1、 1 / 15直线与平面垂直的判定和性质【课前复习】温故会做了，学习新课才会有保障1直线和平面的位置关系有_、_、_2直线和平面平行的判定方法有_、_3两异面直线的距离是指_答案：1平行 相交 直线在平面内2定义 判定定理3两异面直线的公垂线段的长度知新先看书，再来做一做1如果一条直线 l 和一个平面 _，则直线 l 和平面 互相垂直2若 a ，_，则_3直线和平面垂直的判定定理：_直线和平面垂直的性质定理：_4三垂线定理_【学习目标】1能准确叙述直线和平面垂直的定义，并能画图予以表示2掌握直线和平面垂直的判定定理，并能用图形和符号语言予以表示，会用判定定理解决有关问题3掌握直线和平面垂直的性
2、质定理，理解并掌握性质定理的证明方法4正确理解点到平面的距离，直线到平面的距离5正确区分垂线段、斜线段、斜线的概念，明确点在平面内的射影、斜线及斜线段在平面内的射影的概念6掌握并会作直线与平面所成的角，并能进行正确计算7正确理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容和证明过程，并能用它来解决实际问题8培养观察、猜想及论证能力，提高空间想象能力【基础知识精讲】课文全解1直线与平面垂直的定义我们已有两条直线垂直的概念，因此可以用直线和直线垂直的概念来定义直线和平面垂直的概念：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，我们就称这条直线和这个平面垂直显然，和平面垂直的直线是直线和平面相交位置关系中的一种
3、特殊形式注意定义中的“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义语定义的实质是用这条直线和平面内所有直线垂直，这样就用无数的线段垂直关系规定了直线和平面垂直的意义虽然这样的定义给判定线面垂直带来困难，但在直线和平面垂直时，恰可以得到直线和平面内的任何一条直线垂直，给判定两直线垂直带来方便，即 a ， b ，则 a b简述之， “线面垂直，则线线垂直” ，这是我们判定两条直线垂直的一个重要方法2直线和平面垂直的判定图 9-4-1要根据直线和平面垂直的定义来直接判定直线和平面垂直是难以做到的日常生活中，木工检查一根木棒是否和板面垂直，只用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次（如图 9-
4、4-1） ，如果在两次检查中，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便断定木棒和板面垂直其依据是：如果一条直线和一个平2 / 15面内两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面这是直线和平面垂直的判定定理，简称为“线线垂直，则线面垂直” 从定义到判定定理，使判定线面垂直的方法简化了，即从“垂直于平面内的任何一条直线”简化为“垂直于平面内两条相交直线” 所以，我们在证明线面垂直时，主要是设法在平面内找到这样的“两条相交直线”3直线和平面垂直的性质如果 a ， b ，则 a b这就是直线与平面垂直的性质定理它的证明由于无法把两条直线 a、 b 归入一个平面内，所以平面几何知识中证明直线平行的定理
5、无法使用，三线平行公理也无法使用；线面平行的性质定理也没有条件直接使用在这种情况下，课本中采用了反证法关于这个性质定理，还可以这样来证明： b ，设 b O经过 O 点引 b a，则 b ，因为经过 O 点的平面 的垂线只有一条， b与 b 重合，因此 b a4点到平面的距离及线到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，点到垂足之间的距离叫做点到平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离由线到面的距离及点到面的距离的定义不难发现，求直线到平面的距离，实质上转化为求两平行直线间的距离或者点到平面的距离，再进一步转化为点到点的距离这在以后求有关几何
6、体的体积时经常用到在立体几何中，求距离往往转化为平面几何的问题，即通过解三角形来完成这种转化的依据就是平面的基本性质读者一定要掌握这些理论根据及重要的思想方法和解题思路5点、线段、斜线段在平面 上的射影图 9-4-2如图 9-4-2， （1）自点 A 向平面 引垂线，垂足 A1叫做点 A 在平面 上的射影当点 A 时，点 A 在 上的射影是它自身（2）把和平面 相交且不和 垂直的直线叫做平面 的斜线，斜线和平面 的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段过斜线上的一点 A 向平面 引垂线，经过垂足 A1和斜足 B 的直线叫做斜线 a 在平面 上的射影；垂足 A1和斜足 B
