1、第 1 页 共 9 页1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件2014 高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用1 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1)两个命题
2、互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有 关系4 充分条件与必要条件(1)如果 pq，则 p 是 q 的充分条件 ，q 是 p 的必要条件；(2)如果 pq，q p，则 p 是 q 的充要条件注意对定义的理解:例如：若 pq， ，则 p 是 q 的 充分不必要条件，p 的必要不充分条件是 q。难点正本 疑点清源 1 等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假2 集合与充要条件设集合 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，则有
3、(1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 ，则 p 是 q 的充分不必要条件；A(2)若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 ，则 p 是 q 的必要不充分条件；(3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件；第 2 页 共 9 页(4)若 A B，且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件题型一 四种命题的关系及真假例 1 已知命题“若函数 f(x)e xmx 在(0，) 上是增函数，则 m1”，则下列结论正确的是 ( D )A否命题“若函数 f(x)e xmx 在(0 ，)上是减函数，则 m1”是真命题B逆命题“若 m1，则函数 f(x)e xmx 在(0，) 上是增函数”是假
4、命题C逆否命题“ 若 m1，则函数 f(x)e xmx 在(0，) 上是减函数”是真命题D逆否命题“若 m1，则函数 f(x)e xmx 在(0，) 上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题逆否命题进行真假判断解析 命题“若函数 f(x)e xmx 在(0，)上是增函数，则 m1”是真命题，所以其逆否命题“若 m1，则函数 f(x)e xmx 在(0，) 上不是增函数” 是真命题探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键； (2
5、)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例命题“ 若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数” 的逆否命题是 ( C )A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数解析 由于“x，y 都是偶数” 的否定表达是“x ，y 不都是偶数 ”， “xy 是偶数”的否定表达是“xy 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若 xy 不是偶数，则 x，
6、y 不都是偶数”，故选 C.题型二 充要条件的判断例 2 已知下列各组命题，其中 p 是 q 的充分必要条件的是 ( D )Ap：m2 或 m6；q：yx 2mx m 3 有两个不同的零点 Bp： ；q：yf(x)是偶函数()1fCp：coscos；q：tantan Dp：ABA；q：AU，BU， UBUA思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断解析 对于 A，由 yx 2mxm 3 有两个不同的零点，可得 m 24(m3)0，从而可得 m6.所以 p 是 q 的必要不充分条件；对于 B，由 f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由 yf(x)
7、是偶函数不能推出 ，例如()1fx ()1fx第 3 页 共 9 页函数 f(x)0，所以 p 是 q 的充分不必要条件；对于 C，当 coscos0 时，不存在 tantan，反之也不成立，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件；对于 D，由 ABA，知 AB，所以 UBUA；反之，由 UBUA，知 AB，即 ABA.所以 pq.综上所述，p 是 q 的充分必要条件的是 D.探究提高 判断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可
8、利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题给出下列命题：“数列a n为等比数列”是“数列a nan1 为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数 f(x)|x a|在区间2 ，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线 (m3)xmy20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件；设 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b ，则“A30” 是“B60”的必3要不充分条件其中真命题的序号是 解析 对于，当数列a n为等比数列时，易知数列 anan1 是等比数列，但当数列anan1 为等比数列时，数列a n未必是等比数列，如数列 1,
9、3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列，而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列，因此正确；对于，当 a2 时，函数 f(x)|x a|在区间2 ，) 上是增函数，因此正确；对于，当 m3 时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正确；对于，由题意得 ，若 B60 ，则 sin A ，注意ba sin Bsin A 3 12到 ba，故 A30，反之，当 A30 时，有 sin B ，由于 ba，所以 B60或 B120，因此正32确综上所述，真命题的序号是.题型三 利用充要条件求参数例 3 已知集合 Mx|x5，Px|(xa
10、)(x 8)0(1)求实数 a 的取值范围，使它成为 MPx|50)若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围解 设 Ax|x 24x50 x|1x5 ，Bx|a34.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12 分) 已知 p： 2，q：x 22x1m 20 (m0)，且 的必要而不充分条件，求实|1 x 13 | pq是数 m 的取值范围审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组，得出结论规范解答解 方法一 由 q：x 22x1m 20，得 1mx1m， 2 分 ：Ax|x1 m 或 x0 ， 3 分由 p： 2
