1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（54）整数解甲内容提要1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.2. 求整数解常用的性质、法则：.数的运.算性质：整数整数整数， 整数整数整数，整数整数整数， 整数的自然数次幂整数,整数（这个整数的约数）整数.整系数的方程 ax 2+bx+c=0(a0)只有当 b24ac 是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理 x1+x2 与 x1x1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.运用二元一次方程求整数解（见第 10 讲）. .用列举法.3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设
2、有整数解之后，把整数按某一模m 分类，逐一推出矛盾.乙例题例 1.求下列方程的正整数解： xy+x+y=5； x 2+y21991.解：先写成关于 x 的方程，（y+1）x=5y.x= 1615yy.当 y+1 取 6 的约数1,2,3,6 时，x 的值是整数. 1 y0， 且 x0, y0, 11, x+11. yx 或 213yx 解得 2；或 .学优中考网 要等式成立，x, y 必须是一奇一偶，设 x=2a, y=2b1 (a,b 都是正整数).左边 x2+y2（2a） 2+(2b1) 2=4(a2+a+b2b)+1.a, b 不论取什么整数值，左边的数都是除以 4 余 1，而右边 19
3、91 是除以 4 余 3.等式永远不能成立. 原方程没有正整数解.例 2. 一个正整数加上 38 或 129 都是完全平方数，求这个正整数. 若把正整数改为整数呢？解：设这个正整数为 x，根据题意，得)2(1938bxa(a,b 都是正整数).(2)(1)：b 2a 2=91 . (b+a)(ba)=91， 91=191=713 且 b+aba. 19ab 或 713ab 解得， 465； 或 10.由方程(1)知 a 38, 由方程(2)知 b 129.只有 465ba适合. x=a 238=1987. 答(略).如果改为整数 ，则两组的解都适合. 另一个解是：x=a 238=938=29.
4、例 3. 一个自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数，则这个自然数的最小值是多少？ (1989 年泉州市初二数学双基赛题)解法一：用列举法与 3 的和是 5 的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，与 3 的差是 6 的倍数的自然数有：3，9， 15，22，27， 符合条件的 最小自然数是 27.解法二：设所求自然数为 x,那么 bxa635 (a,b 都是自然数). x= 5a3=6b+3, a= 515 , a, b 都是自然数， b+1 是 5 的倍数， 其最小值是 b=4. x=6b+3=27. 学优中考网 例 4. m 取什么整数值时，方程 mx2+(
5、m22)x(m+2)=0 有整数解？解：设方程两个整数根为 x1, x2. 那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理：mx2212x 1 和 x2 都是整数，m 是 2 的约数， 即 m=1，2.这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.当 m=1 时，原方程为 x2x 3=0, 没有整数解；当 m=1 时，原方程为 x2x1=0, 没有实数根；当 m=2 或 m=2 时，方程有整数解 . 答：当 m=2 或 m=2 时，方程 mx2+(m22)x (m+2)=0 有整数解.例 5. 已知：n 是正整数，且 9n2+5n+26 的值是两个相邻正整数的积 .求：n 的值. （1985
6、年上海市初中数学竞赛题）解：设 9n2+5n+26m(m+1)， m 为正整数. m 2+m(9n 2+5n)=26. （ 把左边化为积的形式，先配方再分解因式）（m+ 1） 2(3n+ 65)2=26+ 36541, (m+ +3n+ )( m+ 3n )=25 9，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m 9n1)=230.230123021155461023，且 3m+9n3m 9n 1932304nm； 或 219354nm；或 56； 或 03.解方程组，正整数的值只有 n=2 或 n=6.例 6. 已知：方程 x22(m+1)x+m 2=0 有两个整数根，且 12m60.求：m 的
7、整数值.解：要使一元二次方程有整数解，必须为完全平方数.2（m+1 ） 24m 2=8m+4=4(2m+1).即当 2m+1 是完全平方数时，方程有整数解.12m60, 252m+1121， 完全平方数.2m+1=36, 49, 64, 81, 100. 则 2m=35, 48, 63, 80, 99. m 的整数值，只有 24，40.检验：当 m=24 时，有整数解 32，18； 当 m=40 时，有整数解 50，32.学优中考网 答：当 m=24 或 m=40 时， 方程 x22(m+1)x+m 2=0 有两个整数根.丙练习 541. 已知 x2y 2=1991, 则 x, y 的正整数解
8、是.2. 方程 x2+(y+1)2=5 的整数解有.3. 已知 x1, x 2, x 3, , x 2000 都是正整数，写出下列方程的一组整数解：x 1+x2=x1x2 的一组解为：. x 1+x2+x3=x1x2x3 的一组解为：.x 1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 的一组解为：. x 1+x2+x3+x2000=x1x2x3x2000 的一组解为：.4. 已知 100x(x+1) 150，则整数 x=_.5. 已知 x2002300, 则正整数 x=_.6. 如果 x,y 都是正整数，且 0x10，0y9，那么 它们的和、差的范围是：0x+y_, _xy_.7. 已知 DxCBA
9、且 A+B+C+D=100，则 x=.(1988 年泉州市初二数学双基赛题)8. 已知被除数是 100 以内的自然数，在和( )填上适当的数，使如下带余除法的运算成立：654(1990 年泉州市初二数学双基赛题)9. 已知 a+2=b2=c2=d 2 且 a+b+c+d=1989. 则 a=_，b=_ ，c=_，d=_.(1989 年泉州市初二数学双基赛题 )10. 若 a,b,c,d 是互不相等的整数，且 abcd=4. 则 a+b+c+d=_.11. 求下列方程的整数解： 2x+2y=xy ； 2x+10y=1991.12. m 取什么整数值时，下列方程有正整数解？ (x1)=4x ； m
10、 2x218mx+72=x 26x(1988 年泉州市初二数学双基赛题)13. 已知长方形的长和宽都是整数值，且周长与面积的数值相同，求这个长方形的长和宽.14. 方程(xa)(x8)1=0 有两个整数根，求 a 的值.(1990 年全国初中数学联赛题)15. 已知 a,b 是自然数且互质，试问关于 x 的方程：x 2abx+ 1(a+b)=0 是否有自然数解(两解都是自然数)如果有，把它求出来，如果没有请给予证明 .(1990 年泉州市初二数学双基赛题 )16. 两个自然数的和比积小 1000，其中一个是完全平方数，求这两个自然数.丙练习 54 参考答案：1.x=994, y=993 2.有 8 个解. 32，2 1，2，3 1，1，2，4 x 1=x2=x3= x1998=1， x1999=2，x 2000=2000学优中考网 4. 10 11，11，12 5. 1，2 6. 0x+y19 , 9xy10 x+y=1,2,318, xy=8,7,0,1,97. 9 8. 60,14,11,9 9. 440,444,221,884 10. 0 11 6 个解12 个解 120，2，2，42 13. 6 和 3；4 和 414. 8 15. 有自然数 1 和 2（先求出 a=1,b=3） 16. 144 和 8学优中考网 学优。中考，网
