1、各地解析分类汇编:立体几何1.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】设 ,ab是平面 内两条不同的直线，l是平面 外的一条直线，则“ la， l”是“ l”的( )A.充要条件 B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】若直线 相交，则能推出 ，若直线 不相交，则不能推出 ，所以“,abl,abll， l”是“ l”的必要不充分条件，选 C.2 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为 的正三角形，则其全面积是 （ ）22A B C D 814(13)43
2、【答案】B【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为 2，侧面斜高为 2，所以底面积为，侧面积为 ，所以表面积为 ，选 B.24284813 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】四面体 中，BCDA则四面体外接球的表面积为（ ）,5,BDACBDAA B C D 43368【答案】A【解析】分别取 AB,CD 的中点 E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心 在 上，可以GEF证明 为 中点，GEF， ,所以 ，球半径2541D2,147DEF172EFG，所以外接球的表面积为 ，选 A.17342DG2344DG4 【 山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试
3、 】设直线 m、n 和平面 ,下列四、个命题中，正确的是 （ ）A. 若 B. 若nm/,/则 /,/, 则nnmC. 若 D. 若则, /,m则【答案】D【解析】因为选项 A 中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项 B 中，只有 Mm,n 相交时成立，选项 C 中，只有 m 垂直于交线时成立，故选 D5 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （文） 】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；直角三角形；圆；椭圆.其中正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相
4、同，所以俯视图不可能是圆，选 C.6 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文 】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A16 B4 C8 D2【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为 1，则底面的外接圆半径为 1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 R 为1，则三棱锥的外接球表面积 ，选 B.24SR7 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】设 是直线，a， 是两个不同的平面lA. 若 a， ，则 a B
5、. 若 a， ，则 alC. 若 a， a，则 D. 若 a, a，则 ll ll【答案】B【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项 B 正确。8 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A. B. C. D. 72483024【答案】C【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为 3，圆锥的底面半径为 3，高为 4，那么根据体积公式可得组合体的体积为 ，选 C.09 【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A B C D32201
6、20132015【答案】B【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台 ， ，所以表面积为 ，选=416S下上 ，2+43=1S侧 （ ） 4+1623=01B.10 【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试文】如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线 B1D 与平面A1BC1 相交于点 E，则点 E 为A 1BC1 的A垂心 B内心 C外心 D重心【答案】D【解析】如图 ， ,所以 ,且1EBFD:2:1BEF为 的中点，选 D.F1AC11 【 山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （文） 】对于直线 m，n 和平面，有如下四个命题：,（1）若 （2）
7、若/,mn则 ,/mn则（3）若 （4）若/则 /则其中真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】 （1）错误。 （2）当 时，则不成立。 （3）不正确。当 有 ，n,/mn又 所以有 ，所以只有（4）正确。选 A.,n12 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图 1 所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为正视图1 1 1 侧视图俯视图A1 B C D3323【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为 ，是边长为 2 的PAC正三角形， ，且 ，底面 为等腰直角三角形，PDABC平 面 3PD
8、ABC，所以体积为 ，故选 B2ABC1332V13 【天津市新华中学 2012 届高 三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A. 24 B. 12 C. 8 D. 4【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为 4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为 ，所以三角形的底面积为 ，32, 132所以三棱柱的体积为 ，所以该几何体的体积为 ， 选 B.34626214 【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试 数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是【答案】D【解析】因
