第 26 章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1* 某个篮球运动员共参加了 10 场比赛，他在第 6、第 7、第 8、第 9 场比赛中分别得了23、14、11 和 20 分，他的前 9 场比赛的平均分比前 5 场比赛的平均分要高，如果他的 10 场比赛的平均分超过 18 分，问：他在第 10 场
人教版初中数学第29章图论初步竞赛专题复习含答案Tag内容描述：
1、第 26 章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1* 某个篮球运动员共参加了 10 场比赛，他在第 6、第 7、第 8、第 9 场比赛中分别得了23、14、11 和 20 分，他的前 9 场比赛的平均分比前 5 场比赛的平均分要高，如果他的 10 场比赛的平均分超过 18 分，问：他在第 10 场比赛中至少得了多少分？解析 设前 5 场比赛的平均得分为 ，则前 9 场比赛的平均得分为x2314206899xx由题设知 ，68解得 所以前 5 场最多得分是17x（分） 54再设他第 10 场比赛得了 分，那么有y，86018y解得 y282故他第 10 场比赛得分29 分另一方面，当他在第 6、第 7、第 8、。
2、第 14 章 共点线与共线点14.1 梅涅劳斯定理14.1.1设等腰直角三角形 ， ， 是 中点， 在 上， ，求证：ABC90EACDBAEAEB.（试用梅氏定理证明）CD解析 如图，设 与 交于 ，则 ，由梅氏定理， ，得DF24B 1CFBD，又 ，故 ，故 .2E45ABCA ECD BAE AB DCEF14.1.2设 是锐角三角形 的边 上的一点， ， 是边 上的一点， ，DAC23BEA43AEC与 相交于点 ，求 .ABEFDE解析 由梅涅劳斯定理 ， ，得 ， ，故1BA1FCDEB23154F4172BFE， .103FD76E所以 .59AB AEFBD C14.1.3证明：锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上. AFPBDCSEHRQ。
3、第 16 章几何变换16.1 对称和平移1611设 是边长为 2 的正三角形 的边 的中点 是边 上的任意一点，MABCPBC求 的最小值PA C AMPAMB解析 作正三角形 关于 的对称图形 是 的对称点，故 是 的中ABCC MAB点 ，如图所示，则PM.A连结 ，易知 ，所以 9022437A所以， 的最小值是 P71612已知 中， 试在 的边 、 上分别找出一点 、ABC 6BC AP，使 最小QB解析 作 关于直线 的对称点 ， 关于直线 的对称点 ，连 与 、 分 BCA别交于点 、 ，则 、 即为所求，如图所示PQ C AMPAMB事实上，对于 、 上的任意点 ， ，ABCPQBQPQC评注 因为 ，所以所作线段 必与。
4、第四篇 组 合第 23 章 组合计数23.1 加法原理和乘法原理23.1.1 有 800 名乒乓球选手参加淘汰赛，需要进行多少场比赛才能决出冠军？解析 由于每场比赛淘汰一名选手，即比赛的场数与被淘汰的选手人数是相等的要决出冠军，需淘汰 799 名选手，所以需要进行 799 场比赛23.1.2一个小朋友有 8 块相同的巧克力（即不计顺序） ，他每天至少吃一块，直至吃完，问共有多少种不同的吃巧克力的方案？解析 将 8 块巧克力排成一行如果第一天吃 2 块，第二天吃 1 块那么，就在第 2块后面画一条竖线，这后面的第 1 块的后面（即第 3 块的后面）画一条竖线。
5、第 22 章 与x22.1.1 求 的值2071解析 因为，2 206又 2071207，2102071所以 267故 20622.1.2 若 是正整数，求 的值n321n解析 因为 321，332所以 ，333nnn所以 2122.1.13 数 的末尾有多少个连续的零?3208A解析 的质因数分解式中，5 的最高次方幂为234085，4169所以 的末尾有 499 个零08A评注 在 中，质数 的最高次幂是!2nn p，2!mpp其中 ，且 mn 1n22.1.4 设 ，求 221307S S解析 要求 ，只需证明 介于两个连续的整数之间所以需要对 进行适当的变形，通过放大、缩S S小的手段求出 的范围，从而确定 的取值SS由题设知， 考虑到1， 2，3，4，20。
6、第 25 章 染色问题25.1.1圆周上等间距地分布着 27 个点，它们被分别染为黑色或白色今知其中任何 2个黑点之间至少间隔 2 个点证明：从中可以找到 3 个白点，它们形成等边三角形的 3 个顶点解析 我们将 27 个点依次编号，易知它们一共可以形成 9 个正三角形(1，10，19)，(2 ，11，20) ，(9，18，27)由染色规则知，其中至多有 9 个黑点如果黑点不多于 8 个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色如果黑点恰有 9 个，那么由染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色2512某班有 50 位学生，男。
7、第 18 章 整数几何18.1.1已知 的两条高长分别是 5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可ABC能值解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件设第三条高为 ，则h1,5.h解得 ， 可取 4、5、6、7 这四个值145h18.1.2已知 的三边长分别为 ， ， ，且 边上的ABC 3ABnx2CnxAnxBC高 的长为 ，其中 为正整数，且 ，问：满足上述条件的三角形有几个？Dn01解析 注意 为 之最长边，故 ，设 ， ，则 ，而 9BDyz0y可正可负z AB DC由 ，及 ，得 ，2yznx222342yznxnx4yzx，由勾股定理，知 ，展开得 ，由 及 为3 223 101 n正整。