7、之间的线段 A1B 叫做点 A 到平面 的斜线段 AB 在平面 上的射影不难证明：斜线上任一点在平面上的射影一定在此斜线的射影上当直线 a平面 时，直线 a 在平面 上的射影就是 a 和平面 的交点 B（3）设 AC 是平面 的斜线 a 上的一条线段，自 A 和 C 分别引平面 的垂线，垂足为 A1、 C1，则线段A1C1叫做线段 AC 在平面 上的射影当 a 时， A1和 C1重合，线段 AC 在平面 上的射影是一个点 A1在平面几何中，我们知道，从直线外一点向直线所引的垂线段和斜线段中：垂线段最短；射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影
8、也较长把“从直线外一点向直线所引的垂线段和斜线段”中的“直线”改成“平面” ，上述结论仍然成立这就是垂线段和斜线段长定理3 / 156直线与平面所成的角直线与平面所成的角，应分以下三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线与平面垂直时，直线与平面所成角为 90；（3）直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为 0显然，直线与平面所成角的范围为0， 2由此可见，一条直线与平面斜交所成角的度量问题（空间问题）是通过直线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的具体解题步骤与求异面直线所成的角一样，有如下环节：（
9、1）构造作出斜线与射影所成的角；（2）论证论证所作（或找到）的角就是要求的角；（3）计算常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形） ；（4）结论在此我们重点研究斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身另一条直线就是斜线在平面上的射影为什么要选用这个角作为斜线和平面所成的角呢？原因是：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度” 7三垂线定理（1）问题的提出我们知道，若 l 是平面的垂线，则 l 垂直于平面 内
10、的所有直线，现在的问题是，若 l 不是平面的垂线，而是斜线，那么在平面 内有没有直线 l 的垂线呢？这些垂线都在什么样的位置呢？这就是三垂线定理要解决的问题（2）三垂线定理及其逆定理定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直这个定理可以简称为“垂直于射影，则垂直于斜线” 逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它就和这条斜线的射影垂直它可以简称为“垂直于斜线，则垂直于射影” 在三垂线定理及其逆定理中，涉及到三个垂直关系：1垂线 PA 与直线 a 垂直；2射影 AB 与直线 a 垂直；3斜线 PB 与直线 a 垂直所以，定理俗称为“三
11、垂线定理” （3）应该注意的事项1两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不成立2三垂线定理及其逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理3两个定理的区别要搞清：首先从两个定理的条件和结论上区分三垂线定理是“线与射影垂直 线与斜线垂直” ，逆定理相反其次，从两个定理的作用上区分三垂线定理解决：已知共面直线垂直，证明异面直线垂直逆定理相反（4）三垂线定理的基本图形反映三垂线定理的图形有下列四种，如图 9-4-34 / 15图 9-4-3在解题过程中，应注意各种不同位置关系的三垂线定理的基本图形及其变式图形问题全解1直线与直线垂直与直线和平面垂直有何区别？如何判定直线和平面垂
12、直?注意线线垂直与线面垂直的区别：线线垂直，不一定有垂足，线面垂直必有垂足本节重点是线面垂直的判定：用定义：证 l 和 内作任意一条直线垂直用定理：证 l 和 内“两条相交”直线都垂直，因此我们可把定理简化为：线线垂直 线面垂直利用平行线：若 a ，证 l a 即可知 l 由线面垂直定义： l ， a ，则 l a例 1在平面 内有直角 BCD， AB平面 求证： CD 垂直于 AB 和 BC 确定的平面策略：利用直线与平面垂直的判定定理可证此结论图 9-4-4证明：如图 9-4-4， BCD90， CD BCCD平面 ABC（平面 ABC 即为由 AB 与 BC 确定的平面）评注：运用判定定
