1、 考点 2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲解读 理解四种命题及相互关系；掌握反证法证题的步骤和方法 理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义 能够判断给定的两个命题的充要关系重点难点 四种命题及相互关系；判断给定的两个命题的充要关系命题探究 高考中对逻辑的考查主要考查四种形式的命题和充要条件,特别是充要条件,已经在许多省市的高考题中出现,命题形式主要有:一是原命题和逆否命题的等价性(含最简单的反证法);二是充要条件的判定,在考查基础知识的同时,还考查命题的转换、推理能力和分析问题的能力及一些数学思想方法的考查. 以代数、几何等内容为载体,判断两命题间的充要条件,常以客观题形式出现,反
2、证法作为一种方法,其难度不会大 本内容涉及的考点有：命题的判定；四种命题之间的关系；充分必要条件的判定与证明；充分必要条件的应用。高考赏析1.(2011陕西) 设 是向量，命题“若 ，则 = ”的逆命题是 ,abababA.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 = ，则【解析】D 2.（2011山东）对于函数 ， ， “ 的图象关于 轴对称”是()yfxR()yfxy“ 是奇函数”的()yfxA 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【解析】若 是奇函数，则 的图象关于 轴对称；反之不成立，比如偶函数 ，满()f ()yfx足 的图象关于 轴对称，但
3、不一定是奇函数，故选 B.()fy3.(2010北京) 若 , 是非零向量， “ ”是“函数 为一次函数”abab()(fxabx的A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】 ,如 ,则有 ,如果同时有 ,则函2()()()fxxxxAab0ba数恒为 0,不是一次函数,因此不充分,而如果 为一次函数,则 ,因此可得 ，故该条件必要。故选faB.4.(2010湖北) 记实数 123n 中的最大数为 max ，最小数为 min12,.nx.12,.nx已知 ABC 的三边长为 a,b,c（ ） ，定义它的倾斜度为 则abcma,.i,bcacl“
4、 =1”是“ ABC 为等边三角形”的lA.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】若ABC 为等边三角形时 ， 即 a=b=c，则 则 l=1；若ABC 为等腰三角形，max,1in,bcbca如 2,3abc时，则 ，此时 l=1 仍成立但ABC 不为等边三角形,所以 A 正32max,in,23bcabc确.5.(2006山东) 下列四个命题中,真命题的序号是_.(写出所有真命题的序号)将函数 的图象按向量 平移,得到的图象对应的函数表达式为 ;|1|y(10v |yx圆 与直线 相交,所得的弦长为 2;24x2yx若 则 ;sin(),
5、sin(),3tancot5如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,P 为底面 ABCD 内一动点,P 到平面AA1D1D 的距离与到直线 CC1的距离相等,则点 P 的轨迹是抛物线的一部分.【解析】将函数 的图象按向量 平移,得到的图象对应的函|yx(0)v数表达式应为 .故错误 ; 利用弦长公式得 .故错误; 由2 2|4ABrd解得 ， .故正确; P 到面 A A1 D1D 的距离为 P 到直线sin()135sinco61tanco5AAD 的距离,P 到 C1C 的距离为 PC,点 P 符合抛物线的定义,故正确.因此真命题的序号是基础巩固6.设 A、B 两点的坐标分别为 ,条
6、件甲是 :A、B、C 三点构成以 C 为直角顶点的三角)02(,(形;条件乙:点 C 的坐标是方程 的解,则甲是乙的 2yxA.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】利用图象法解题.故选 A.7.若函数 的定义域都是 R,则 )()(Rxgf成立的充要条件是)(,gxfA.有个 使得 B.有无数个 使得 R)(xf,)(xgfC.对 R 中的任意 ,使得 D.R 中不存在 使得 1g)(【解析】 )(f成立的充要条件是 R 中不存在 使得 .故选 D.f8.下列命题正确的是 “若 则 不全为零 ”的否命题.,02yxyx“正多边形都相似”的否命题
7、.“若 ，则 的解集为 R”的逆否命题.1a03)1(a“若 是有理数，则 是无理数”的逆否命题.5A. B. C. D.【解析】正确;错误;错误;正确.选 B.9.命题“若 不正确，则 正确”的逆命题的等价命题是 pqA.若 不正确,则 不正确 B.若 不正确,则 正确 q qpC.若 正确,则 不正确 D.若 正确,则 正确【解析】命题“若 不正确，则 正确”的逆命题 “若 正确,则 不正确”.选 C.10.给出下列各组条件：(1)2:0,:0;pab(2) |xyqyx(3) :,:m方程 2m有实根；(4) |1|1.其中 p是 的充要条件的有A1 组 B2 组 C3 组 D4 组BC
