1、第四篇 组 合第 23 章 组合计数23.1 加法原理和乘法原理23.1.1 有 800 名乒乓球选手参加淘汰赛，需要进行多少场比赛才能决出冠军？解析 由于每场比赛淘汰一名选手，即比赛的场数与被淘汰的选手人数是相等的要决出冠军，需淘汰 799 名选手，所以需要进行 799 场比赛23.1.2一个小朋友有 8 块相同的巧克力（即不计顺序） ，他每天至少吃一块，直至吃完，问共有多少种不同的吃巧克力的方案？解析 将 8 块巧克力排成一行如果第一天吃 2 块，第二天吃 1 块那么，就在第 2块后面画一条竖线，这后面的第 1 块的后面（即第 3 块的后面）画一条竖线这样，吃巧克力的方案就与在 8 块巧克
2、力的 7 个空隙里添加竖线对应起来由于每个空隙里加以加 1 根竖线，也可以不加，所以，由乘法原理知，加竖线的方法共有（种） 722从而吃巧克力的方案也就有 128 种23.1.3有多少个有序整数对( , )满足 ？xy25y解析 我们把这个问题分成 6 种情况： ， ，1，2，5xi0当 时， （ ， ） （0，0） ；20xyxy当 时，( , )=(0, )，(0, )，(1,0)，( ,0)；11y1当 时，( , )=( , )，( ,1)，(1, )，(1,1)；2xyxy当 时，不可能；3当 时，不可能；2xy当 时，( , )=(0, )，(0,2) ，( ,0)，(2,0) ；
3、4xy22当 时，( , )=( , )，( ,1)，( , )，( ,2)，( , )，(1,2) ，(2, )，25xy11121(2,1)由加法原理知，满足题设的有序数对共有（个） 1408223.1.4利用数字 、2、3、4、5 共可组成1（1）多少个数字不重复的三位数？（2）多少个数字不重复的三位偶数？（3）多少个数字不重复的偶数？解析 （1）百位数有 5 种选择；十位数有 4 种选择；个位数有 3 种选择，所以共有个数字不重复的三位数5460（2）先选个位数，共有两种选择：2 或 4在个位数选定后，十位数还有 4 种选择；百位数有 3 种选择所以共有 个数字不重复的三位偶数243（
4、3）分为 5 种情况：一位偶数，只有两个：2 和 4二位偶数，共有 8 个：12，32，42，52，14，24，34，54三位偶数由上述（2）中求得的为 24 个四位偶数共有： 个括号外面的 2 表示个位数有 2 种选择（2 或 4） 238五位偶数共有： 个414由加法原理，偶数的个数共有（个） 28483023.1.5从 1 到 300 的正整数中，完全不不含有数字 3 的有多少个？解析 1 将符合要求的正整数分为以下三类：（1）一位数，有 1、2、4、5、6、7、8、9 共 8 个6、7、8、9 八种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有 0，共 9 种情形，故二位数有 个72（3
5、）三位数，在百位上出现的数字有 1，2 两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0、1、2、4、5、6、7、8、9 九种情形，故三位数有 个216因此，从 1 到 300 的正整数中完全不含数字 3 的共有 个84解析 2 将 0 到 299 的整数都看成三位数，其中数字 3 不出现的，百位数字可以是 0、1或 2 三种情况，十位数字与个位数均有九种，因此除去 0 共有 个9223.1.6一个班级有 30 名学生（1）从中选出 2 人，一个担任班长，一个担任副班长，共有多少种不同的选法？（2）从中选 2 个人去参加数学竞赛，有多少种不同的选法？解析 （1）从 30 个人中选 1 个人担任班长，有
6、 30 种选法，再从剩下的 29 个人中选 1个人担任副班长，有 29 种选法，则由乘法原理知，共有不同的选法为 （种）302987（2）从 30 个人中选两人有 种选法，但由于选出甲、乙去比赛和选出乙、甲去比赛3029是相同的情况，因此不同的选法共有 （种） 43523.1.7在小于 10 000 的正整数中，含有数字 1 的数有多少个？解析 不妨将 1 至 9999 的正整数均看作四位数，凡位数不到四位的正整数在前面补 0，使之成为四位数先求不含数字 1 的这样的四位数共有几个，即有 0、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字所组成的四位数的个数，由于每一位都有 9 种写法，所以，根据