13、理时一定要注意必须是平面内两条相交的直线都与平面外的直线垂直时才能得到线面垂直的结论例 2在正方体 A1B1C1D1 ABCD 中， E、 F 分别是棱 AB、 BC 的中点， O 是底面 ABCD 的中心，求证： EF平面 BB1O策略：利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，本题可先证 AC平面BB1O，再证 EF AC 即可图 9-4-5证明：如图 9-4-5，连结 AC， BD，则 O 为 AC、 BD 的交点 ABCD 为正方形， AC BO，又 BB1平面 ABCD， AC 平面 ABCD， AC BB1又 EF 是 ABC 的中位线， EF AC EF
14、平面 BB1O评注：由 EF平面 BB1O EF B1O5 / 15本题也可连 AB1、 CB1，由 CB1 AB1， CO AO AC B1O请读者按此思路自己完成证明2掌握直线和平面垂直的性质定理的关键是什么？如何求有关的距离问题？直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表：类别 判定 性质方法 用判定定理 用推论 用定义 性质定理 定义图形条件c ， b c b Pa c， a ba bb b b 是任一条直线a ba b a b 结论 a a b a b直线与平面垂直的性质定理给出了判断两直线平行的另一种方法即“线面垂直 线线平行” 另外定理中的“两条”可扩充到“若干条” 掌握性质，关键明确
15、平面的垂线研究距离问题时，应着重于找到垂线段，注意各种距离间的相应转化求距离的一般步骤作（找）垂线段证（直线）算（垂线段长） 图 9-4-6例 3如图 9-4-6，已知 AB 是异面直线 a、 b 的公垂线段， b ， a ，求证线段 AB 的长就是 a 与平面 之间的距离策略：采用转化的思想方法，即异面直线之间的距离可转化为线面之间的距离证明： a、 b 是异面直线， B b， B ， B a，由直线 a，点 B 可确定平面，设为 ，则 和 相交，设 a， a ， a a，又 AB a， AB a， AB b， b a B， b、 a ， AB ， A a， a ， AB 的长为 a 和 之
16、间的距离3理解射影长定理应注意什么？如何求直线和平面所成的角？射影长定理和直线与平面所成角的概念是本节的重要内容，射影长定理是利用平面上线段长短比较空间线段长短的定理，应用时要注意“从平面外一点”这个条件，否则结论不成立要注意“直线与平面所成的角”与“斜线和平面所成的角”的区别与联系6 / 15图 9-4-7例 4如图 9-4-7 所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角策略：求线面角的关键是确定直线在平面上的射影，及直线与射影所成锐角解：连结 BC1交 B1C 于 O，连结 A1O，在正方体 ABCD A1B1C1D1中各个面为正方形，设其棱长
17、为 a，评注：求直线和平面所成的角时，应注意问题是（1）先判断直线和平面的位置关系 （2）当直线和平面斜交时，常以以下步骤构造作出或找到斜线与射影所成的角；设定论证所作或找到的角为所求的角；计算常用解三角形的方法求角；结论点明斜线和平面所成的角值4证明空间两直线垂直有哪些方法？应用三垂线定理及逆定理应注意哪些问题？证明空间两条直线垂直有以下几种方法：（1）利用定义：证明两直线所成的角为 90；（2）利用线面垂直的定义 ，证明一条直线垂直于过另一条直线的平面；（3）利用三垂线定理及逆定理三垂线定理及其逆定理实质上是平面内直线与平面的斜线互相垂直的判定定理和性质定理在定理中需要“一面、四线、三垂直
18、” 应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：（1）两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知 ，只有平面内的直线若能满足和斜线或斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在的平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直（2）两个定理的区别从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 线与斜线垂直” ，逆定理相反从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决了已知共面直线垂直，证明异面直线垂直，逆定理相反利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线” “平面的斜线” “斜线的射影” 例 5在正方体 A1B1C1D
