1、第 16 章几何变换16.1 对称和平移1611设 是边长为 2 的正三角形 的边 的中点 是边 上的任意一点，MABCPBC求 的最小值PA C AMPAMB解析 作正三角形 关于 的对称图形 是 的对称点，故 是 的中ABCC MAB点 ，如图所示，则PM.A连结 ，易知 ，所以 9022437A所以， 的最小值是 P71612已知 中， 试在 的边 、 上分别找出一点 、ABC 6BC AP，使 最小QB解析 作 关于直线 的对称点 ， 关于直线 的对称点 ，连 与 、 分 BCA别交于点 、 ，则 、 即为所求，如图所示PQ C AMPAMB事实上，对于 、 上的任意点 ， ，ABCP
2、QBQPQC评注 因为 ，所以所作线段 必与线段 、 相交60ABABC1613求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍解析 如图所示，设在直角三角形 中， 是斜边上的高， 是它的任一内接三ACDPQR角形BDPARCQSVETGFU将 以 为对称轴反射为 ，此时 反射为 ，再将RtABC tBE PQR SV以 为对称轴反射为 ，此时 反射为 延长 交tE RtC SV TU DC于 FG易知 ，所以 ，即 ，且 是两平行线 与 之间的距离AB D2GDABEF所以.PQRPQVT1614在 内取一点 使 ， 设 ，C M10AB30M80C求 .C CA HBME解析 本题中
3、 为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC的高 与直线 交于点 由对称性知， HME，30E所以 ，2从而 ，因为 ，又40ABA，1402CE=所以 ，F ME于是 ，所以 180472A1615在 中， 是高， 在边 上，已知 ， ，BC AHBC45A2BH，求 的面积3CH解析 作 的关于 的对称图形 ，作 的关于 的对称图 M 形 分别延长 和 ，它们相交于 ，如图所示NA MNLAN MBHCL易知 ，且90MN，2ABCH所以，四边形 是正方形L设正方形 的边长为 ，则a， 3a2在直角三角形 中，由勾股定理知BC2L25解方程，得 ，即 所以6a6AH
4、12ABCS1616如图，凸四边形 的四个顶点分别在边长为 的正方形 的四条PQRSaABCD边上，求证： 的周长不小于 PQRS2a解析 作正方形 关于 的轴对称图形，得到正方形 ，再作正方形 关ABCD1AB1于 的轴对称图形，得到正方形 ，再作正方形 关于 的轴对称图形，1C21ABCD2CD21得到正方形 ，而 、 、 、 四点的对应点如图所示231PQRS ASDPBP 1A1S1D1R3C3Q3B3P3A2P2B2Q2RCR1S2Q显然， ， ，故2Aa23PA，3P所以四边形 的周长PQRS1233PAa即四边形 的周长不小于 QRS2a1617如图， 和 是两个不全等的等腰直角
5、三角形，ABC DE，现固定 而将 绕点 在平面上旋转，试证：不论90ABCDE A旋转到什么位置，线段 上必存在点 使 力等腰直角三角形 MBD BADECMA解析 如图，设 为等腰直角三角形，下面证明点 在线段 上BM E作 关于 的对称点 ，则 ADABA因为 ，902E所以 45，45又 所以 又是 关于 的对称点AM同理 也是 关于 的对称点，因此CB， ，EDAD又因 ，90所以 18即 在 上（且为 的中点） E1618如图，矩形 中， ， ，若在 、 上各取一点 、BC201BCABM，使 的值最小，试求出这个最小值NBM DE CGFANPMBQ解析 作 关于直线 的对称线段
6、 ，即 、 关于 对称，作 关于 的对称ABCEACNAC点 ，则 在 上，且有 于 ， 于 FEBQFP由对称变换可知， .MNBF欲使 最小，必须 共线，所以 最小值为点 到 的距离 .FBMNBAEBG在 中， ， ，所以 ，则 RtABC 201C45ACQ285Q在 中， 又 ，在tQ 2220458AB0中， ，则 从而 的最小值为12ABESEG 16BEABMN161619凸四边形 中， ， 求证：ABCDCDC.D DCEPA B解析将 沿 翻折，点 落在点 因为 ， ，所以BCD CPADCABCD必定在 内部 延长线交 于点 ，则PA E.EFPB16110设 表示凸四边
7、形 的面积，证明 SA1()2S BA CDDl解析如图，作点 关于 的垂直平分线 的对称点 ，显然 与 关于 成DClAD C l轴对称图形所以 ABCS，D 11sinsin22BCD()AB.CA16111在矩形 内取一点 ，使 ，试求BM180BCAD的值MDMA DMB C解析 如图将 沿 平移至 ，显然 ， 所以，BMC AD ADBCAMD由已知条件 ，即 、 、 、 四点共圆，从而180DA9A16112设 是平行四边形 内一点，使得 ，PBCP证明： BA A DP PB C解析 如图，把 平移至 ，则 ，及 ， ，APDADBACDPB所以 CB又已知 ，故 ，从而 、 、