9、为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项 D 的正视图和和侧视图不同。15 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学（文） 】设 为两个平面， 为两条直线，且 ，有如下两个命题：若 ；若 . 那么（ ）A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题C、都是真命题 D、都是假命题【答案】D【解析】若 ，则 或 异面，所以错误。同理也错误，所以选 D./lm,l16 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（三）文】 正三棱锥 内接于球ABCD，且底面边长为 ，侧棱长为 2，则球 的表面积为 O3O【答案】 16【解析】 如图，设三棱锥 的外接球球心为 O，半径为ABCDr，BC= C
10、D=BD= ，AB= AC=AD=2， ，M 为正 的中心，则3平 面 DM=1，AM= ，OA= OD=r，所以 ，解得 ，所22(3)1r23r以 21643Sr17 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （文） 】在正三棱锥 S-ABC 中，侧面SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直，且侧棱 ，则正三棱锥 外接球的表面23SASABC积为_.【答案】 36【解析】因为侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长 ，设外接球的半23=6径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 .R
11、263， 49R18 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 【答案】10【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6, ，10 显然面积的最大值为 10该四面体四62个面的面积中最大的是 PAC，面积为 10。 BCAP4235419 【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试 数学文】如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 EF=1，则四面体 AEFB 的体积 V 等于 。【答案】 21【解析】连结 BD 交 AC 与 O ,则 OA 为四面体 AEFB 的高且 ,2
12、O,所以 。12EFBS1231AEFBV20 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学（文） 】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 12 cm，深 2 cm 的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm . 【答案】10，400【解析】设球的半径为 r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知， ，解得 r =10.所以表面积为 。24104r21 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学（文） 】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_. 【答案】 【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为 。31122a22 【北京四中 201
13、3 届高三上学期期中测验数学（文） 】 （本小题满分 13 分）如图，正三棱柱 中，D 是 BC 的中点，（）求证： ；（）求证： ；（）求三棱锥 的体积.【答案】 （）证明：ABCA 1B1C1 是正三棱柱，BB 1平面 ABC，BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影在正ABC 中，D 是 BC 的中点，ADBD，根据三垂线定理得，ADB 1D（）解：连接 A1B，设 A1BAB 1 = E，连接 DE.AA 1=AB 四边形 A1ABB1 是正方形，E 是 A1B 的中点，又 D 是 BC 的中点，DE A1C. 7 分DE 平面 AB1D，A 1C 平面 AB1D，A 1C平面 AB
14、1D. 9 分 （） 13 分23 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA 底面 ABCD，AB AD，点 E 在线段 AD 上，且 CEAB。（1 ） 求证：CE 平面 PAD；（11 ）若 PA=AB=1，AD=3 ，CD= ，CDA =45，求四棱锥 P-ABCD 的体积.2【答案】(1)证明 :因为 PA平面 ABCD,CE 平面 ABCD,所以 PACE,因为 ABAD,CEAB,所以 CEAD,又 PA AD=A,所以 CE 平面 PAD5 分(2)解: 由(1)可知 CEAD,在直角三角形 EC
15、D 中,DE=CD ,CE=CD .cos451sin451又因为 AB=CE=1,ABCE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以= = ,又 PA平面 ABCD,PA=1,所ABCDEBCDSS12AED2以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 .12 分51336BCSP24 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 （本小题满分 14 分）如图，正三棱柱 中， 为1A12,A1CB的中点， 为 边上的动点.PB（）当点 为 的中点时，证明 DP/平面 ；1（）若 ，求三棱锥 的体积.3ACDPA1 B1CBPAC1 B1 D【答案】25 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三
16、次月考文】 （本小题满分 12 分）如图，在长方体，中， ，点 在棱 AB 上移动.1ABCD1,2ADBE（1 ）证明： ； 1E（2 ）当 为 的中点时，求点 到面 的距离. E1ACD【答案】解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，D1,DAC,xyz设 ，则 2 分AEx11(,0)(,)(,0)(),(02)Ex（1 ） 6 分1 1,(,0)1,)0,.DAExDAE 因 为 所 以（2 ）因为 为 的中点，则 ，从而 ，B(,1(,)(1,20)AC，设平面 的法向量为 ，则1(,0)A1AC(,)nabc1,nD也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为2
17、abc2abc(2,)EAC12 分1|1.3DEnh26 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】本小题满分 12 分）如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直 ， ，ABCABEABCDB， 2 EADCB（1）求证： ；AE（2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）线段 上是否存在点 ，使 / 平面 ？若存在，求出 ；若不存在，说EAFECFBDEFA明理由 【答案】解：（1）证明：取 中点 ，连结 ， BO因为 ，所以 EAB因为四边形 为直角梯形， ， ，CDBCDA2A所以四边形 为正方形，所以 O所以 平面 所以 4 分E（2）解法 1：因为平面