8、D1A1【解析】(1) p 是 q 的必要条件, (2) p 是 q 充要条件,(3) p 是 q 的充分条件,(4) p 是 q 的必要条件故选 A说明：ab0 指其中至少有一个为零，而 a2b 20 指两个都为零11.有以下四个命题 ():nN(1) 1;(2)23;n(3) 246;(4)凸 边形对角线的条数 (2)4.nf其中满足“假设 时命题成立，则当 时命题也成立” ，但不满足当0(,nkN1nk是题中给定的 的初始值）时命题成立“的命题序号是 .0(n【解析】 不满足当 是题中给定的 的初始值）时命题成立“的命题是(1)(3)(4);对于(1)(3)易知它们0n满足“假设 时命题
9、成立，则当 时命题也成立”.对于(4),假设 时结论成,) nk立,即 ,则当 时, 故(1)(3)正确.(2)kf1k2()()211(1).kkf f12.设命题 命题 .若 是 的必要而不充分条件,:|43|;px2: 0qxaxpq则实数 的取值范围是 . a【解析】解 得 解 得 由题设条件得 是|1.()().axqp的必要不充分条件,即1,2,1.a且 得,.pq2110.2a13.根据两类不同事物之间具有类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理.请用类比推理完成下表:平 面 空 间三角形的两边之和大于第三边 四面体的任意三个面的
10、面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的 12三棱锥的体积等于任一底面的面积与这底面上的高的乘积的 13三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的【解析】在从平面到空间的类比推理中,长度类比成面积,面积类比为体积,则应填“三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积乘积的 ”.1314.旅馆里住着 6 位旅客，他们分别来自：北京（B） 、天津（T） 、上海（S） 、扬州（Y） 、南京（N）和杭州（H） 。他们分别姓赵、钱、孙、李、周和吴，还知道：（1）老赵和北京人都是医生，老周和天津人都是教师，老孙和上海人都是工程师；（2）扬州人和老钱、老吴都是退伍军人，而
11、上海人从未参过军；（3）南京人和扬州人都比老赵岁数大，杭州人比老钱的岁数大，老吴最年轻；（4）老钱和北京人将一起去扬州，老孙和南京人要去广州。试根据条件确立每位旅客的籍贯。旅客 老赵 老钱 老孙 老李 老周 老吴籍贯【解析】由(1)知 老赵、老周、老孙均不是北京、天津、上海人；由(2)知 老钱、老吴均不是扬州、上海人；由(3)知 老赵不是南京、扬州人，老钱不是杭州人，老吴不是南京、扬州人，杭州人；由(4)知 老钱、老孙均不是北京、南京人利用图表法,可确定老赵是杭州人,老钱是天津人,老孙是扬州人，老李是上海人，老周是南京人，老吴是北京人。能力提高15.设 P:关于 的不等式 的解集是 ,Q:函数
12、 的定义域为 R,如果x1xa|0x2lg()yaxP和 Q 有且仅有一个正确,求 的取值范围.【解析】若 P 真,则 若 P 假,则01;ora若 Q 真,由 得 若 Q 假,则214a2又 P 和 Q 有且仅有一个正确,则01,.1raor故 的取值范围是a(0,).2应用创新16.设条件 其中 为实常数;条件 若 是 的1: ,pxbx,a2:140,qxpq必要条件,求 的取值范围.,ab【解析】方法一:解不等式 得240,38.在同一坐标系内分别作出函数 的图象,1ykx由图象知 1,.62ab方法二: ,xbx1,abx设 则 在 上单调慈减.(),1f()0()ff 38故max
13、in.62f1,.62知识清单 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 四种命题及其关系（1）四种命题命题 表述形式原命题 若 p，则 q逆命题 若 q，则 p否命题 若 ，则逆否命题 若 ，则（2）四种命题间的相互关系yxO1238ya1b（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。 充分条件与必要条件（1） “若 p，则 q”为真命题，记 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。（2）如果既有 q，又有 ，记作 ，则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件。纠错笔记 易错点一:命题的条件与结论混淆.对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。 易错点二:忽视原命题和逆否命题的等价性.掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。 易错点三:忽视命题的大前提.当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。
