1、弧 度 制【知识梳理】1角度制与弧度制(1)角度制定义：用度作为单位来度量角的单位制1 度的角：周角的 作为一个单位1360(2)弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角2任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.3角的弧度数的计算如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| | .lr4弧度与角度的互化角度化弧度 弧度化角度3602 rad 2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1801 rad 57.30(180)5
2、. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表度 0 30 45 60 90 120 135 150 180弧度 0 6 4 3 2 23 34 56 6扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 R，弧长为 l， 为其圆心角，则 为度数 为弧度数扇形的弧长lR180 lR扇形的面积 SR2360S lR R212 12【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例 1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4) .29解 (1)7272 ；180 25(2)300300 ；180 53(3)22 ；(180) (360)(4) 40.29 (29 180)【类题通法】角度与弧度互
3、化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数 度数180 180【对点训练】已知 1570， 2750， 1 ， 2 .35 3(1)将 1， 2 用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将 1， 2 用角度表示出来，并在720 0范围内，找出与它们有相同终边的所有角解：(1) 1570 ，570180 1962750 .750180 256 1 22 ，196 562 22 ，256 6 1 是第二象限角， 2 是第一象限角(2)1 180108，35 35设 k360108(k Z)，则由720 0 ，得720 k3601080(k
4、Z )，解得 k2 或 k1，在720 0范围内，与 1 有相同终边的角是 612和252；2 18060 ，3 13设 k 36060( kZ)，则由720 k360600(kZ )，得 k1 或 k0，在720 0范围内，与 2 有相同终边的角是 60和420.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例 2】 (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形的面积为 _(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？(1)解析 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad，依据弧长公式可得l2r ，从而扇形的周长
5、为 l2r4r8，解得 r2，则 l4.故扇形的面积 S rl 244 cm 2.12 12答案 4 cm 2(2)解 设扇形的弧长为 l，由题意得 2R2Rl，所以 l2( 1)R，所以扇形的圆心角是 2(1)，lR扇形的面积是 Rl(1)R 2.12【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S lr |r2(其中 l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，12 12 是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组) 求解注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面
6、积公式的前提是 为弧度【对点训练】已知扇形的周长是 30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为 (02)，半径为 r，面积为 S，弧长为 l，则 l2r30，故l302r ，从而 S lr (302r)rr 215r 2 ，所以，当 r 12 12 (r 152) 2254( 15 1r15) 152cm 时， 2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.2254题型三、用弧度制表示角的集合【例 3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界) 的角的集合解 (1) 如图 ，330角的终边与30角的终边相同，将30化为弧度，即
7、，6而 75 75 ，180 512终边落在阴影部分内(不包括边界 )的角的集合为Error!.(2)如图，30 ，210 ，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线 AB6 76上的角为 k ，kZ，6又终边在 y 轴上的角为 k ，kZ ，2从而终边落在阴影部分内(不包括边界 )的角的集合为Error! .【类题通法】用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算注意单位要统一(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围( 如， 02)内的角，再加上2k，k Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为 x|xk，
8、kZ；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为Error!.在进行区间的合并时，一定要做到准确无误【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线 yx 上的角的集合解：在 0 到 2 范围内，终边落在直线 yx 上的角有两个，即 和 ，所有与 终34 74 34边相同的角构成的集合为 S1Error!，所有与 终边相同的角构成的集合为74S2Error!Error!，终边落在直线 yx 上的角的集合为 SS 1S 2 n，nZ.34【练习反馈】1下列命题中，错误的是( )A “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的1360 12C1 rad 的角
9、比 1的角要大D用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选 D 根据角度制和弧度制的定义可以知道， A、 B 是正确的；1 rad 的角是 (180)57.30 ，故 C 也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故 D 错误2角 的终边落在区间 内，则角 所在的象限是 ( )( 3， 52)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 C 3 的终边在 x 轴的非正半轴上， 的终边在 y 轴的非正半轴上，故角52 为第三象限角3135 化为弧度为 _， 化为角度为_113解析：135 135 ；180 34 180660.113 113答案： 660344把角690化为 2k (02 ，kZ)的形式为_解析：法一：690 .(690180) 236 4 ，6904 .236 6 6法二：690 2360 30，则690 4 .6答案：465一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆心角的弧度数解：设扇形的半径为 R，弧长为 l，则 2Rl4.根据扇形面积公式 S lR，得 1 lR.12 12联立Error!解得 R1，l2， 2.lR 21