7、乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为965其中包括了一个 0000，这不是正整数，所以比 小的不含数字 1 的正整数有 个，10650于是，小于 10 000 且含有数字 1 的正整数共有 个96534923.1.8在 1 到 9999 中，有多少个整数与 4567 相加，至少在一个数位中发生进位？解析 将 0 到 9999 这 10 000 个整数都看成四位数，即位数不中四位的，在左面添 0 补足四位考虑这些四位数中，有多少个在与 4567 相加时不发生进位这样的数，千位数字有 0、1、2、3、4、5 这 6 种可能；百位数字有 0、1、2、3、4 这 5 种可能；十位数字有 0、1、2
8、、3 这 4 种可能；个位数字有 0、1、2 这 3 种可能所以这样的数共有（个） 654360其中包括 0所以，在 到 9999 中，与 4567 相加产生进位的整数有1（个） 923.1.19在 1 到 1999 这 1999 个自然数中，取 4 的倍数与 7 的倍数各一个相加，一共可得到多少个不同的和解析 在 1 到 1999 这 1999 个自然数中，有 4 的倍数 499 个，它们是4，8，12，1992，1996；有 7 的倍数 285 个，它们是7，14，21，1988，1995可得到的和最小为 ，最大为 ，71961539介于 11 至 3991 之间的自然数，有一部分得不到例
9、如：12、13、14、16、17、20、21、24、28 不能得到，下面能依次得到， ， ，2918304163724， ， ，320， ，578反过来，不能得到的数还有3990、3989、3988、3986、3985、3982、3981、3978、3974不能得到的数共有 （个） 918所以可得到的不同的和共有（个） 391362.3.1.10600 有多少个不同的正约数（包括 1 和 600）?解析 将 600 质因数分解，有312605一个正整数 是 600 的约数的弃要条件是 具有 的形式，其中 、 、 是整数mm235abcabc且 ， ， a 0b 2c 由于 有 种选择：0、1、
10、2、3； 有 种选择：0、1； 有 种选4b321择：0、1、2，故由乘法原理知，这样的 有（个） 3评注 一般地，若一个正整数 的质因数分解式为n12raanp其中 ， ， 是互不相同的质数， ， ， 是正整数，则 的不同正约数12rp12rn的个数为121r23.1.11在 20000 与 70000 之间，有多少个数字不重复的偶数？解析 设 是满足要求的偶数，那么 只能取 2、3、4、5、6， 只能取abcdeae0、2、4、6、8（1）若 取 2、4、6 之一，即 有 3 种选法，此时 有 种选法， 、 、 分别ae1bcd有 8、7、6 种选法，由乘法原理知，不重复的偶数有（个） 3
11、44032（2）若 取 3、5 之一，则 有 2 种选法， 有 5 种选法， 、 、 分别有 8、7、6 种选aaebcd法，由乘法原理知，此时不重复的偶数有（个） 876最后，由加法原理知，满足题意的偶数共有（个） 4032392评注 在很多计数问题中，都是加法原理和乘法原理结合在一起用的23.1.12求至少出现一个数字 6，而且是 3 的倍数的五位数的个数解析 设满足要求的五位数为 由于 3 整除 的充要条件是12345a12345a，所以分情况讨论如下：12345aa（1）从左向右看，若最后一个 6 出现在第 5 位，即 ，则 、 、 可以从56a23a40，1，2，9 这 10 个数字
12、中任取 1 个，为了保证 ， 只有 3 种可1531能（例如， ，则 只能取 2，5，8 之一，等等） ，由乘法原理，2345mod3aa1a五位数中最后一位是 6，且是 3 的倍数的数有（个） 3100（2）从左向右看，最后一个 6 出现在第 4 位，即 ，于是 只有 9 种可能（因为46a5a） ， 、 各有 10 种可能，为了保证 ， 只有 3 种可能，由乘56a23a12341法原理，这一类的五位数有（个） 39107（3）从左向右看，最后一个 6 出现在第 3 位，即 ，则 、 均有 9 种可能， 有36a45a2a10 种可能， 有 3 种可能，这类五位数有1a（个） 9024（4