19、1-ABCD 中，求证： B1D平面 A1C1B7 / 15策略：利用三垂线定理证明，但要把 B1D 在平面 A1C1内的射影和 B1D 在平面 A1B 内的射影找出来，关键找“垂足” 证明：连结 B1D1、 BC1如图 9-4-8 DD1平面 A1C1， D1为垂足， B1D1是 B1D 在平面 A1C1内的射影， B1D1 A1C1， B1D A1C1（三垂线定理）连结 AB1， AD平面 A1B， A 为垂足 AB1为 B1D 在平面 A1B 内的射影 AB1 A1B， B1D A1B评注：应用三垂线定理及其逆定理时，一般按以下顺序思考：（1）找平面垂线；（2）找平面内直线a；（3）若
20、a 垂直于射影，则 a 垂直于它的斜线，反之亦然【学习方法指导】证明直线和平面垂直的方法即证明直线垂直于平面内两相交直线，因此，确定平面内两相交直线是解题关键图 9-4-9例 1如图 9-4-9，正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， B1H D1O， H 为垂足求证 B1H平面 AD1C策略：要证 B1H平面 AD1C，已知 B1H D1O，只需证明平面 AD1C 内与 D1O 相交的另一直线 AC B1H 即可，改证 AC B1H，只需证 AC 垂直于 B1H 所在的平面 BD1即可证明：连 B1D1， B1B AB， B1B BC， B1B平面 AC， B
21、1B AC又 AC BD， AC平面 BD1又 B1H 平面 BD1， AC B1H又 B1H D1O， B1H平面 AD1C存在唯一性问题的证明反证法图 9-4-108 / 15例 2证明两条异面直线的公垂线唯一策略：“唯一”性问题一般用反证法证明：如图 9-4-10，已知 a、 b 是异面直线，只须证 a、 b 公垂线唯一，假设 a、 b 至少有两条公垂线AB、 CD，且 A a， C a， B b， D b过 B 作 a a，则 b a B设 b、 a所在平面为 AB a， AB a又 AB b， AB 同理， CD ， AB CD A、 B、 C、 D 共面，即 a、 b 共面这与 a
22、、 b 异面矛盾类似地， A、 C（或 B、 D）不可能重合，否则，过同一点 A（或 B）有两条直线垂直于 这是不可能的故 a、 b 的公垂线唯一应用性质定理解题，应注意结合判定定理例 3证明：若平面 和不在 内的直线 a 都垂直于直线 b，则 a 策略：欲证线面平行，可证该直线平行于该平面的某一条直线，已知条件有垂直关系，故可联想到利用直线与平面垂直的性质定理将垂直关系转化为平行关系图 9-4-11证明：如图 9-4-11，过 a 及 内不在 a 上的任一点 P 作平面 ，设 a b ， a ， b a又 b a， a a（否则， a、 a相交，则 b ，从而 与 重合，与题设矛盾） 又 a
23、 ， a ， a 点、面距离问题例 4长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB3， AD4， AA15，试求：（1）异面直线 A1A 和 D1C 的距离；（2）直线 A1D1与平面 BB1C1C 的距离；（3）点 B 到平面 ACC1A1的距离；（4）直线 AB 与平面 A1B1CD 的距离策略：本题涉及了线与线；点与面；线与面的距离，正确运用这些距离的概念是解题的关键图 9-4-12解答：如图 9-4-12 所示为题给长方体（1） A1D1 AA1， A1D1 D1DCC1， D1C 平面 D1DCC1， A1D1 D1C， A1D1为异面直线 A1A 与 D1C 的公垂线段，而 A1D
24、14，异面直线 A1A 与 D1C 的距离是 49 / 15又 D1C1平面 BB1C1C D1C1是直线 A1D1与平面 BB1C1C 的距离且 D1C13，直线 A1D1到平面 BB1C1C 的距离是 3（3）过 B 作 BE AC 于 E， C1C平面 ABCD， BE 平面 ABCD， BE C1C，又 BE AC， AC C1C C， BE平面 ACC1A1， BE 就是点 B 到平面 ACC1A1的距离，在 ABC 中 BE 52AB B 点到平面 ACC1A1的距离为 52（4）过 A 作 AF A1D 于 F， AB A1B1， A1B1 平面 A1B1CD， AB平面 A1B
25、1CD CD平面 AA1D1D， AF 平面 AA1D1D， AF CD，又 AF A1DA1D CD D， AF平面 A1B1CD即 AF 就是平行直线 AB 与平面 A1B1CD 的距离在 ADA1中， AF 直线 AB 与平面 A1B1CD 的距离为 .420521 420理解射影的概念例 5 （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条线段都短；（4）斜线在平面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点上面四个命题中，正确命题的个数是（ ）A0 个 B1 个C3 个 D4 个策略：应用定理时应注意结论