18、 平面 ，且B所以 BC平面 AE则 即为直线 与平面 所成的角CB设 BC=a，则 AB=2a， ，所以a2a3CE则直角三角形 CBE 中， 1sinB即直线 与平面 所成角的正弦值为 8 分ECAB3解法 2：因为平面 平面 ，且 ，CDABEO所以 平面 ，所以 O由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 EDB, xyz因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，AED1OB则 (0,)(1,0)(,)(1,0)(,)(0,1)BC所以 ，平面 的一个法向量为 ,ECE,O设直线 与平面 所成的角为 ，A所以 ， |3sin|cos,CDO即直线 与平面 所成角的正弦值为 8 分
19、ECAB3（3）解：存在点 ，且 时，有 / 平面 F13EACFBD证明如下：由 ， ，所以 ),0()32,01( )32,04(设平面 的法向量为 ，则有BDv,cba.FBv所以 取 ，得 0,42.3abz1)2,(因为 ，且 平面 ，所以 / 平面 ECv0)2,(,1ECFBDECFBD即点 满足 时，有 / 平面 12 分F3A27 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】(本小题满分 12 分)如图，几何体是四棱锥， 为正三角形， .EBCDBD,CBE(1)求证： ；E(2)若 ， M 为线段 AE 的中点，求证： 平面 .120 DMBC【答案】(I)设
20、 中点为 O，连接 OC， OE，则由 知， ，2 分BDBCDOB又已知 ，所以 平面 OCE. 分CE所以 ，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以 .分BD(II)取 AB 中点 N，连接 ，,MD M 是 AE 的中点， ，分BE 是等边三角形， .ABDA由 BCD120知， CBD30，所以 ABC60+3090，即 ，BCA所以 ND BC，1分所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC. 12 分28 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 （本题满分 12 分）如图所示，四边形 ABCD 为正方形，QA平面 ABCD，PDQA，QAAB PD.12(1)
21、证明：PQ平面 DCQ；(2)求棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积的比值【答案】(1)证明：由条件知 PDAQ 为直角梯形因为 QA平面 ABCD，所以平面 PDAQ平面 ABCD，交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形，DCAD，所以 DC平面 PDAQ，可得 PQDC.在直角梯形 PDAQ 中可得 DQPQ PD，则 PQQD.22所以 PQ平面 DCQ.(2)解：设 ABa.由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高， 所以棱锥 QABCD 的体积 V1 a3.13由(1)知 PQ为棱锥 PDCQ 的高，而 PQ a，DCQ 的面积为 a2，222所以棱锥 PDCQ 的
22、体积 V2 a3. 13故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积的比值为 1:1.29 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （文） 】 （本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 平面 ABCD，AB/DC，PAD 是等边三角形，AD已知 BD=2AD=8， .245ABC（1）设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD平面 PAD；（2）求四棱锥 PABCD 的体积. 【答案】30 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（三）文】 （本小题满分 12 分）如图 5，已知三棱锥 中， ， 为 的中点， 为 的中点，且 为正ABP
23、CBMADPBPMB三角形ABMCDP（1）求证： 平面 ；BCAP（2）若 ， ，求点 到平面 的距离310BDCM【答案】 （）证明：如图 4，PMB 为正三角形，且 D 为 PB 的中点，MD PB 又M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点，MD/AP， APPB又已知 APPC，AP平面 PBC，APBC，又AC BC， ，ACPBC 平面 APC， （6 分）（）解：记点 B到平面 MDC 的距离为 h，则有 .MBCDCVAB =10，MB=PB =5，又 BC=3， ， ，BCP4 1324BDCPBCS 又 ， 53M152MDBDCVS在 中， ， 52又 ， ，C153
24、8MDCS，1 12,33BMDVhhh即点 B 到平面 MDC 的距离为 （12 分）12531 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （文） 】 （本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A 1C=A1B，B 1C1/BC，图 4.12BC（I）求证：面 ；1ABC面（II）求证：AB 1/面 A1C1C.【答案】32 【 天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】如图， 为等边三角形，PAD为矩形，平面 平面 ， ， 、 、 分别为 、 、ABCDPABCD2AEFGBC中点， 。P2（1 ）求
25、 与平面 所成角；PBACD（2 ）求证： ；EFG（3 ）求多面体 的体积。【答案】解：（1）取 中点 ，连 、MPF平面 平面 ，交线为PADBCAD正 平面即为所求。 PBM623 6B45（2 ） 正 PAD 是 中点GEM/平面 平面 ，交线为PADBCADF平面 平面GPME平面 AGFEFA（3 ） 23131AGPAGPFPSMV3266A6C32GEFA/33 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】 （本小题满分 12 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， 、 分别为 、 的中1ABCDEF1DB点CDBFED 1 C1B1AA1（）求证： ；（）求三棱锥 的体积1EFCB1【答案】解: （）以 D 为原点建立如图空间直角坐标系，则)0,2(),(),0(,1(1E从而 ,CBF因为 )(1)(1 所以 ECDBFED 1 C1B1AA1（） 1233111 FSVEBEFBCEFB