13、）从左向右看，最后一个 6 出现在第 2 位， ，则 、 、 均有 9 种可能，26a34a5有 3 种可能，所以这类五位数有1a（个） 92187（5）从左向右看，最后一个 6 出现在第 1 位，即 ，则 、 、 均有 9 种可能，16a23a4为了保证 ， 只有 3 种可能，从而这类五位数有12345aa（个） 3987最后，由加法原理知，五位数中至少出现一个 6，且是 3 的倍数的数有（个） 0018720423.1.13将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，问：满足要求的排法有多少种？解析 设 ， ，
14、， ， 是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列1a234a5首先，对于 ， ， ， ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果 是偶数， 是奇数，则 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两13ia 1ia2ia个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以 ， ， ， ， 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下 5 种情形满足条件：123452，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，123.1.14由 35 个单位小正方形组成的长方形中，如图所示，有两个“*” ，问包含两个“*”在内的小正方形组成的长方
15、形（含正方形）共有多少个？ *解析 含两个“*”的矩形，与第二、三两行有公共部分它们可能与第一行有公共部分，也可能没有公共部分，即分为两类：每一类中的矩形，可能与四、五两行都有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第四行有公共部分而与第五行没有公共部分，即又分为三类，这样，从行考虑共有 类236同样，考虑列，矩形可能与第一、二列都有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第二列有公共部分，共三类而与第五、六、七列的关系则有四列(都有公共部分，都没有公共部分，仅与第五列有公共部分，与第五、六列有公共部分而与第七列无公共部分)所以，由乘法原理，含两个“*”的矩形共有 （个） 2347223.1.15设有红、
16、黑、白三种颜色的球各 10 个现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等，问共有多少种放法解析 设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 、 、 ，则有 、 、 ，xyz1x y9z且， 1010xyzyz即， 55zxzxyz于是有 因此 ， ， 中必有一个取 不妨设 ，代入（1）式，得到y 55x10z此时， 可取 1，2，8，9（相应地 取 9，8，2，1） ，共 9 种放法同理可得z或者 时，也各有 9 种放法，但有 时两种放法重复因此可得共有5yz xyz种放法93223.1.16设正整数 和 互质问：有多少个非负整数 不能表示成
17、 （ 和pqnpxqy是非负整数）的形式？y解析 首先，由于 、 互质，所以下面 个数q， ， ，np21nqp除以 所得的余数不同q事实上，若 ， ，则 ， ，modijp01ijq 0modjipqjip所以 ，矛盾ji所以这 个数中一定有一个除以 余数为 0，设这个数为 ， ，于是可设qqnxp01q ，即 恰有一组满足 的整数解（ ， ） nxpyxpyn1xq y设 与数组（ ， ）依上述规律对应，即 ， 与 的数组（npy01xq 0， ）春风一度的整数 称为“好的” ；否则称为“坏的” xy若 与（ ， ）对应，即 ， ，则nnpxqy01xq pqpq11xy因为 ，0q 且
18、与 中恰有一个是非负的，所以， 与（ ， ）对应，且y1pqn1qxy与 中恰有一个是好的，一个是坏的所以在 0，1，2， 中好npn pq数与坏数一一对应，从而其中的坏数有（个） 12qpq当 ，则 是坏数（显然 ） ，故大于 的数均为好数由此得坏数即不能0n0ypq表为 （ ， 为非负整数）的非负整数 有 个pxqyn12q23.1.17把 1，2，3，2012 这 2012 个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻三个数的奇偶性得知：三个数全是奇数的 600 组，恰好两个奇数的有 500 组，问：恰好一个奇数的有几组？全部不是奇数的有几组？解析 设恰好 1 个奇数的有 组，则全部不是奇