26、成立的条件解答：（1） 、 （2） 、 （3）均不正确垂线段和斜线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成立 （4）也不对，斜线在平面内的射影必为直线，只有点或垂线在平面内的射影才是点故本题应选 A直线与平面所成角，求解步骤可概括为“一作二证三算”例 6求证：两条平行线和同一平面所成的角相等策略：两条平行线和平面有不同的位置关系，应按各种情况分别证明证明：设两平行线为 a、 b，平面为 （1） a、 b 都平行于 或都在 内，或一条与 平行，另一条在 内时，则 a、 b 和 所成的角都等于 0，所以相等；（2） a、 b 都和 垂直，则 a、 b 和
27、所成的角都等于 90，所以相等；（3） a、 b 和 斜交设 a A， b B，在 a、 b 上分别取点 C、 D，使 C、 D 在 的同侧，作CE 于 E， DF 于 F，则 CE DF，连结 AE、 BF，则直线 AE、 BF 分别是 a、 b 在 内的射影，所以 CAE、 DBF 分别是 a、 b 和 所成的角 a b， CE DF，且 ACE 和 BDF 的方向相同， ACE BDF， CAE DBF，即斜线 a、 b 和 所成的角相等综上讨论得：两条平行线和同一平面所成的角相等直线与直线垂直的判定方法1利用定义，证明所成角为 902利用线面垂直的定义，证明一条直线垂直于过另一条直线的
28、平面3利用三垂线定理及逆定理 例 7如图 9-4-13，在空间四边形 ABCD 中， AB CD， AC BD，求证：AD BC策略：证明线线垂直，往往利用三垂线定理及其逆定理来证明10 / 15证明：设 A 点在平面 BCD 上的射影为 H，分别连 BH、 CH、 DH，并延长交对边于 E、 F、 G AB CD， BE 为 AB 在平面 BCD 上的射影， BE CD同理 CF BD H 为 BCD 的垂心， DG BC又 AD 在平面 BCD 上的射影为 DG， AD BC三垂线定理和两异面直线所成的角图 9-4-13 图 9-4-14例 8如图 9-4-14， MA平面 ABCD，四边
29、形 ABCD 是正方形，且 MA AB a，试求：（1）点 M 到 BD 的距离；（2）求异面直线 MB 与 AC 所成的角解：（1）取正方形 ABCD 对角线交点为 O，连结 MO， MA平面 ABCD， MO 在平面 ABCD 内的射影就是 AO，又AOBD ， MOBD （三垂线定理） ，MO 就是 M 到 BD 的距离，在 RtMAO 中，MAa，AO aAC21MO ， M 到 BD 的距离为 aaAO261226（2）延长 DA 到 D1使 AD1 AD，则 AD1 BC，连结 BD1， AC BD1， MBD1为异面直线 MB 与 AC 所成的角在 MD1B 中，易求得 MB M
30、D1 BD1 a2 MD1B 为正三角形， MBD160异面直线 MB 与 AC 所成的角为 60评注：（1）立体几何中的计算距离，角等问题通常要有“作” “证” “算”三个基本步骤，即先在图中作出所求量，并证明之，后进行计算，不少学生在解这一类问题往往跳过“证”这一步，这样图中所作的量不一定是符合题意的而造成错误（2）本题（2）中使用了“割补法”把“ AC”平移到原有立体图“外” ，使异面直线所成角变为两相交直线所成角，化空间问题为平面问题（3）请思考如何求异面直线 MB 与 AC 之间的距离？提示： AC平面 MBD1，故只须求 AC 上一点到平面 MBD1的距离综合问题，多与“求角”和“
31、求距离”的题相结合图 9-4-15例 9如图 9-4-15 所示，已知 ABCD 是边长为 4 的正方形， E、 F 分别是 AB、 AD 的中点， GC 垂直于 ABCD所在的平面，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离策略：若过 B 点直接作平面 EFG 的垂线，显然不清楚垂足的位置，由题设条件可证 BD平面 EFG，因此可以把点 B 到平面的距离转化为直线 BD 到平面 EFG 的距离解：设 H、 O 分别是 AC 与 EF、 BD 的交点，在平面 GHC 内，过点 O 作 OK HG 于 K， ABCD 是正方形， BD AC E、 F 分别为 AB、 AD 的中点， EF BD
