1、- 1 -山西省忻州二中 2019 届高三数学上学期期中试题 文注意事项:1答题前，考生务必用 0.5mm 黑色中性笔，将学校名称、姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。2请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。3满分 150 分，考试时间 120 分钟。一选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合 A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若 AB=1,则 B= ( )A.1,-3 B.1,0C.1,3 D.1,52.设 xR,若“2-x0”是“ 1”的 ( )1xA.充分而不
2、必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知命题 p:xR,x 2-x+10;命题 q:若 a2ab12.等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则a n前 6 项的和为 ( )A.-24 B.-3 C.3 D.8二填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=2x 3+x2,则 f(2)= .14曲线 y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .1x15设等比数列a n满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3
3、,则 a4= .16已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|= .三解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17(10 分)已知向量 a=(cosx,sinx),b=(3,- ),x0,.3- 3 -(1)若 ab,求 x 的值.(2)记 f(x)=ab,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.18(12 分)已知函数 f =sin2x-cos2x-2 sinxcosx .x3R(1)求 f 的值.23(2)求 f 的最小正周期及单调递增区间.x19.(12 分)已知等差数列a
4、 n的前 n 项和为 Sn,等比数列b n的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若 a3+b3=5,求b n的通项公式.(2)若 T3=21,求 S3.20.(12 分) 已知等差数列a n和等比数列b n满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求a n的通项公式.(2)求和:b 1+b3+b5+b2n-1.21.(12 分）在ABC 中,A=60,c= a.37(1)求 sinC 的值.(2)若 a=7,求ABC 的面积.22.(12 分)已知函数 f(x)=excosx-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程.(2)
5、求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.0,2- 4 -学校 姓名 班级 考号 20182019 学年第一学期期中试题高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案一选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合 A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若 AB=1,则 B= ( )A.1,-3 B.1,0C.1,3 D.1,5【命题意图】本题考查集合的运算,意在考查学生的二次方程的根以及运算求解能力.【解析】选 C.由 AB=1得 1B,所以 m=3,B=1,3.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,
6、必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.2.设 xR,若“2-x0”是“ 1”的 ( )1xA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题是对充要关系的考查.【解析】选 B.2-x0,则 x2, 1,则-1x-11,0x2,据此可知:“2-x0”是“1x1”的必要不充分条件.1x3.已知命题 p:xR,x 2-x+10;命题 q:若 a20,排除 A.故选 C.sin21co【反思总结】函数图象问题首先关注定义域,从图象的对称性分析函数的奇偶性,排除部分选项,从图象
7、的最高点、最低点分析函数的最值、极值,同时利用特值进行检验.7.已知 sin-cos= ,则 sin 2= ( )43A.- B.- C. D.79292979【命题意图】本题考查倍角公式和学生的运算能力.【解析】选 A.sin 2=2sincos= =- .2(sinco)1【反思总结】本题方法较多可让学生通过该题总结正弦、余弦及正切间的化简技巧.8.记 Sn为等差数列a n的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则a n的公差为 ( )A.1 B.2 C.4 D.8【命题意图】主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式.【解析】选 C.设公差为 d,则 a4+a5=a1+3d+
8、a1+4d=24,S6=6a1+ d=48,联立得521274658da- 6 -3-得 d=24,6d=24,所以 d=4.2159.已知曲线 C1:y=cosx,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 ( )23xA.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长6度,得到曲线 C2B.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位12长度,得到曲线 C2C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位1 6长度,得到曲线 C2D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,
9、纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位2 12长度,得到曲线 C2【命题意图】主要考查三角函数图象的平移变换问题.【解析】选 D.C1:y=cosx,C2:y=sin ,3x首先把曲线 C1,C2统一为同一三角函数名,可将 C1:y=cosx 用诱导公式处理.y=cosx=cos =sin .横坐标变换需将 =1 变成 =2,x2x即 y=sin 2y=sin =sin2 y=sinx4x23x=sin2 .3注意 的系数,在左右平移时需将 =2 提到括号外面,这时 x+ 平移至 x+ ,43根据“左加右减”原则,“x+ ”到“x+ ”需加上 ,即再向左平移 .431212【反思总结】对于
10、三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住 sin=cos ,cos=sin ;另外,在进行图象变换时,提倡先2平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.- 7 -10.已知 cosx= ,则 cos 2x= ( )34A.- B. C.- D. 111818【命题意图】本题考查二倍角公式的应用和三角恒等变换,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.【解析】选 D.cos2x=2cos2x-1=2 -1= .2341811.设非零向量 a,b 满足 = ,则 ( )abA.ab B. = C.ab D
