1、学优中考网 DAEB P CF初中数学竞赛辅导资料(63)动态几何的定值甲内容提要1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类. 例如： 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上； 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出
2、现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题. 例如：半径等于 RA 的圆 A 与半径为 RB (RBRA) 的定圆 B 内切.那么： 动点 A 有规律地变化，形成了一条轨迹：以 B 为圆心，以 RBR A 的长为半径的圆. 而 A，B 两点的距离，却始终保持不变：AB=R BR A.若另有一个半径为 RC 的圆 C 与圆 B 外切，则 A，C 两点的距离变化有一定的范围：RB+RC(R BR A)ACR B+RC+(RBR A).即 RC+RAAC2R B+RCR A . 所以 AC 有最大值：2R B+RC RA ； 且有最小值：R C+RA.3. 解答动态几何定值问题的方法
3、，一般有两种：第一种是分两步完成 ： 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.乙例题例 1. 已知：ABC 中，ABAC，点 P 是 BC 上任一点，过点 P 作 BC 的垂线分别交 AB，AC 或延长线于 E，F.求证：PEPF 有定值.分析：（探求定值）用特位定值法. 把点 P 放在 BC 中点上. 这时过点 P 的垂线与 AB，AC 的交点都是点 A，PEPF2PA，从而可确定定值是底上的高的 2 倍.因此原题可转化：求证：PAPB2AD （AD
4、为底边上的高）.证明：ADPF， BDPAE ； DPCF .学优中考网 2BDPCBDAPFE .即 2 .PEPF2AD. 把点 P 放在点 B 上. 这时 PE0，PF2AD（三角形中位线性质） ，结论与相同.还可以由 PFBC tanC，把定值定为：BCtanC.即求证 PEPFBCtanC. （证明略）同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例 2. 已知：同心圆为 O 中， AB 是大圆的直径，点 P 在小圆上求证：PA 2PB 2 有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为 R，r. 点 P 放在直径 AB 上.得 PA2PB 2（Rr）
5、2（. Rr） 22（R 2r 2）. 点 P 放在与直径 AB 垂直的另一条直径上也可得 PA2PB 2 R2r 2R 2r 22（R 2r 2）.证明： 设POA，根据余弦定理，得PA2R 2r 22RrCos ， PB 2R 2r 22RrCos(180 ).Cos(180 )Cos.PA 2PB 22（R 2r 2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出 PA，PB 与 R, r 的关系式，关键是引入参数 .例 3. 已知：ABC 中，ABAC，点 P 在中位线 MN 上，BP ，CP 的延长线分别交AC，AB 于 E，F.求证： C1BF 有定
6、值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长 a, b, c 来表示的, 为便于计算引入参数 t, 用计算法证明.证明：设 MP 为 t, 则 NP= 2at.MNBC， BFMCP， CENP.B CFPAcatPF ENMAB CFOPAPOOBABAPB学优中考网 即 at BFactatcBF12121； CEbtEtCEbt 1 1BF = catt32c 是定线段， c是定值.即 CE1F 有定值 3.例 4. 已知：在以 AB 为弦的弓形劣弧上取一点 M(不包括 A、B 两点)，以 M 为圆心作圆 M 和 AB 相切，分别过 A，B 作M 的切线，两条切线相交于
7、点 C.求证：ACB 有定值.分析： M 是ABC 的内切圆，AMB 是以定线段 AB 为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理 SinAMB= R2)，所求定值可用它来表示.证明：在ABC 中，MAB+ MBA=180 AMB，M 是ABC 的内心，CAB+CBA=2(180 AMB).ACB=180 （CAB+CBA）=180 2(180 AMB)= 2AMB180 .由正弦定理 R2ABSin， SinAMB= R2AB.弧 AB 所在圆是个定圆，弦 AB 和半径 R 都有定值，AMB 有定值.ACB 有定值 2AMB 180 .丙练习 631. 用固有的元素表示下列各题中所求的
8、定值 (不写探求过程和证明) ：.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是_.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是.正 n 边形内的任一点到各边距离的和有定值是.延长凸五边形 A1A2A3A4A5 的各边，相交得五个角：jABMCcatPF ENMAB CF学优中考网 B 1， B 2， B 3， B 4， B 5 它们的度数和是_，延长凸 n 边形 (n 5)的各边相交，得 n 个角，它们的度数和是_. (2001 年希望杯数学邀请赛初二试题).两个定圆相交于 A，B，经过点 B 任意作一条直线交 一圆于 C，交另一圆于 D，则 DC有定值是_.在以 AB 为直径的半圆内，任取一
9、点 P，AP ，BP 的延长线分别交半圆于 C，D，则 APAC+BPBD 有定值是 .AB 是定圆 O 的任意的一条弦，点 P 是劣弧 AB 上的任一点(不含 A 和 B)，PA，PB 分别交 AB 的中垂线于 E，F.则 OEOF 有定值是_.2. 已知：点 P 是O 直径 AB 上的任一点，过点 P 的弦 CD 和 AB 相交所成的锐角45 .求证：PC 2+PD2 有定值.3. 已知：点 O 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 的中点，点 P 在 BC 的延长线上，PDBA 交 BA 延长线于 D，PE AC 交 AC 的延长线于 E.求证：DOE 是定角4. 已知：点 P 是线段
10、AB 外一点，PD AB 于 D，且 PD=AB，H 是PAB 的垂心，C 是 AB 的中点 .求证：CH+DH 是定值.5. 已知：AB，CD 是O 的两条直径，点 P 是O 上任一点 (不含 A，B，C ，D). 求证：点 P 在 AB，CD 的射影之间的距离是个定值.6. 经过XOY 的平分线上的任一点 A，作一直线与 OX，OY 分别交于 P，Q 则OP，OQ 的倒数和是一个定值.7. ABC 中，AB=AC=2 ，BC 边有 100 个不同点 P1，P 2，P 100，记 mi=APi2+BpiPiC (i=1,2,3,100).则 m1+m2+m100=. (1990 年全国初中数
11、学联赛题)8 直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAAB，AB 26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点 P 和 Q，点 P 在 CD 上，由 D 向 C 以每秒 1cm 的速度移动，点 Q 在 AB 上由 B 向 A 以每秒 3cm 的速度移动.问时间 t 经过几秒时，BCPQ 为平行四边形？等腰梯形？PQ 与以 AD 为直径的圆 O 相切？相离？相交？丙练习 63 参考答案：1 腰上的高. 一边上的高或 3r3 . nr n. 180 度，(n4)180 度. 两圆半径比. AB 2 O 的半径的平方.2. 定值是 AB 平方的一半， 证 RtCOMRtOBD ， OM=DN.3. 定值是直角， 以 PA 为直径的圆经过 A，O ，E，P， D 五点， PE=AD，AOD=POE . 4. 定值是 AB 的一半，证明 仿例 3.5. 定值是O 的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例 4.6. 定值是 AosC2(xoy=2)，证明 作 AROQ 交 Dx 于 R， AR1OPQ.7. 4100.学优中考网 学优中考 ，网
