1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料(23)递推公式甲内容提要1 先看一例：a 1=b,a2= 1a,a3= 2 a n+1= n2这里a 1,a2,a3an,an+1是对应于正整数1，2，3n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项） ，这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。例如: 若 a 1=10, 则a 2= 0= 5,a3=10,a4= 1,a5=10 2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a 1和n表示a n的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式a n+1=an+5改为用a 1 和n来表示a 2=a1+5, a 3=a2+5=(a1+5)+5=a1+25，
2、 a4=a3+5=(a1+25)+5=a1+35 a n=a1+(n-1)5如果 已知a 1=10, 求a 20,显然代入这一公式方便。A 20=10+195=1053.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。乙例题例1.已知：a 1=2, an=an-1+2(n-1) (n2) 求：a 100的值解：a 100=a99+299=a98+298+299=a1+21+22+23+298+299=2+2 29)(=9902又解：a 2=a1+21a3=a2+2 2=(a1+21)+22a4=a3+23=(a1+21+22)+23a100=a1+21+22+23+299=2+
3、2(1+2+3+99)=9902例2.已知：x 1=97, 对于自然数n1, xn= 1 求：x 1x2x3x8的值解：由递推公式x n= 1x可知 x1x2=x1 =2 x3x4=x3 =4 x5x6=x5 =6 x7x8=x7 =8 x 1x2x3x8=246 8=384例3.已知：100个自然数a 1,a2,a3a100满足等式(n-2)an（n1）a n-1+1=0 (2n100)并且a 100=199求：a 1a 2a 3a 100学优中考网 分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：a n-1= 1)2(na可由a 100求a 99,a98解：a 99= 91)210(0= 9
4、18=197a98= 8= 7=195用同样方法求得a 97=193, a96=191,a1=1a 1a 2a 3 a 100135195197199 20)9(10 4丙练习231. 已知 a 1=1, a2=1, 且a n+2=an+1+an 那么 a 3=_,a4=_,a5=_,a6=_,a7=_2. 若a 1=2m, an= 1 则a 2=_,a3=_,a4=_,a5=_,a1989a1990=_3. n为正整数，有递推公式a n+1=an3，试用a 1,n表示第n项a n4. 已知 a 1=10, an+1=2an 求a 105. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n,
5、求 f(10)6. 设x+y=a 1, x2+y2=a2, x n+yn=an, xy=6, 则a 2=a122b,有递推公式a n+1=a1anba n-1, 试按本公式求出：用a,b表示a 3, a4, a5, a6根据下列数据的特点，写出递推公式： a1=1, a2=4, a3=7, a4=10an=,a n+1 a1=1, a2=3, a3=6, a4=10an=,a n+17. n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。8. 平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。丙练习23参考答案：1. 2，3，5，8，13 2. m1，2m, ，2m, 23. an=a1-3(n-1) 4. a10=291051205 f(10)=1+2+3+ 945 6. a 3=a13-3a1b, a6=a16-6a14b+9a12b2-2b37. a n=a n-1+3, an+1=a1+3 a n=a n-1+n , a n-1=a n+(n+1)8. f(n+1)=f(n)+n, 9.同上， f(1)=0,f(2)=1,f(3)=f(2)+2,f(4)=f(3)+3,f(n)=f(n-1)+n-1学优中考网 学优 +中 考 ，网
