1、第一章 检测试题(时间:90 分钟 满分:120 分)【选题明细表】知识点、方法 题号正弦定理的简单应用 1、12余弦定理的简单应用 6、11解三角形 4、13、15判断三角形的形状 2、8三角形面积的计算 3、17测量问题 10、14、18三角恒等式证明 16综合问题 5、7、9一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1.在ABC 中,ABC=411,则 abc 等于( A )(A) 11 (B)211(C) 12 (D)311解析:由 ABC=411 知 A=120,B=30,C=30,所以 abc=sin Asin Bsin C= = 11,故选 A.2.(201
2、4 菏泽高二期末)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,ccos A=b,则ABC( C )(A)一定是锐角三角形(B)一定是钝角三角形(C)一定是直角三角形(D)一定是斜三角形解析:ccos A=b,c =b,b 2+c2-a2=2b2,a 2+b2=c2.故选 C.3.在ABC 中,a=6,B=30,C=120,则ABC 的面积为( C )(A)9 (B)8 (C)9 (D)18解析:由条件知 A=180-30-120=30,b=a=6,S ABC =absin C=66 =9 .故选 C.4.在三角形 ABC 中,若三个内角 A、B、C 的对边分别是a、b、c,a=1
3、,c=4 ,B=45,则 sin C 的值等于( B )(A) (B) (C) (D)解析:由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B,所以 b2=1+32-214 =25,因此 b=5,由正弦定理得 = ,所以 sin C= = =,故选 B.5.已知ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A=2B,a=b,则cos B 等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:由 a=b 得 sin A=sin B,即 sin 2B=sin B,于是 2sin Bcos B=sin B,cos B=,故选 D.6.若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(
4、a+b) 2-c2=4,且C=60,则 ab 的值为( A )(A) (B)8-4(C)1 (D)解析:由已知得 a2+b2-c2+2ab=4,由于 C=60,所以 cos C= =,即 a2+b2-c2=ab,因此 ab+2ab=4,ab=,故选 A.7.(2013 泉州一中高二期中)ABC 中,下列说法正确的是( C )(A)asin A=bsin B(B)若 a2+b2c2,则ABC 为锐角三角形(C)若 AB,则 sin Asin B(D)若 sin B+sin C=sin2A,则 b+c=a2解析:对于选项 C,AB,ab,由正弦定理得 2Rsin A2Rsin B,sin Asin
5、 B.故选 C.8.在ABC 中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,则这个三角形是( D )(A)底角不等于 45的等腰三角形(B)锐角不等于 45的直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形解析:(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos Csin A,由正弦定理可得 asin B=bsin A,acos Bsin B=ccos Csin A,即 sin Asin Bcos B=sin Csin Acos C.sin A0,sin 2B=sin 2C,2B=2C
6、或 2B+2C=,B=C 或 B+C=,ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.9.(2014 山东潍坊高二质检)在三角形 ABC 中,已知三边之比abc=234,则 的值等于( B )(A)1 (B)2 (C)-2 (D)解析:由已知不妨设 a=2k,b=3k,c=4k(k0),所以 cos C= =-,于是 = =2,故选 B.10.(2013 厦门六中期中)甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( C )(A)21.5 分
7、钟 (B) 分钟(C) 分钟 (D)2.15 分钟解析:如图所示,设甲船行至 C 点,乙船行至 D 点时甲、乙两船相距最近,它们所航行的时间是 x 小时,则|CD|2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)6xcos 120=28x2-20x+100,当 x= 小时,即 分钟时,|CD| 2取最小值,即两船相距最近.故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)11.在ABC 中,已知 b2+c2=bc+a2,则角 A 的大小为 . 解析:由已知得 b2+c2-a2=bc,于是 cos A= = =,故 A=60.答案:6012.在ABC 中,若 b=5,B=
8、,sin A=,则 a= . 解析:由正弦定理有 = ,即 = ,得 a= .答案:13.(2014 宁德质检)锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边.若 2asin B= b,b+c=5,bc=6,则 a= . 解析:2asin B= b,2sin Asin B= sin B,sin A= ,ABC 是锐角三角形,cos A=,bc=6,b+c=5,b=2,c=3 或 b=3,c=2.a 2=b2+c2-2bccos A=22+32-26=7.a= .答案:14.(2013 衡水中学高二第一次调研)一船以每小时 15 km 的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔
9、B 在北偏东 60,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15,这时船与灯塔距离为 km. 解析:如图所示,由题意可知,AC=154=60(km),CAB=30,ACB=105,ABC=180-30-105=45.在ABC 中,由正弦定理知= ,BC= = =30 (km).答案:30三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)15.(本小题满分 12 分)(2014 珠海高二期末)在ABC 中,若 a=1,b= ,(1)若 B=45,求角 A;(2)若 c= ,求角 C.解:(1)由正弦定理得 = ,sin A= = =,A=30.(2)cos C= = =- ,C=13
10、5.16.(本小题满分 12 分)在ABC 中,求证:acos 2+ccos2 =(a+b+c).证明:法一 左边=a +c= +acos C+ccos A= +(a +c )= += =右边.等式成立.法二 由正弦定理得a=2Rsin A,c=2Rsin C,代入等式左边,左边=2Rsin A +2Rsin C=R(sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C)=R(sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C)=Rsin A+sin C+sin(A+C)=R(sin A+sin C+sin B)= =右边,等式成立.17.(本小题满分 12 分)
11、(2014 新余高二期末)在ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=.(1)若ABC 的面积等于 ,求 a,b;(2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC 的面积.解:(1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为ABC 的面积等于 ,所以 absin C= ,得 ab=4.联立方程组解得 a=2,b=2.(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即 sin Bcos A=2sin Acos A,当 cos A=0 时,A=,B=,a= ,b= ,当 cos A0 时,得 sin B=2s
12、in A,由正弦定理得 b=2a,联立方程组解得 a= ,b= .所以ABC 的面积 S=absin C= .18.(本小题满分 14 分)如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙,刚好用 2小时追上. (1)求渔船甲的速度;(2)求 sin 的值.解:(1)依题意,BAC=120,AB=12 海里,AC=102=20(海里),BCA=.在ABC 中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220cos 120=784.