11、. ab【命题意图】平面向量的模以及向量的数量积的运算,意在考查学生的转化能力和运算能力.【解析】选 A.由|a+b|=|a-b|平方得(a) 2+2ab+(b)2=(a)2-2ab+(b)2,即 ab=0,则 ab.12.等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则a n前 6 项的和为 ( )A.-24 B.-3 C.3 D.8【命题意图】本题考查等差、等比数列的性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选 A.设等差数列的公差为 d,d0, =a2a6(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-232d,(d0),所以 d=-2,所以 S6=61+ (-2
12、)=-24.5二填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=2x 3+x2,则 f(2)= .【命题意图】函数的奇偶性以及函数值,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12.答案:1214曲线 y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .1x【命题意图】本题主要考查导数的几何意义,利用导数求曲线的切线方程问题.【解析】设 y=f(x),则 f(x)=2x- ,所以 f(1)=2-1=1,21x所以在(1,2)处的切线方程为
13、y-2=1(x-1),即 y=x+1.答案:y=x+115设等比数列a n满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4= .【命题意图】本题考查等比数列的基本概念,考查学生对基本概念的掌握.【解析】由题意可得: 解得:21q12q则 a4=a1q3=-8.答案:-816已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|= .【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算,突出考查向量求模的方法.- 8 -【解析】 =(a+2b)22ab= +2 cos60+222b=22+222 +22=4+4+4=12,1所以 = =2 .ab3答案:2 3三解答题(本大题共 6
14、小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17(10 分)已知向量 a=(cosx,sinx),b=(3,- ),x0,.3(1)若 ab,求 x 的值.(2)记 f(x)=ab,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.【命题意图】本题主要考查向量的共线、数量积的概念及运算,考查同角三角函数关系、诱导公式、两角和(差)的三角函数、三角函数的图象与性质,考查运算求解能力.【解析】(1)因为 ab,所以 3sinx=- cosx,又 cosx0,所以 tanx=- ,因为 x0,33所以 x= .56(2)f =3cosx- sinx=-
15、2 sin .因为 x0,所以 x- ,所x33x32以- sin 1,所以-2 f 3,当 x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最大值,23为 3;当 x- = ,即 x= 时,f(x)取得最小值为-2 .35619(12 分)已知函数 f =sin2x-cos2x-2 sinxcosx .x3xR(1)求 f 的值.23(2)求 f 的最小正周期及单调递增区间.x【命题意图】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.【解析】(1)因为 sin = ,cos =- ,23231- 9 -所以 f = - -2 23221312即 f =2,(2)由 cos2x
16、=cos2x-sin2x 与 sin2x=2sinxcosx 得f =-cos2x- sin2x=-2sin ,x36所以 f 的最小正周期是 ,由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ,2632解得 +kx +k,kZ,63所以 f 的单调递增区间是 ,kZ.x,3k19.(12 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,等比数列b n的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若 a3+b3=5,求b n的通项公式.(2)若 T3=21,求 S3.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和,通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力
17、.【解析】(1)设a n的公差为 d,bn的公比为 q,则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由 a2+b2=2 得,d+q=3,(1)由 a3+b3=5 得,2d+q 2=6 联立和解得 (舍去 ),0dq12dq因此b n的通项公式 bn=2n-1.(2)由 b1=1,T3=21 得 q2+q-20=0.解得 q=-5 或 q=4,当 q=-5 时,由得 d=8,则 S3=21;当 q=4 时,由得 d=-1,则 S3=-6.20.(12 分) 已知等差数列a n和等比数列b n满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求a n的通项公式.(2)求和:b 1+b
18、3+b5+b2n-1.【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.【解析】(1)设等差数列a n公差为 d,因为 a2+a4=2a3=10,所以 a3=5=1+2d,所以 d=2.所以an=2n-1.(2)设b n的公比为 q,b2b4=a5qq3=9,所以 q2=3,- 10 -所以b 2n-1是以 b1=1 为首项,q=q 2=3 为公比的等比数列,所以 b1+b3+b5+b2n-1= =13n.23n【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减
19、,还是并项求和,裂项相消.23.(12 分）在ABC 中,A=60,c= a.37(1)求 sinC 的值.(2)若 a=7,求ABC 的面积.【命题意图】本题主要考查解三角形的内容,意在培养学生的计算能力与分析图形的能力.【解析】(1)根据正弦定理 = ,sinAaCc所以 sinC= = sin60= = .sica3737214(2)当 a=7 时,c= a=3,因为 sinC= ,ca,314所以 cosC= = ,2sinC3在ABC 中,sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= + = ,3214347所以 SABC = acsinB=
20、73 =6 .123【答题模版】1.看到边角混合等式,想到利用正弦、余弦定理将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式.2.看到边 a,b,c 的平方关系想到余弦定理的变形形式.24.(12 分)已知函数 f(x)=excosx-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程.(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.0,2【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计算能力与分析解决问题的转化能力.【解析】(1)f(x)=e xcosx-x,所以 f(0)=1,- 11 -所以 f(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以 f(0)=0,所以 y=f(x)在(0, f(0)处的切线过点(0,1),k=0,所以切线方程为 y=1.(2)f(x)=ex(cosx-sinx)-1,设 f(x)=g(x),所以 g(x)=-2sinxex0,所以 g(x)在 上单调递减,所以 g(x)g(0)=0,所以 f(x)020,所以 f(x)在 上单调递减,02所以 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f =- .2
