+a2n2 b2ab 2n1 +b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（ab）(a n1 +an2 b+an3 b2+ab n2 +bn1 )=anb n 4. 公式的变形及其逆运算由（a+b） 2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)
4、由公式的推广可知：当 n 为正整数时anb n 能被 ab 整除, a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除,a2nb 2n 能被 a+b 及 ab 整除。学优中考网 乙例题例 1. 己知 x+y=a xy=b 求 x 2+y2 x 3+y3 x 4+y4 x 5+y5解： x 2+y2(x+y) 22xya 22bx 3+y3(x+y) 33xy（x+y）a 33abx 4+y4(x+y) 44xy（x 2+y2）6x 2y2a 44a 2b2b 2x 5+y5（x+y）(x 4x 3y+x2y2xy 3+y4)=(x+y)x 4+y4xy(x 2+y2)+x2y2=aa 44a 2b+2
5、b2b(a 22b)+b 2a 55a 3b+5ab2例 2. 求证：四个連续整数的积加上 1 的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为 a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数a 2+3a+1 是整数 证毕例 3. 求证：2 2223 111 能被 7 整除证明：2 2223 111（2 2） 1113 1114 1113 111根据 a 2n+1+b2n+1 能被
6、a+b 整除， （见内容提要 4）4 1113 111 能被 43 整除2 2223 111 能被 7 整除例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为 5 的两位数的平方数”的计算规律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字 5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大 1 的数的积。如：15 2=225 幂的百位上的数字 2=12)， 252=625 (6=23)，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)丙练习 151 填空：a 2+b2=(a+b
7、)2_ (a+b) 2=(ab) 2+_ a 3+b3=(a+b)33ab(_) a 4+b4=(a2+b2)2_ ,a 5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a 5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空：(x+y)(_)=x 4y 4 (xy)(_)=x 4y 4(x+y)( _)=x 5+y5 （xy）(_)=x 5y 5 3.计算：55 2= 65 2= 75 2= 85 2= 95 2=4. 计算下列各题 ，你发现什么规律学优中考网 1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5已知 x+ x1=3, 求x 2+ 1 x 3+ x 4+ 1的值6.化简：（a+b）
8、 2(ab) 2 (a+b)(a 2ab+b 2) (a b)(a+b) 32ab(a 2 b2) (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.己知 a+b=1, 求证：a 3+b33ab=18.己知 a2=a+1，求代数式 a55a+2 的值9.求证：2 331 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是 a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。丙练习 15 参考答案：4. 十位上的数字相同，个位数的和为 10 的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大 1 的数的积10. n(n+1)+(n+1)=(n+1)211.可证明 3 个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于 0 2(ab+ac+bc)a b c学优中考网 学优 中$考 ，网
