1、第十九讲 平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受下面我们来介绍一些著名的定理1梅内劳斯定理亚历山大
2、里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元 100 年，他和斯巴达的Menelaus 是两个人)曾著球面论，着重讨论球面三角形的几何性质以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理定理 一直线与ABC 的三边 AB，BC，CA 或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证 过 A，B，C 分别作直线 XZY 的垂线，设垂足分别为 Q，P，S，见图 398由AXQBXP 得同理将这三式相乘，得说明 (1)如果直线与ABC 的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论
3、应改为AXBYCZ=XBYCZA，仍然成立(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在ABC 的边 AB 和 AC 上分别取点 X，Z，在 BC 的延长线上取点 Y，如果那么 X，Y，Z 共线”梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线例 1 已知ABC 的内角B 和C 的平分线分别为 BE 和 CF，A 的外角平分线与 BC 的延长线相交于 D，求证：D，E，F 共线证如图 399 有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得 F，D，E 共线例 2(戴沙格定理) 在ABC 和ABC中，若AA，BB，CC相交于一点 S，则 AB 与 AB，BC 与 BC，AC 与AC的交点 F，D，E 共线证 如图 310
4、0，直线 FAB截SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线 ECA和 DCB分别截SAC 和SBC，得将这三式相乘得所以 D，E，F 共线 2塞瓦定理意大利数学家塞瓦(GCeva)在 1678 年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理定理 在ABC 内任取一点 P，直线 AP，BP，CP 分别与边BC，CA，AB 相交于 D，E，F，则证 如图 3101，过 B，C 分别作直线 AP 的垂线，设垂足为 H 和 K，则由于BHDCKD，所以同理可证将这三式相乘得说明 (1)如果 P 点在ABC 外，同样可证得上述结论，但 P 点不能在直线 AB，BC，CA 上，否则，定理的结论中的分母出
5、现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BDCEAF=DCEAFB，仍然成立(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在ABC 的边 BC，CA，AB 上分别取点 D，E，F，如果那么直线 AD，BE，CF 相交于同一点”证 如图 3102，设 AD 和 BE 相交于 P，作直线 CP，交直线 AB 于F，由塞瓦定理得所以 FB=FB，即 F与 F 重合，所以 AD，BE，CF 相交于同一点塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点例 3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点证 (1)如果 D，E，F 分别是ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，则由塞瓦定理的逆定理得
6、中线 AD，BE，CF 共点(2)如果 D，E，F 分别是ABC 的内角平分线 AD，BE，CF 与边BC，CA，AB 的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线 AD，BE，CF 共点(3)设 D，E，F 分别是ABC 的高 AD，BE，CF 的垂足(i)当ABC 是锐角三角形时(如图 3103)，D，E，F 分别在BC，CA，AB 上，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高 AD，BE，CF 共点(ii)当ABC 是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=cco
7、s(180-A)=-ccosA，AF=bcos(180-A)=-bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高 AD，BE，CF 共点(iii)当ABC 是直角三角形时，高 AD，BE，CF 都经过直角顶点，所以它们共点例 4 在三角形 ABC 的边上向外作正方形，A 1，B 1，C 1是正方形的边BC，CA，AB 的对边的中点，证明：直线 AA1，BB 1，CC 1相交于一点证 如图 3104设直线 AA1，BB 1，CC 1与边 BC，CA，AB 的交点分别为 A2，B 2，C 2，那么 BA2：A 2C 等于从点 B 和 C 到边 AA1的垂线的长度之比，即其中=CBA 1=
8、BCA 1同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得 AA1，BB 1，CC 1共点3斯台沃特定理定理 ABC 的边 BC 上任取一点 D，若 BD=u，DC=v，AD=t，则证 过 A 作 AEBC，E 为垂足(如图 3105)，设 DE=x，则有AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若 E 在 BC 的延长线上，则 v-x 换成 x-v)于是得消去 x 得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式(2)当 AD 是ABC 的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设 a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式(3)当 AD 是ABC 的高时，A
9、D2=b2-u2=c2-v2再由 u+v=a，解得所以若设 AD=ha，则这就是三角形的高线长公式当 D 在 BC 的延长线上时，用-v 代替 v，同样可得高线长线公式这就是三角形的面积公式伦公式例 5 如图 3106在ABC 中，cb，AD 是ABC 的角平分线，E在 BC 上，BE=CD求证：AE2-AD2=(c-b)2证 为方便起见，设 BD=u，DC=v，则 BE=v，EC=u由斯台沃特定理得所以因为 AD 是角平分线，所以于是4托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元 85165 年)是古代天文学的集大成者一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实
10、出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积证 设四边形 ABCD 有外接圆 O，AC 和 BD 相交于 P，CPD=(图3107)若四边形 ABCD 的四边都相等，则四边形 ABCD 为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立若四边不全相等，不失一般性，设BD，于是ABDEDB，从而 AD=BE又而 S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDE，所以即(ADBC+ABCD)sinEBC=ACBDsin由于=DA
11、C+ADB=DBC+EBD=EBC，所以ADBC+ABCD=ACBD说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形 ABCD 中，ABCD+ADBCACBD当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时，等号成立”由此可知，托勒密定理的逆定理也成立(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成 例 6 如图 3108过 A 的圆截平行四边形 ABCD 的边和对角线分别于 P，Q，R，求证：APAB+AQAD=ARAC证 连结 PQ，PR，QR在圆内接四边形 APRQ 中，由托勒密定理得APQR+AQPR=ARPQ又因为1=2，3=4，所以P
12、QRCAB，于是设上面的比值为 k，并考虑到 BC=AD，有QR=kAB，PR=kAD，PQ=kCA，于是可推得APAB+AQAD=ARAC例 7 如图 3109等边ABC 内接于XYZ，A 在 YZ 上，B 在 ZX 上，C 在 XY 上，证明：证 对四边形 ABXC 运用托勒密定理，得AXBCBXAC+XCAB，所以AXBX+XC同样地BYCY+YA，CZAZ+ZB将上述三式相加就得所要证明的不等式等号成立的充分必要条件是 X，Y，Z 在ABC 的外接圆上，但ZBX，XCY，YAZ 都等于 ，因此等号成立只能是 X，Y，Z 分别与C，A，B 重合的情况平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的
13、梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外，还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等这里，限于篇幅，因此不作讨论练习十九1已知ABC 的内角B 和C 的平分线分别为 BE 和 CF，A 的外角平分线与 BC 的延长线相交于 D求证：D，E，F 共线2过ABC 的三个顶点 A，B，C 分别作ABC 的外接圆的切线，分别和 BC，CA，AB 的延长线交于 D，E，F求证：D，E，F 三点共线3在ABC 的边 BC 上任取一点 D，设ADB 和ADC 的角平分线分别交 AB，AC 于 F 和 E求证：AD，BE，CF 相交于同一点4在梯形 ABCD 中，ABDC，ADBD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD 和 AC 的长PA(PA+PC)=PB(PB+PD)6设 P 是等边三角形 ABC 所在平面上的任意一点，那么根据 P 落PC+PA=PB 或 PC+PAPB