19、数的有 x201650912x将圆周上的数从某个数开始，依次计为 ， ， ，令12x1,iixy一当 为 数 时当 为 数 时则 ，再令12201y 12iiiiAy12123,iiiixx一一当 为 数 时当 个 数 时当 个 数 时当 为 数 时其中 ， ，2，于是20ii12013yy2A，解得 36053912xx218恰好一个奇数的有 218 组，全部不是奇数的有 组969423.2 几何计数23.2.1如图所示，数一数图中有多少条不同的线段？ FEDCBA解析 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分 5 类分别计数；（1）以 为左端点的线段有
20、 、 、 、 、 共 5 条；AA（2）以 为左端点的线段有 、 、 、 共 4 条；BBCEBF（3）以 为左端点的线段有 、 、 共 3 条；CD（4）以 为左端点的线段有 、 共 2 条；D（5）以 为左端点的线段只有 一条EF所以，不同的一线段一共有（条） 3215评注 般地，如果一条线段上有 个点（包括两个端点） 那么这 个点把这条线1n1n段一共分成的线段总数为2nn23.2.2如果一条线段 上有 个点（不包括两个端点 和 ） 它们共有 210 条不同的ABAB线段，求 的值解析 线段 上共有 个点（包括端点） ，所以不同的线段有 条所以n 12n，120n解得 923.2.3图中
21、有多少个三角形？ FEDCBAO解析 以 为一边的三角形有 、 、 、 、 共 5 个；OAO OA E OAF以 为一边的三角形还有 4 个（前面已计数过的不再数，下同） ，它们是 、B BC、 、 ；以 为一边的三角形有 、 、 共 3 个；D E BF 以 为一边的三角形有 、 共 2 个；以 为一边的三角形有 一个，E F 所以，共有三角形 （个） 5321523.2.4图中一共有多少个长方形？解析 图中长的一边有 5 个分点（包括端点） ，所以，长的一边上不同的线段共有（条） ，同样，宽的一边上没的线段也有 10 条123410所以，共有长方形 （个） 1023.2.5图中所有长方形
22、的面积和是多少？解析 因为长的一边上的 10 条线段分别为 5、17、25、26、12、20、21、8、9、1，宽的一边上的 10 条线段长分别为 3742 181252、6、12、16、4、11、14、7、10、3，所以，所有长方形面积和为55172617312613 12634824 23.2.6图中有多少个三角形？解析 把图中最小的三角形看作基础三角形，分类计数含 1 个基础三角形的三角形共有 16 个；含 2 个基础三角形的三角形共有 16 个；含 4 个基础三角形的三角形共有 8 个；含 8 个基础三角形的三角形共有 4 个；因此，图中共有三角形（个） 16423.2.7图中有多少个
23、梯形？解析 设图中 的长为 个单位先计算底与 平行且上底小、下底大的梯形的个AD1BC数下底长是 5 的梯形有 （个） （即梯形 ， ， ， ） 4JIHGFEBCDA CLQPKB JMTSI HNRG FOEDA下底长是 4 的梯形有 （个） ，其中下底可为 ， ， ，对于每一个这样的下39BKIJ底、上底都有三种可能类似地，下底的长为 3 的梯形有（个） 2312下底的长为 2 的梯形有（个） 40因此，底与 平行且下底大于上底的梯形有BC（个） 91235再计算底与 平行且下底大于上底的梯形有 （个） 4912035再计算底与 平行且上底大于下底的梯形，易知有（个） 46底与 平行，且
24、左边底大于右边底的梯形有 个；左边底小于右边底的梯形AB6有 个，因此共有137（个） 25底与 平行的梯形也有 36 个CD所以，图中共有梯形（个） 316318评注 本题“分类”要全，不要遗漏了底与 或 平行的梯形ABCD23.2.8图中共有多少个三角形？CBA解析 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形双可分为 6 类：最大的三角形 1 个（即 ） ；ABC第二大的三角形有 （个） ；23第三大的三角形有 （个） ；第四大的三角形有 （个） ；410第五大的三角形有 （个） ；15最小的三角形有（个） 12345632注意在 外面还有三个最小的尖向上的