32、 GC平面 ABCD CH GC11 / 15 CH GC C， EF平面 CHG OK 平面 GHC， EF OK OK GH， GH EF H， OK平面 EFG EF BD， EF 平面 EFG， BD平面 EFG OK 为直线 BD 到平面 EFG 的距离，也为 B 到平面 EFG 的距离正方形的边长为 4， GC2， AC4 ， HO ， HC3 ，2在 Rt HCG 中， HG ，Rt HKORt HCG， OK 故点 B 到平面12HGCOEFG 的距离为 12【知识拓展】迁移图 9-4-16例 1在 ABC 中， BAC90， AB AC2 a， P 是 ABC 所在平面 外一
33、点，且PA a， PAB PAC60（如图 9-4-16 所示） ，求：（1） PA 和平面 所成的角；（2） P 到 BC 的距离策略：要求直线和平面所成的角，应先确定直线在平面上的射影，因此，必须从过点 P 作平面 的垂线入手，另外求点到直线的距离，也应找出表示点到线的距离的线段解：（1）作 PO 于 O，连结 AO 并延长交 BC 于 DAO 是 PA 在平面 上的射影所以 PAO 就是 PA 和平面 所成的角 PAB PAC， BAO CAO作 OE AB 于 E，连结 PE，则由三垂线定理得 AB PE在 Rt PAE 中， PAE60， PA a， AE a在 Rt AEO 中，
34、EAO BAC45，2121 AO a2在 Rt PAO 中，cos PAO ， PAO45即 PA 和平面 所成的角为 452PAO（2）在 ABC 中， AB AC， BAD CAD， AD BC， PD BC（三垂线定理） 线段 PD 的长就是 P 到 BC 的距离在 Rt ABC 中， AB AC2 a， AD a 212 / 15在 PAD 中，又 PA a， PAD45， PD aPADADPcos22即 P 到 BC 的距离为 a评注：（1）教材中的例题、习题中用黑体、文字叙述形式出现的命题，在证明后，均可作证题的根据但此公式不要求记忆（2）立体几何的计算题通常分两步进行，即先证
35、明，后计算，证明是计算的理论根据，不能省略高考评卷时按照证算分别依次定分发散如何运用三垂线定理及逆定理证题或解题?首先，三垂线定理及逆定理是说：斜线 OP 及其在平面 内的射影 OA 与平面 内的直线 a 的垂直关系是一致的用它可以证线线垂直，可以把立体图形的问题（ OP a）转化为平面图形的问题（ OA a） 其次，运用三垂线定理及逆定理证题或解题采取下面几步：找出过直线 a 的平面 ；作出斜线 OP 在 内的射影 OA；运用三垂线定理及逆定理关键是第步作出斜线 OP 在 内的射影，也即是作出点 P在 内的射影 A，其方法在 93 节中作了介绍证明线线垂直例 2在正三棱柱 ABC A1B1C
36、1中，若 AB1 BC1，求证： AB1 A1C图 9-4-17证明：如图 9-4-17 所示，分别取 AB、 A1B1的中点 D、 D1，连 CD、 C1D1 CD AB， A1D 为 A1C 在平面 A1ABB1内的射影同理可得 BD1为 BC1在平面 A1ABB1内的射影 AB1 BC1， AB1 BD1（三垂线定理的逆定理） 又 BD1 A1D， AB1 A1D， AB1 A1C（三垂线定理） 评注：本题要证空间两异面直线 AB1与 A1C 垂直先找出过一条直线（ AB1）的平面 ABB1A1，再作出另一条直线（ A1C）在平面 ABB1A1内的射影（ A1D） ，最后转化为同一平面
37、ABB1A1内两条直线 A1D 与 AB1垂直的问题类似地由三垂线定理的逆定理又可将同一平面内两直线（ AB1与 BD1）垂直问题转化为空间两异面直线（ AB1与 BC1）的垂直问题通常运用三垂线定理及逆定理可以达到“线线 线线”的效果【同步达纲训练】一、选择题1下列命题中正确的是（ ）A若直线 a 在平面 外，则直线 a 与平面 内任何一点都可以确定一个平面B若直线 a 平行于直线 b，则 a 平行于过 b 的任何一个平面C若 a、 b 分别与两条异面直线都相交，则 a、 b 是异面直线D若 a、 b 是异面直线，则经过 a 且与 b 垂直的平面可能不存在2与空间四边形 ABCD 四个顶点距
38、离相等的平面共有（ ）A4 个 B5 个 C6 个 D7 个3 ABC 在平面 内， P 在平面 外， PO 于 O，且 P 到 A、 B、 C 的距离相等，则 O 为 ABC 的（ ）A外心 B内心 C垂心 D重心13 / 154一条直线与一个平面所成的角为 60，斜足为 O，则这条直线与平面内不过 O 点的直线所成角中最大的是（ ）A60 B90 C120 D180图 9-4-235如图 9-4-23，在正方形 SG1G2G3中， E、 F 分别是 G1G2及 G2G3的中点， D 是 EF 的中点，现在沿 SE、 SF及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1， G2， G3三点重合
