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初中数学竞赛辅导讲义:第27讲-动态几何问题透视(含习题解答).doc

上传人:梦中客 文档编号:1668902 上传时间:2018-08-16 格式:DOC 页数:8 大小:697KB
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1、第二十七讲 动态几何问题透视春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是:1动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性2动静互化“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系3以动制动 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研

2、究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系注:几何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用几何动态的观点,可以把表面看来不同的定理统一起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法;更一般情况是,对于一个数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常说的“动态思维” 【例题求解】【例 1】 如图,把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线上,按顺时针方向在 l上转动两次,使它转到 ABC的位置,设 BC=1,AC= 3,则顶点 A 运动到点 A的位置时,点 A经过的路线与直线 l所围成的面积是 思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割

3、RtABC 的两次转动,顶点 A 所经过 的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为 120和 90,半径分别为 2 和 3,但该路线与直线 l所围成的面积不只是两个扇形面积之和【例 2】如图,在O 中,P 是直径 AB 上一动点,在 AB 同侧作 AAAB,BB AB,且AA=AP,BB=BP,连结 AB,当点 P 从点 A 移到点 B 时, AB的中点的位置( ) A在平分 AB 的某直线上移动 B在垂直 AB 的某直线上移动C在 AmB 上移动 D保持固定不移动 思路点拨 画图、操作、实验,从中发现规律【例 3】 如图,菱形 OABC 的长为 4 厘米,AOC60,动点 P 从 O 出发,以每秒

4、 1厘米的速度沿 OAB 路线运动,点 P 出发 2 秒后,动点 Q 从 O 出发,在 OA 上以每秒1 厘米的速度,在 AB 上以每秒 2 厘米的速度沿 OA B 路线运动,过 P、Q 两点分别作对角线 AC 的平行线设 P 点运动的时间为 x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为 y厘米,请你回答下列问题:(1)当 x=3 时, 的值是多少 ?(2)就下列各种情形:0 2;2 x4;4 x6;6 x8求 y与 x之间的函数关系式(3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下 与 的关系思路点拨 本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的

5、观点,将各段分别讨论、画图、计算注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题策略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值 【例 4】 如图,正方形 ABCD 中,有一直径为 BC 的半圆, BC=2cm,现有两点 E、F,分别从点 B、点 A 同时出发,点 E 沿线段 BA 以 1m秒的速度向点 A 运动,点 F 沿折线ADC 以 2cm秒的速度向点 C 运动,设点 E 离开点 B 的时间为 2 (秒)(1)当 t为何值时

6、,线段 EF 与 BC 平行?(2)设 10 时,求关于 r 的函数解析式,并写出自变量 r 的取值范围6已知:如图,O 韵直径为 10,弦 AC=8,点 B 在圆周上运动(与 A、C 两点不重合),连结 BC、BA ,过点 C 作 CDAB 于 D设 CB 的长为 x,CD 的长为 y(1)求 y关于 x的函数关系式;当以 BC 为直径的圆与 AC 相切时,求 的值;(2)在点 B 运动的过程中,以 CD 为直径的圆与O 有几种位置关系,并求出不同位置时的取值范围;(3)在点 B 运动的过程中,如果过 B 作 BEAC 于 E,那么以 BE 为直径的圆与O 能内切吗?若不能,说明理由;若能,

7、求出 BE 的长7如图,已知 A 为POQ 的边 OQ 上一点,以 A 为顶点的MAN 的两边分别交射线 OP于 M、N 两点,且MAN= POQ=( 为锐角)当MAN 以点 A 为旋转中心,AM 边从与 AO 重合的位置开始,按逆时针方向旋转(MAN 保持不变 )时,M、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移移动设 OM= x,ON= ( y x0),AOM 的面积为S,若 cos、 OA 是方程 025z的两个根(1)当MAN 旋转 30(即OAM=30 )时,求点 N 移动的距离;(2)求证:AN 2=ONMN;(3)求 y与 x之间的函数关系式及自变量 x的取值范围;(4)试写

8、出 S 随 变化的函数关系式,并确定 S 的取值范围8已知:如图,梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD=3cm,C 60,BDCD(1)求 BC、AD 的长度;(2)若点 P 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度运动,点 Q 从点 C 开始沿 CD边向点 D 以 1cms 的速度运动,当 P、Q 分别从 B、C 同时出发时,写出五边形 ABPQD的面积 S 与运动时间 t之间的函数关系式,并写出自变量 t的取值范围(不包含点 P 在B、C 两点的情况);(3)在(2)的前提下,是否存在某一时刻 t,使线段 PQ 把梯形 ABCD 分成两部分的面积比为 1:5?若存在,求

9、出 t的值;若不存在,请说明理由9已知:如图,E、F、G、H 按照 AE=CG,BF=DH,BFnAE(n 是正整数)的关系,分别在两邻边长 a、 n的矩形 ABCD 各边上运动设 AE= x,四边形 EFGH 的面积为 S(1)当 n=l、2 时,如图、,观察运动情况,写出四边形 EFGH 各顶点运动到何位置,使?(2)当 n=3 时,如图,求 S 与 x之间的函数关系式(写出自变量 x的取值范围) ,探索S 随 x增大而变化的规律;猜想四边形 EFGH 各顶点运动到何位置,使 ABCDS矩 形21;(3)当 n=k (k1) 时,你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由10如图 1,在直角

10、坐标系中,点 E 从 O 点出发,以 1 个单位秒的速度沿 x轴正方向运动,点 F 从 O 点出发,以 2 个单位秒的速度沿 y轴正方向运动,B(4,2),以 BE 为直径作O 1(1)若点 E、F 同时出发,设线段 EF 与线段 OB 交于点 G,试判断点 G 与O 1 的位置关系,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,连结 FB,几秒时 FB 与O 1 相切?(3)如图 2,若 E 点提前 2 秒出发,点 F 再出发,当点 F 出发后,E 点在 A 点左侧时,设 BA x轴于 A 点,连结 AF 交O 1 于点 P,试问 PAFA 的值是否会发生变化?若不变,请说明理由,并求其值;若变化,请求其值的变化范围参考答案

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