1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料(56)列表法甲内容提要只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤.图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假” ， “不是假，便是真” ，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰
2、的基础上，推出满足所有条件的结论.乙例题例 1. n 为正整数，试证 2 n+7 n+2 能被 5 整除.解： n 分别取 1，2，3，4 时，观察 2 n+7 n+2 的个位数字情况如下：n 1 2 3 42n 的个位数 2 4 8 67n+2 的个位数 3 1 7 92n+7n+2 的个位数 5 5 5 5并且2 4k+n 与 2 n； 74k+(n+2) 与 7n+2 (k 为整数)的个位数字相同.n 不论取什么自然数值，2 n+7n+2 均能被 5 整除例 2. 小张步行每小时走 10 里，骑车每小时走 30 里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地
3、，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果返回时比去时少用了 40 分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.解：设甲乙两地的距离为 x 里，从乙到甲所用的时间是 y 小时. 列表如下： 根据题意，得 xyx2301解这个方程组，得 4yx答：甲乙两地的距离为 40 里，从乙返甲用了 2 小时.从甲到乙 从乙到甲S 21里 21里 x 里V V步 =10 时里 V 车 =30 时里 V 步 =10 时里 V 甲 =30 时里T y+ 3(时) 时2y 时2y学优中考网 例 3. 从 1 到 10 这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于 10，共有几种取法？试列表统计.解：有两种列表法：由
4、大数取小数或以小数取大数较大数 较 小 数 取法种数10 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 99 2，3，4，5，6，7，8， 78 3，4，5，6，7， 57 4，5，6， 36 5， 1共有 9+7+5+3+1=25 种取法.较小数 较 大 数 取法种数1 10, 12 10，9, 23 10，9，8 , 34 10，9，8，7, 45 10，9，8，7，6， 56 10，9，8，7， 47 10，9，8， 38 10，9， 29 10, 1共有 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 种取法.例 4. A，B ，C，D，E 五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.他
5、们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：A 说：我看到的是 3 白 1 红； B 说：我看到的是 4 红；C 说：我看到的是 1 白 3 红； E 说：我看到的是 4 白.已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断 A，B，C，D，E 各戴什么颜色的帽子.解：先由易到难，用否定判断法：若 E 说了真话，则共有 5 白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E 必是戴红帽；若 A 说了真话，则共有 4 白 1 红，那么 除 A、E 以外，还有 2 人说真话，就是 B、C也说真话，这也不可能，所以 A 也 戴红帽；在确定 A、E 之后，我们把 B、C 说真话或假话的情况列表
6、来判断：A B C D E设 B 说真话 红 白 红设 C 说真话 红 红 白 白 红若 B 说真话，则 C、D 都为红 (B 看到的是 4 红)，那么 C 应是说假话，但 C 说 1 白3 红却是真的，所以矛盾，B 没有说真话，应是戴红帽.最后，C 确实说了真话(看到 1 白 3 红).这时可知 D 是戴白帽 .A，B，C ，D，E 所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.学优中考网 丙练习 561. 用列表法,求不等式(2x+1)(x2)(x 3)32x+1 的符号 x2 的符号x3 的符号(2x+1)(x2)(x3) 的符号不等式(2x+10(x2)(x 3)0 的解集是_或_2. n
7、 为自然数,3 n 与 7n 的和或差必有一个能被 10 整除.试证之，并说明 n 取什么值时，其和能被 10 整除.3. 若自然数 a 不是 2 和 3 的倍数，试证 a2+23 能被 24 整除.4. 原计划在一定时间内插秧 152 亩，实际工作时，每天比原计划多插 2 亩，结果比原计划提前 3 天并超额完成 8 亩.问原计划每天插秧几亩？5. 甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做 4 件，做到两人都剩下 624 件时，乙比甲多用了 2 天.此后乙改进技术，每天比原来多做 6 件，这样两人在同一时间内定成任务.求甲、乙两人的工作效率.6. A，B，C ， D，E，F 六个球队，进
8、行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场） ，经过一段时间询问了 A，B ，C，D，E 五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数各不相同，问未查询的 F 队比赛了几场？7. 甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.8. 甲，乙，丙三同学，来自初三， 班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项.已知甲不是班的，乙不在班，在班的不参加数学组，在班的参加英语组，乙不参加语文组.问丙是哪个班？参加什么组？9. 甲，
9、乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A 说：甲第一，乙第二；B 说：甲第二，丁第四； C 说：丙第二，丁第三 .结果他们各对了一半.问甲，乙，丙，丁的正确名次是多少？10. 一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得 22 分，小林，小江各得 9 分，每项目的一，二，三名得分，分别是 5，2，1 分，并知小江得铅球第一名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？ 11. 四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的 2 种，有一种语言三个人会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道： A 会讲日语，D 却不会，但他们用同一种语言交谈； B 不会
10、讲英语，当 A、C 交谈时，他当翻译； B、C 、D 三人谈时，没有一种共同的语言； 四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.试问 A，B，C，D 四人各会讲何种语言.学优中考网 丙练习 56 参考答案：2. 列表 n=1,2,3,4(仿例 1 3. 已知可表示为 6k1 4. 8 亩5. 24，20 6. 3 场（仿例 3） 7. 甲落选，乙重点，丙一般8.丙是（1）班学生，参加语文组 9.甲，乙，丙，丁分别是 1，3，2，4.10. 王（4 个一，1 个二） ；江（1 个一，4 个三） ；林（4 个二，1 个三）.11. 用 1 表示会说，0 表示不会说 该种语言，答案列表如右：项 目 A B C D英 语 0 0 1 1法 语 0 1 1 0日 语 1 0 0 0汉 语 1 1 0 1学优中考网 学优|中?考，网