8、 、 四点共圆于是CP ，D又 ，所以 PA16113（1）如图（a）所示，在梯形 中， .已知： ，ABDBC 3ADBC，3C，求梯形 的面积6BDABCD（2）如图（b） ，在梯形 中， 是 的中点， 于 设ABC MNAB， ，求梯形 的面积AaMNh解析（1）将 平移到 ，连结 ，则 ， 所以E6EDEC BCA DE(a)ADEN MCFB(b)3AEDBC22AEC因此 90因为 ，ABDES 所以 1322AC梯 形（2）将 平移至 ，如图（b）所示， 过点 由于 ，所以FEFMDF MCABCDABESMNah梯 形 梯 形评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法16
9、114如图，在四边形 中， ， 、 分别是 及 中点，ABCDBAB的F延长线与 及 的延长线分别交于点 、 求证： ABHGAHFG GHDABFBCE (a)解析 1 如图（a） ，将线段 平移至 则四边形 为平行四边形由于 是CAAC F中AB点，故 、 、 共线CFB现在 是 的中位线，故 ，所以ED EFDB， HG又显然 故 AA于是 GHECDMAFB (b)解析 2 如图（b） ，连结 ，取 中点为 ，连结 、 ，则 、 分别为CEFMEF、CDA的中位线，所以 ， 故ABC 12MEDA 12FBC，MEFH，G且 ，故 ，F所以 AB16115如图， ， 、 、 均垂直于
10、，垂足为 、 、A1P1B1AB1P， ， ， ， 求 的值1B716P202P ACDA 1 P1 B1EP B解析 将 平移到 ， 在线段 上，延长 交 于 ，将 平移到 ， 在1P1C11AD1A1EB上1B因为 、 、 均垂直于 ，所以四边形 和 都是矩形A11AB1CP1BE由 ， ，得 又 ，所以 ，16CP17 DA， 所以 ， ， 90DPCRt t P1CA于是 ，AB，1 15E1E在 中， ， ，也即RtBD 12AB213DBE3AP16116在正三角形 的三条边上，有三条相等的线段 、 、 证明：C12A12B12C直线 、 、 所成的三角形中，三条线段 、 、 与包
11、含它们的边21BC2121AB21BC成比例CA BC1C2C3 A1A2A3B1B23解析 如图，将 平移到 ，连结 、 、 因为四边形 为平行四边12C2BP1APB212BCP形，所以 ， ，故 为正三角形， 这60BPA21 12A样所得四边形 为平行四边形， 12 11因此，由 、 、 这三条线段构成的三角形与 全等，而 C21B12APC 12PC，从而命题得证3AB16117如图所示， 且共点于 ，2ACO，60OO求证： 3ABCASS QARB PCA OBC解析 将 沿 方向平移 长的距离，得 ，将 沿 方向平移AOC AQR BOC 长的距离，得 由于BBPR， ，2PQ
12、60所以 又因 ，2ROC故 与 重合，且 、 、 三点共线在正三角形 中，PRQPOQAOBCOASS AOBPRAQSS 234Q16118如图，由平行四边形的顶点 引它的高 和 ，已知 ，BKBHKa，求点 到 的垂心的距离BDbBKH B PCHDKA aH1解析 令 表示 的垂心1HBK考虑到 ， ，有 同理有 ，因而四边形 ，DH1 1HK 1KDH为平行四边形，平移 到 位置，显然 为 上一点，所求线段 即 ，1 P PBCBP已与 位于同一直角三角形中由于四边形 为矩形，有 ，于是KHKD221BPba16119已知 的面积为 ， 、 、 分别为 、 、 上的点，且ABC SE
13、FBA，试求以 、 、 为边的三角形的面积 1DCEFAn S GCE DBFA解析 如图，过点 作 平行且等于 连 、 、 ，则四边形 为平行四AGCGEAFCG边形， CB又 ，1GFEBn所以 ， ，因此 . ABB又因 ，1=DCn所以 E于是四边形 也为平行四边形，从而 ，即 为 、 、 所构成GBGDEAG DBECF的三角形，它的面积为 S在梯形 中，A，11GABCSGCABn梯 形所以 ，Sn梯 形而 ，1ABDSC所以 ，Gn因此 211SS2n16.2 旋转1621对于边长为 1 的正 内任一点 求证： ABC P3PABC AC BPCP解析 把 绕点 旋转 到 则 为
14、正三角形，且ABC 60B ， ，PP因而 3A1622设 是等边三角形 内一点， ， ， 试求此等边三CP4A5PB角形的边长 BA CPP543解析 如图，把 绕点 逆时针旋转 ，到达 的位置，显然，CBP 60A， ， 60P35A在 中， ，所以 故AP 222345PAP 90P.9061CC在 中，由余弦定理，得 22cosA334+251所以，等边三角形 的边长是 ABC25131623设 是正三角形 内一点，已知 ， ，求以线段O15AOB125C、 、 为边构成的三角形的各角A BDOCA解析 以 为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，旋转至 ，如图所示BB 60DB连结 由于