25、三角形（左、右、下各一个） ，所以最小的三ABC角形不是 21 个而是 24 个于是尖向上的三角形共（个） 136015249图中共有三角形（个） 592823.29图中有多少个等腰直角三角形？ 16110854654解析 图中有541个点在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数因此由对称性，共有等腰直角三角形（个） 860481462823.2.10（1）图（a）中有多少个三角形？（2）图（b）中又有多少个三角形？(b)(a)解析 （1）图（a）中有 6 条直线一般来说，每 3 条直线能围成一个三角形，但是这3 条直线如果相交于同一点，就不能围成三角形了从 6 条直线中选
26、 3 条，有 种选法，每次选出的 3 条直线围成一个三角形，但5420是在图（a）中，每个顶点处有 3 条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有个三角形2017（2）图（b）中有 7 条直线，从 7 条直线中选 3 条，有653种选法每不过同点的 3 条直线构成一个三角形（b）中，有 2 个顶点处有 3 条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有 4 条直线通过，因为 4 条直线中选 3 条有 4 种选法，即能构成 4 个三角形，现在这 4 个三角形没有了，所以，图（b）中的三角形个数是（个） 359评注 从 6 条直线中选 3 条，第一条有 6 种选法，第二条 5 种选法，第三条有 4
27、 种选法，共有 种选法，但是每一种被重复计算了 6 次，例如 ，4 123l， ， ， ， 实际上是同一种，所以，不同的选法应为 种132l13l21l32l1l 652023.2.11问 8 条直线最多能把平面分成多少部分？解析 1 条直线最多将平面分成 2 个部分；2 条直线最多将平面分成 4 个部分；3 条直线最多将平面分成 7 个部分；再在添上第 4 条直线，它与前面的 3 条直线最多有 3 个交点，这 3 个交点将第 4 条直线分成 4 段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图，所以 4 条直线最多将平面分成 个部分1 l 1 l2l3l4完全类似地，5 条直线最多将平面分成
28、个部分；6 条直线最多将平面分成5个部分；7 条直线最多将平面分成 个部分；8 条直线最多将平面分成162279个部分983评注 一般地， 条直线最多将平面分成 个部分n 213n23.2.12平面上 5 个圆最多把平面分成多少个部分？解析 1 个圆最多能把平面分成 2 个部分；2 个圆最多能把平面分成 4 个部分；3 个圆最多能把平面分成 8 个部分；现在加入第 4 个圆，为了使分成的部分最多，第 4 个圆必须与前面 3 个圆都有两个交点，如图所示因此得 6 个交点，这 6 个交点将第 4 个圆的圆周分成 6 段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4 个圆最多将平
29、面分成 个部分614同样道理，5 个圆最多将平面分成 个部分1482所以，5 个圆最多将平面分成 22 个部分说明 用上面类似的方法，可以计算出 个圆最多分平面的部分数为n2122n 12n23.2.13平面上 5 个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解析 首先，由上题可知，平面上 5 个圆最多能把平面分成 22 个部分，现在加入一条直线，由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以一条直线与 5 个圆最多有 10 个交点10个点把这条直线分成了 11 段，其中 9 段在圆内，2 条射线在圆外，9 条在圆内的线段把原来的部分一分为二；圆外只增加了一个部分所以，总共增加了 10 个部分因此，
30、5 个圆和 1 条直线，最多将平面分成 个部分103223.2.14三角形 内部有 2008 个点，以顶点 、 、 和这 2008 个点为顶点能把ABCABC原三角形分割成多少个小三角形? (b)(a)PnCBAPnCBA解析 设 内部的 个点能把原三角形分割成 个小三角形，我们考虑新增加AC 1n1na一个点 之后的情况：nP(1)若点 在某个小三角形的内部，如图(a)，则原小三角形的三个顶点连同 将这个小三nP角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点 在某两个小三角形公共边上，如图(b)则这两个小三角形的顶点连同点 将这nP n两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形所以，
