1、要点梳理 1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,能够_ _的陈述句叫做命题.其中_的语句叫真命题, _的语句叫假命题.,1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,基础知识 自主学习,判断真,假,判断为真,判断为假,2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系,若q,则p,逆命题,逆否命题,否命题,(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有_的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性_. 3.充分条件与必要条件(1)如果pq,则p是q的_,q是p的_;(2)如果pq,qp,则p是q的_. 4.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否定命题的
2、结论;而命题的否定是只否定命题的结论.,相同,没有关系,充分条件,必要条件,充要条件,基础自测 1.有下列四个命题:“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;“若ab,则a2b2”的逆否命题;“若x-3,则x2+x-60”的否命题;“若ab是无理数,则a、b是无理数”的逆命题.其中真命题是_.解析 正确,错,错,在中,令则ab=2是有理数,故错.,2.（2010南通调研）“x1”是“x2x”的 _条件.解析 x1x2x,x2x x1. 3.(2010苏锡常镇四市模拟)已知集合A=x|x5,集合B=x|xa,若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是_.解析 由题意可
3、得A是B的真子集,故a5为所求.,a5,充分不必要,充分不必要,【例1】(2010南京调研)判断命题“若a0,则x2+ x-a=0有实根”的逆否命题的真假.解 方法一 写出逆否命题,再判断其真假.原命题:若a0,则x2+x-a=0有实根,逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a0,判断如下:x2+x-a=0无实根,=1+4a0, “若x2+x-a=0无实根,则a0”为真命题.,典型例题 深度剖析,方法二 利用命题之间的关系:原命题与逆否命题同 真同假(即等价关系)判断. a0,4a0,4a+10, 方程x2+x-a=0的判别式=4a+10, 方程x2+x-a=0有实根, 故原命题“若a0,则x
4、2+x-a=0有实根”为真命题. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若a0，则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真 命题.,跟踪练习1 (2008广东改编)命题:“若函数f(x)= logax(a0且a1)在其定义域内是减函数,则loga2 0”的逆否命题是_.,若loga20,则函数f(x)=logax,(a0且a1)在定义域内不是减函数,【例2】指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分 不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).(1)在ABC中,p:A=B,q:sin A=sin B;(2)对于实数x、y,p:x+y8,q:x2或y6;
5、(3)非空集合A、B中,p:xAB,q:xB;(4)已知x、yR,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.,解 (1)在ABC中,A=Bsin A=sin B, 反之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三 角形三个内角和为180), 所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 的充分不必要条件,由原命题和逆否 命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有x AB,所以p是q的必要不充分条件. (4)由已知得p:x=1且y=2,q:x=1或y=2, 所以pq但q
6、 p,故p是q的充分不必要条件.,跟踪练习2 (2010扬州模拟)指出下列各组命题中, p是q的什么条件？ (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0.(2)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边形. 解 (1)(x-2)(x-3)=0 x-2=0,x-2=0(x-2)(x-3)=0,p是q的必要不充分条件.(2)四边形的对角线相等 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形 四边形的对角线相等.p是q的既不充分又不必要条件.,【例3】(2010威海质检)下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若ab0，则a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60”的逆否命题，其中真命题的序号
7、是_(把所有真命题的序号填在横线上),跟踪练习3 (2009广东改编)给定下列四个命题: 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是_.,解析 当两个平面相交时,一个平面内的两条直线 可以平行于另一个平面,故不对;由平面与平面垂直的判定可知正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故正确. 答
8、案 ,【例4】(14分)已知抛物线C:y=-x2+mx-1和点A(3,0), B(0,3).求证:抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件是3m 此类问题的证明应从两方面进行,即证明充分性与必要性.解 必要性由已知得线段AB的方程为y=-x+3(0x3).由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点,所以方程组 (*) 有两个不同的实数解. 2分,分析,消元得x2-(m+1)x+4=0(0x3). 设f(x)=x2-(m+1)x+4,则有解之得3m 6分 充分性 当3m 时,8分 所以方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2, 且0x1x23,方程组(*)有两组不同的实数解. 综上
9、,抛物线y=-x2+mx-1与线段AB有两个不同交点的 充要条件是3m 14分,跟踪练习4 已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.证明 先证必要性.a+b=1,即b=1-a,a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.再证充分性.a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.ab0,即a0且b0,a2-ab+b2= a+b=1.综上可知,当ab0时,a+b=1的充
10、要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,高考中以考查充要条件的判断为重点,兼顾考查命题 的四种形式及命题的等价性;考查命题转换、逻辑推 理能力和分析问题、解决问题的能力;有时以充要条 件为载体. 通常以填空题的形式出现.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必 须保留大前提,也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或n个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的；命题有真假之分,而定理都是真的.,方法规律总结,3.命题的充要关系的判断方法(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法:即利用 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若AB，则A是B 的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.,返回,