11、，解得2x10 ， 5 分|1 x 13 | ：Bx|x10 或 x9.m9. 12 分方法二 p 是 q 的必要而不充分条件，p 是 q 的充分而不必要条件， 2 分由 q：x 22x1m 20，得 1mx1 m ，q：Qx|1mx1m， 4 分由 p： 2，解得2x10 ，|1 x 13 |p：Px| 2x10 6 分p 是 q 的充分而不必要条件，P Q，Error!或Error!即 m9 或 m9.m9. 12 分答题模板第 5 页 共 9 页第一步：求命题 p、q 对应的参数的范围第二步：求命题 、 对应的参数的范围第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 且 q”或“p
12、 或 q”第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整老师在阅卷时，便于查找得分点.温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大
13、前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个) 作为大前提2 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3 命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若 p 则 q,若 q 则 p 的真假(2)等价法：利用 AB 与 ，B A 与 ，AB 与綈 B 的等价关系，对于条件或结论A是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A是 B 的充要条件失误与防范1 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以
14、先把命题改写成“若 p 则 q”的形式2 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解 “p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言A 组 专项基础训练一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)第 6 页 共 9 页1 (2012湖南)命题“ 若 ，则 tan1” 的逆否命题是 ( C )4A若 ，则 tan1 B若 ，则 tan 14 4C若 tan1，则 D若 tan1，则 4 4解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若 tan 1，则 .42 (2012福建)已知向量 a (x1,2)，b (2,1)，则 a b 的充要条件是 ( D )Ax Bx 1 Cx5
15、 Dx012解析 a(x1,2)，b(2,1)，ab 2(x1)21 2x.又 abab 0，2x0， x0.3 已知集合 Mx|0y，则 x|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x 1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题解析 对于 A，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题，这是因为 x|y|Error!，必有 xy；对于 B，否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x5，x 2251；对于 C，其否命题：若 x1，则x2x20，因为 x2 时，x 2x20，所以是假命题；对于 D，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题的逆
16、否命题是假命题，故选 A.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 下列命题：若 ac2bc2，则 ab；若 sinsin，则 ；“实数 a0”是 “直线 x2ay1 和直线 2x2ay1 平行 ”的充要条件；若 f(x)log 2x，则 f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是解析 对于，ac 2bc2，c 20，ab 正确；对于，sin 30sin 150则 30 150，所以错误；对于，l 1l 2A1B2A 2B1，即2a4aa0 且 A1C2A2C1，所以对；对于显然对第 7 页 共 9 页6 已知 p(x)：x 22xm0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m
17、的取值范围为3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12m0，解得 m3；又因为 p(2)是真命题，所以 44m0 ，解得 m5.q：m1xm1， ：xm1.q又 的充分而不必要条件，p是Error! 且等号不能同时取到，2m4.法二： qpB 组 专项能力提升一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1 (2012上海)对于常数 m、n， “mn0”是“方程 mx2ny 21 的曲线是椭圆” 的( B )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析 mn0 ，Error!或Error!当 m0，n0 且 mn 时，方程 mx2ny 21 的曲线是椭圆，第
18、 8 页 共 9 页当 m0，所以“mn0”是“ 方程 mx2ny 21 的曲线是椭圆”的必要不充分条件2 已知 p： 1，q：|x a|5” 的 ( B )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 Ax|4x4 ，若 AB，则 a4.a4D/a5，但 a5a4.故“AB”是“a5”的必要不充分条件二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 设有两个命题 p、q.其中 p：对于任意的 xR ，不等式 ax22x10 恒成立；命题 q：f(x)(4a3)x 在 R 上为减函数如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数 a 的取值范围是 (1 ，) (34，1
19、)解析 若命题 P 为真，当 a0 时，不等式为 2x10，显然不能恒成立，故 a0 不适合；当 a0 时，不等式 ax22x 10 恒成立的条件是Error! 解得 a1.若命题 q 为真，则 01a|a 或 a1 a|a1；34当 p 假 q 真时，a 的取值范围是a|a1a| 4”是假命题，则 x 的取值范围是_ 1,2)_ 解析 x2,5且 xx|x4是真命题由Error! 得 1xa，Bx|a2，即 a 时，A x|2x3a 113p 是 q 的充分条件，AB.Error! ，即 a .13 3 52当 3a12，即 a 时，A ，不符合题意；13当 3a12，即 a 时，A x|3a1x2 ，13由 AB 得Error!， a .12 13综上所述，实数 a 的取值范围是 . 12，13) (13，3 52