31、内部的 个点把原ABC三角形分割成的小三角形个数为12na易知 ，于是0， ， 12a12a12na将上面这些式子相加，得n所以，当 时，三个顶点 、 、 D 和这 2008 个内点能把原三角形分割成208ABC个小三角形214723.2.15平面上有 100 条直线，其中有 20 条是互相平行的，问这 100 条直线最多能将平面分成多少部分？解析 1 首先，这 20 条平行线将平面分成 21 个部分设另加上 条直线，连同这 20 条平行线最多可将平面分成 个部分，则k ka12ka这是因为当再加入第 条直线后，它与前 条直线最多有 个交点，从而这条1k20k20k直线被分成了 段（其中有两段
32、是射线） ，每一段将原来的部分一分为二，02即增加了 个部分所以，12kak，21把上面的后 个等式相加，得k112kak易知 ，故4122kak1所以 2804180461a所以，这 100 条直线最多将平面分成了 4861 个部分解析 2 解法 1 是先从平行线入手，现在我们先从 80 条互不平行的直线入手一般地，设平面上 条直线最多可将平面分成 个部分，则（见题 23.2.11）kka2801801324a所以，80 条直线最多将平面分成 3241 个部分现在再加入平行线每加入一条平行线，它与前面的直线最多有 80 个交点，从而增加 81 个部分，于是加入 20条平行线后最多增加 个部分
33、60因此，这 100 条直线最多将平面分成32416081个部分23.2.16圆周上有 个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，问：4n这些弦在圆内一共有多少个交点？ PA 4A3A2A1解析 圆周上每 4 点构成一个凸四边形，它的两条对角线（弦）交于一点（如图） ，因此第 4 点对应于圆内一个交点由于没有三条弦交于圆内一点，所以不同的 4 点对应于圆内的不同交点反应过一，设点 是弦 与 的交点，则 与 4 点 在、 、 、P13A24P1A23对应所以，交点的个数就是圆周上 个点中取 4 点的不同的取法总数，即4An1231234nn评注 最后的答案中要除以 ，理由同题 23.2.
34、10123.2.17圆周上有 8 个点 ， ， ，如图所示1A28（1）从 出发将它们连结成一条在圆内不相交的折线（由 7 条线段组成，例如折线1A就是满足要求的一条） ，共可得多少条不同的折线？12345876（2）如果可以从这 8 点中的任一点出发，共可得多少条不同的拆线？ A8 A7A6A5A4A3A2A1解析 （1）从 出发连第 1 条线段时，只有两种连法： 或 （否则，若连 ，1A1218A13A则 与 、 、 、 、 分布在 两边，要每个顶点都连到，必定与 相交） ；2A456A7813A13A接着连第 2 条线段时，也只有两种连法连第 6 条线段时，有两种连法，连最后一条线段时，
35、只有一种连法，所以由乘法原理知，不同的折线共有（条） 614（2）由（1）知，从 8 个点中的每一点 （ ，2，8）出发，可以有 64 条不同的iA1折线，从而可得 条折线，但是对其中的每一条折线，将它的起点和终点都作为出发点重复算了一次，所以应除以 2，故不同的折线共有（条） 864523.2.18在平面上给出 条直线，且它们中的任何两条不平行，任三条不共线，3n证明：这些直线把平面分成的各部分中，三角形个数不少于 23n解析 研究已知直线的所有交点我们证明，这些点都在不多于两条已知直线的同一旁假设所有这些交点都在三条已知直线的同一旁，这三条直线构成三角形 ，第四条ABC直线不能仅与这个三角形的边相交，也就是它至少与一条边的延长线相交为了确定起见，设它与从 点出发的边 的延长线相交于某点 这时点 和 在直线 的两旁，得BABMA出矛盾因此至少有 条直线，它的两旁都有交点2n如果我们在由直线 所给出的半平面上选取邻近 的交点，那么这个点是毗连直线 的三角l l l形的顶点这样一来，有不少于 条直线，毗连它们每一条至少有两个三角形，并且有两条直线，毗连它们每一条至少有一个三角形，因为每个三角形恰毗连三条直线，所以有不少于 个三角形223nn