8、第 30 章 组合几何30.1 覆盖、划分与构造30.1.1* 求证：可以把三角形划分成三块，拼成一个矩形解析 如图，不妨设 为 之最大边，故 ， ，设 、 中点分别为 、 ，BCAB90CABCMN作 ， ，易知 、 在 上今过 作 ，分别与直线 、 交于 、MSNTSTAPQ STP，于是易见 ， ，因此 被分成三块，拼成了矩形 QPMN Q PAQMNBS TC30.1.2* 任何不等边三角形都可以被两个较小与之相似的三角形覆盖解析 如图，不妨设 ，且 最大AC12AB PCA2A1 B1C2B1C1注意这里 是预先给定的，而 与 都是构造的ABC1B2不妨设 ，如图，又让 （ 与 重合， 与 重合） ， 、 分C1B2A12A。
9、第 20 章 同 余20.1.1(1)证明：任意平方数除以 4，余数为 0 或 1；(2)证明：任意平方数除以 8，余数为 0、1 或 4解析 (1)因为奇数 ，2214(mod)kk偶数 ，20()所以，正整数 21od4,;().nn偶为 数为 数(2)奇数可以表示为 ，从而k奇数 24141k因为两个连续整数 、 中必有一个是偶数，所以 是 8 的倍数，从而k41k奇数 281mod8i又，偶数 ( 为整数)24k若 偶数 ，则 kt2160od 8t若 奇数 ，则222414(m)tt所以，平方数0od8,4.评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数 ，有 ，1，2( )，所以，a0mod4，1( )；又 0，1，2，3，4( )，所以， 0，1。
10、第 16 章几何变换16.1 对称和平移1611设 是边长为 2 的正三角形 的边 的中点 是边 上的任意一点，MABCPBC求 的最小值PA C AMPAMB解析 作正三角形 关于 的对称图形 是 的对称点，故 是 的中ABCC MAB点 ，如图所示，则PM.A连结 ，易知 ，所以 9022437A所以， 的最小值是 P71612已知 中， 试在 的边 、 上分别找出一点 、ABC 6BC AP，使 最小QB解析 作 关于直线 的对称点 ， 关于直线 的对称点 ，连 与 、 分 BCA别交于点 、 ，则 、 即为所求，如图所示PQ C AMPAMB事实上，对于 、 上的任意点 ， ，ABCPQBQPQC评注 因为 ，所以所作线段 必与。
11、第 21 章 不定方程21.1 二元一次不定方程21.1.1求不定方程 的正整数解2xy解析 因为 ， ， ，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是3145322,xny其中 可以取一切正整数n21.1.2求 的整数解157xy解析 1 将方程变形得715yx因为 是整数，所以 应是 11 的倍数由观察得 ， 是这个方程的一组整数解，x715y0201所以方程的解为为整数215,xty解析 2 先考察 ，通过观察易得15xy，14531所以，1471537可取 ， 从而028x0 y为整数15,ty评注 如果 、 是互质的整数， 是整数，且方程abcxc有一组整数解 、 则此方程的一切整数解可以表示为0xy0,xbtya其中 ，1。
12、第 27 章 极端原理27.1.1* 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚使得对方无法按照规则再放，谁就获胜问：是先放合算还是后放合算？解析 本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币这时当然是先放的人合算一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜评注 本题解法的独到。
13、第一篇代数第 1 章实数11 实数的运算111计算：20342013解析 将 及 分别分解为两数的积，得，14201，203103所以，原式 23301=评注 一般地有； ； ；10ab10abcdabcdc1.1.2计算：234672535解析原式 173221.1.3计算： 11390解析原式 1920评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法本例中，我们把 拆成 ，即1n1n有11nn其他常用的拆项方法如：(1) 它经常用于分母各因子成等差数列，且公差dd11ndnd 或为 的情形(2) 11122nnn1.1.4计算： 18540827038。
14、第 29 章 图论初步29.1.1* 某大型晚会有 2009 个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人证明：必有一个人至少认识其中的二个人解析 2009 这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有 5 人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人证明：必有一个人至少认识其中的二个人用 5 个点 、 、 、 、 表示 5 个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识）1v234v，就在表示这两个人的顶点之间连一条边对顶点功来说，由于 所表示的人至少认识其他 4 个人的1v一个，不妨设 与 认识，即 和 相邻，同样，设 与 相邻，如图所示对于顶。
