1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（47）配方法甲内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式 a22ab+b2 写成完全平方式（ab） 2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：由 a2+b2 配上 2ab， 由 2 ab 配上 a2+b2， 由 a22ab 配上 b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： 用完全平方式来因式分解例如：把 x4+4 因式分解.原式x 4+44x 24x 2=(x2+2)24x 2这是由 a2+b2 配上 2ab. 二次根式化简常用公式： a2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简 65.我们把
2、52 写成 22 33 )(2 2)(（ ） 2.这是由 2 ab 配上 a2+b2. 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a 20， 当 a=0 时， a 2 的值为 0 是最小值.例如：求代数式 a2+2a2 的最值.a 2+2a2= a 2+2a+13=(a+1) 23当 a=1 时, a2+2a2 有最小值3. 这是由 a22ab 配上 b2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程 x2+y2+2x-4y+5=0 的解 x, y.解：方程 x2+y2+2x-4y+140.配方的可化为 （x+1
3、） 2+(y2) 2=0.要使等式成立，必须且只需 01yx.解得 2此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.学优中考网 乙例题例 1. 因式分解：a 2b2a 2+4abb 2+1.解：a 2b2a 2+4abb 2+1a 2b2+2ab+1+(a 2+2abb 2) （折项，分组）（ab+1） 2(ab) 2 （配方）（ab+1+a-b） (ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例 2. 化简下列二次根式： 347； 32； 23410.解：化简的关键是把被开方数配方 2)( 32 . 32 2 4 )
4、1( 2)3( 26. 23410 )1(410 ）（ 2 6 2 2)(=2 .例 3. 求下列代数式的最大或最小值： x 2+5x+1； 2x 26x+1 . 解：x 2+5x+1x 2+2 5x+ 45+1（x+ ） 2 1.（x+ 25） 20，其中 0 是最小值.即当 x= 时，x 2+5x+1 有最小值 4.2x 26x+1 2（x 2+3x- 1）=2(x 2+2 3x+ 9 2) 学优中考网 2（x+ 3） 2+ 12（x+ 3） 20，其中 0 是最大值，当 x= 时，2x 26x+1 有最大值 2.例 4. 解下列方程：x 4x 2+2xy+y2+1=0 ； x 2+2xy
5、+6x+2y2+4y+10=0.解：（x 42x 21）（x 2+2xy+y2）=0 . （折项，分组）(x 21) 2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 02yx 1, 或 xx 2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y 22y+1=0.(x+y+3)2+(y1) 20. （配方） 013y 14yx例 5. 已知：a, b, c, d 都是整数且 m=a2+b2, n=c 2+d2, 则 mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986 年全国初中数学联赛题）
6、解：mn=( a 2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd (分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例 6. 求方程 x 2+y2-4x+10y+16=0 的整数解解：x 2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项)（x4） 2+(y+5)225 （配方）25 折成两个整数的平方和，只能是 0 和 25；9 和 16. 9)5(16416)5(4)5(24)5(0 222 yxyxyxy 或（或或（由 得 0同理，共有 12 个解 14yx5-91yx丙练习 471
7、. 因式分解：学优中考网 x 4+x2y2+y4 ； x 2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x 4+x2-2ax-a2+1.2. 化简下列二次根式： 5091 （ 3x 5） ； 2342xx(1x2)； 17； 53； 3； ；（146 5）（3 5） ； （ x） 2 1682x.3 求下列代数式的最大或最小值：2x 2+10x+1 ； 21x2+x-1.4.已知：a 2+b24a 2b+5 . 求： 3ba的值.5.已知：a 2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值. 6.已知：实数 a, b, c 满足等式 a+b+c=0, abc=8 . 试判断
8、代数式 ba1值的正负. （1987 年全国初中数学联赛题）7.已知：x= 389 . 求： 152624xx. （1986 年全国初中数学联赛题）8.已知：a 2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c.9. 解方程：x 2-4xy+5y2-6y+9 ； x 2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； 5x 2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整数解：（2x-y2） 2(x+y+2) 2=5；x 2-6xy+y2+10y+25=0.丙练习 47 参考答案：1. （xy3） 2 2. 8， 0.5x， 32 ， 210， 2 3， 103 5， 72x （x3）学优中考网 3. 当 x= 25时，有最小值 23 x=1 时，有最大值 214. a=2, b=1 代数式值是 325. 13 6.负数。由（a+b+c） 2=0 得出 ab+ac+bc04. 值为 5。 先化简已知为 4 ，代入分母值为 2， 可知 x28x+13=0分子可化为（x 2+2x+1）(x 28x+13)+10 105. 配方（ab） 2+(bc) 2=06. 36y 1,yx 1yx7. 2321x （x-3） 2+(y+5)2=9 学优中考网 学优 中考，网
