1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（2）倍数 约数甲内容提要1 两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 B A） ，那么 A 叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3 整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。4 整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相
2、反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是 1，2，3，6。5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6 公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质） 。7 在有余数的除法中，被除数除数商数余数 若用字母表示可记作：ABQR ，当 A，B ，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除例如 23372 则 232 能被 3 整除。乙例题 例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，2 2，2 3，2 4，3，3 2，3 3，3 4，23，2 23，2 232 。解：列表如下正整数
3、正约数 个数计正整数正约数 个数计正整数正约数 个数计2 1，2 2 3 1，3 2 23 1，2，3，6422 1，2，4 3 32 1，3，3 2 3 223 1，2，3，4，6，12623 1，2，4，8 4 331，3，32，3 3 4 22321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165 341，3，3 2，33，3 4 5其规律是：设 Aa mbn (a，b 是质数,m，n 是正整数)那么合数 A 的正约数的个是（ m+1）(n+1)学优中考网 例如求 360 的正约数的个数解：分解质因数：3602 3325，360 的正约数的个数是（31）（21）（11）
4、24（个）例 2 用分解质因数的方法求 24，90 最大公约数和最小公倍数解：242 33，9023 25最大公约数是 23， 记作（24，90）6最小公倍数是 23325360， 记作24,90=360例 3 己知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N解：322，442 都能被 N 整除，N 是 30，42 的公约数（30，42）6，而 6 的正约数有 1，2，3，6经检验 1 和 2 不合题意，N 6，3例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上 1，则能同时被 10，9，8 整除,所以所求的数是
5、 10，9，8的最小公倍数减去 1。解： 10,9,8=360, 所以所求的数是 359丙练习 21， 12 的正约数有_,16 的所有约数是_2， 分解质因数 300_,300 的正约数的个数是_3， 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。4， 一个三位数能被 7，9，11 整除，这个三位数是_5， 能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是_最大三位数是_6， 己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2，则 A_7， 写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。答_8， 一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈要用同一
6、规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9， 一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶，如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2 阶，如果每步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶，如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶，如果每步跨6 阶，那么最后剩 5 阶，只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？丙练习参考答案：1. 1，2，3，4，6，12； 1，2，3，6，9，182. 2 2352； 18 3. 25； 2 2534. 693 5. 3，5，11165，1155；990 6. A3 即求 142 与 232 的公约数7. 30，60，90学优中考网 8. （135，105）15，正约数有 1，3，5，15 9. 119。2，3，4，5，660，6021119学优中考网 学优中考*，网