15、 ， ，所以 是正三角形，故 OD60DB O又 ，故 是以 、 、 为边构成的一个三角形CAC O因此 ，12560B，从而 180650OCD所以，以线段 、 、 为边构成的三角形的各角分别为 、 和 AOC65601624如图，两个正方形 与 （顶点按顺时针方向排列） ，求证：这两ABDKLM个正方形的中心以及线段 、 的中点是某正方形的顶点 CDQKLRMSAPB解析 设 、 分别是正方形 、 的中心， 、 分别是线段 、 的中PRCDKLQSDKBM点，先证 是以 为斜边的等腰直角三角形S连结 、 ，将 绕 逆时针旋转 ，则 、 分别到 、 位置，所以BKDMA 90D， 因为 、
16、分别是 、 的中点，所以 同理 所以 ，PSBDM12PSDM 12SRBK PSR且 即 是以 为斜边的等腰直角三角形R PR同理可证 也是以 为斜边的等腰直角三角形故 、 、 、 是正方形的四个Q Q顶点1625正方形 内有一点 ， ， ，求正方形 的ABCDP1A3B7PDABCD面积 A DB CPP解析 将 绕 点旋转 ，得 连结 易知 ，PA 90PAD 90PA1PA于是 2在 中， 所以 是直角三角形，从而D 2279 135由余弦定理得 22APPAD8141626在正方形 的边 和 上分别取点 和 ，使得 ，在线段BCAMKAK上取点 ，使得 证明： 是直角DMPPKP A
17、MBLKPD C解析 如图所示，在边 上取点 ，使 ，连结 、 、 BCLBAKLAP由于 ，所以 、 、 、 四点共圆，作四边形 的外接圆和矩形PDKAPD的外接圆，因为这两个外接圆均过 、 、 三点，从而这两圆是相同的，所以KCL90易知 .RtM tL故以正方形 的中心为旋转中心，将 以逆对针方向旋转 ，则 旋转BRtLBA 90LBA至 ，从而 又 ，故 、 、 三点共线，所以 MAD LPDMAPL90APM1627已知凸六边形 中， ， ， ，123456A1234561求证：135246（1） ；246123456AAS（2） ， ，2441A2646 A 1A2A3A4A5A6
18、A4解析 （1）将 绕点 旋转，使 与 重合，得到 ，如图所示连234A 22321214A结 46A因为 135246()()A，720所以 135A2460因此 114123A .35360从而 ，146A 546 ，2 2所以 246246123456AAASS（2）由（1）可知 64624126324，2A所以 62421A同理可证： ， 64A26461A评注 本题通过旋转，把 、 、 拼成一个与 全等的新三3 5 12 246A角形 .也可以采取向 内部旋转的方法，把 、 、246A 246 34 5放在 的内部，使之恰好“拼成” 1 26A4 246A1628如图所示， 、 是边
19、长为 1 的正方形 内两点，使得PQBCD，求 的值45PAQCABCQADSS A DQPB CA DQPQ BQ C (a) (b)解析 将 绕点 顺时针旋转 至 ， 绕点 逆时针旋转 至AQD 90A D 90，连结 、 ，则CB P ， A C P又 ，所以 、 、 三点共线，且90AQB，BQD故 ，PBQS 所以 APCADS PQBQS 1122ACD正 方 形1629在 中， ，点 不与 重合求证 . 120A PAPABCA解析 如图，将 绕点 旋转至 的位置，使 与 共线于是PB B CBB A CPBP又因为 ，所以120PABCACA18060故在等腰 中，因此 ，PB
20、P 从而 .PABCA评注 此题似乎依赖于图形， 在 内，事实上 在其他位置照样成立，方法完全一C样16210凸四边形 中，点 、 分别是 、 的中点，且DMNBCD（ 是常数） ，求证： AMNa2ABCDaS四 边 形 EDNC FMBA解析 如图所示，将 绕点 旋转 得 ，将 绕点 旋转 得B 180FC ADN 180，连 ，于是ECN F360CDFAA，18DB所以 与凸四边形 的边不相交故BFCMENAEFABCANSSS 四 边 形 四 边 形12EF2a16211如图，设 为锐角 内一点，且 ，DABC ABDC，求 的值90ADBCADB CE解析 将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，连结 、 BD90DE因为 ， ，所以ACACB90ACB，又 ，90则 E由 ，得 ，于是 ，所以 ，BDEE ACDBE从而 所以，ACDEACBCB，则 ，即 B EDADE在 中， ， ，故 Rt 22B