39、，重合后的点记为 G，那么，在四面体 S EFG中必有（ ）A SG EFG 所在平面 B SD EFG 所在平面 C GF SEF 所在平面 D GD SEF 所在平面二、填空题6等腰直角三角形 ABC 的一条直角边 BC 在平面 内，另一条直角边 AB 与平面 成 45角，则此三角形的斜边 AC 与平面 所成角的大小是_7关于直角 AOB 在定平面 内的射影有如下判断：（1）可能是 0的角；（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；（5）可能是 180的角其中正确判断的序号是_（注：把你认为是正确判断的序号都填上） 8在 ABC 中， C90， AB8， ABC30， PC面
40、ABC， PC4， P是 AB 边上的一个动点，则PP的最小值为_三、解答题9如图 9-4-24， P 为 ABC 外一点， PA、 PB、 PC 两两垂直， PA PB PC a，求点 P 到平面 ABC 的距离图 9-4-2410如图 9-4-25，在立体图形 S ABC 中， SAB SAC ACB90， AC2， BC ， SB 1329（1）求证： SC BC图 9-4-2511如图 9-4-26，已知立体图形 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形， A1A B1B C1C D1D，且14 / 15 C1CB C1CD BCD60求证： C1C BD图 9-4-26参考
41、答案一、1解析：A 中， a 与 相交时，平面 与 a 的交点 P 和 a 就不能确定一个平面；B 中， a 只能平行过b 而不过 a 的平面；C 中， a、 b 可能是相交直线；D 只有 a、 b 垂直时，才能有经过 a 且与 b 垂直的平面，应选 D答案：D2解析：当 A、 B、 C、 D 四点中有一点在平面的一侧，另外三点在平面的另一侧时，满足条件的平面有 4个；当 A、 B、 C、 D 四点中有两点在平面的一侧，另外两点在平面的另一侧时，满足条件的平面有 3 个，共有 7 个平面满足条件答案：D3解析：由 PO 于 O，知 AO、 BO、 CO 分别为斜线段 PA、 PB、 PC 在平
42、面 内的射影，又 PA PB PC，所以 AO BO CO，即 O 为 ABC 的外心答案：A4解析：设直线 a 是平面 的斜线，直线 b 是 内不过斜足 O 的直线，所以 a、 b 必为异面直线，因为异面直线所成角的范围是（0，90 ，且当 b 与 a 在 内的射影垂直时， a b答案：B5解析： SG GF， SG GE SG面 GEF答案：A二、6解析：如图，作 AD 于 D 点，在 Rt ABC 中， AC AB；在 Rt ADB 中， AD AB，在 Rt ADC 中，sin ACD ，22 21ACD即 ACD30答案：307解析：若 A、 O、 B 在 内的射影在一直线上，且点
43、O 的射影在 A、 B 射影之间， AOB 在 内的射影为 180角；若点 A、 B 的射影在 O 点的射影的同一侧， AOB 在 内的射影为 0角，把 OA 稍作转动时， AOB 在 内的射影为锐角若平面 AOB 平行于平面 ，则 AOB 在 内的射影为直角若 A、 B 在 内，点 O ，且点 O 在 内的射影不在 AB 上，则 AOB 在 内的射影为钝角答案：（1） （2） （3） （4） （5）8解析： PP ，2216PCPC求 PP最小即求 CP最小当 CP AB 时， CP最小，此时 CP2 ， PP 37216答案：2 7三、9解：过 P 作 PO平面 ABC 于点 O，连结 A
44、O、 BO、 CO，有 PO OA， PO OB， PO OC PA PB PC a， PAO PBO PCO，即 OA OB OC， O 为 ABC 的外心， PA、 PB、 PC 两两垂15 / 15直， AB BC CA a， ABC 为正三角形， AO2 ,3,362aAOPaAB即点 P 到平面 ABC 的距离为 310 （1）证明：由 SAB SAC90，知 SA AB， SA AC，又 AB AC A， SA面 ABC ACB90，即 AC BC，由三垂线定理得 SC BC11证明：连结 A1C1、 AC， AC 与 BD 交于 O，连结 C1O，由四边形 ABCD 为菱形得 AC BD， BC CD，又 BCC1 DCC1， C1C C1C， C1BC C1DC， C1B C1D， DO OB， C1O BD，又AC BD， AC C1O O， BD面 AC1，又 C1C 面 AC1， C1C BD
