1、 试题_2009_年_2010_年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009 级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 B 卷 考试方式: 开卷 闭卷 一. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1.设有节点 ，其对应的函数 的值分别为 ，则二次012,xyfx012,y拉格朗日插值基函数 为 。 ()l2.设 ，则 关于节点 的二阶向前差分为 2fxfx012,3xx。3.设 ， ，则 ， 。10A23x1A1x4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。n二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）1. 哪种线性方程组可用平方根
2、法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点x迭代序列收敛于 的不动点？x3. 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足 ，请简单说123n明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于 3 的多项式 ，满足下列插值条件：3Pxix1 2 3iy2 4 12i3并估计误差。 （10 分）四试用 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 。 （10 分）1,24n 10Idx五用 Newton 法求 的近似解。 （10 分）()cos0fx六试用 Doolittle 分解法求解方程组：（10 分）123256490x七请写
3、出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并1234850x判断其是否收敛？（10 分）八就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分）0()y数值分析（A ）卷标准答案（200920101）一 填空题（每小题 3 分，共 12 分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。12000()xl2n+二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4 分）对于对称正定阵 A，从 可知对任意 k i 有 。即 L 的元素21iikal|ikila不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）2. 解：（1）若 ，则称 为函
4、数 的不动点。 （2 分）*x*xx（2） 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点：x1） 是在其定义域内是连续函数； （2 分）2） 的值域是定义域的子集； （2 分）x3） 在其定义域内满足李普希兹条件。 （2 分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8 分）步 1：输入矩阵 A，初始向量 v0，误差限 ，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步 3：计算 vk=Auk-1;步 4：计算并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步 5：若|mk- | ，计算，输出 mk,uk；否则，转 6；步 6：若 kN,置 k:=k
5、+1, :=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系数法：设 满足 则 （3 分）2px2221,4,1,p2276,px再设 （3 分）32 3Kxx（1 分）（1 分）3239156pxx（2） （2 分）243 3!Rf x四解：应用梯形公式得 （2 分）1012Iff（1 分）.75应用辛普森公式得： （2 分）2110462Ifff1max;kkriinvv（1 分）0.694应用科特斯公式得：（2 分） 4113732279044Ifffff （2 分）.6五解：由零点定理， 在 内有根。 （2 分）cos0x(,)2由牛顿迭代格式 （4 分） 1
6、s0,1.innx取 得，04x（3 分）1234.7963;0.79851853x故取 （1 分）*40.7913x六解：对系数矩阵做三角分解：（2 分）12132132560419ul（4 分）56217344ALU若 ，则 ； （2 分）Lyb1230,y若 ，则 （2 分）Ux(,)T。七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为（2 分）0.5.1.B其特征多项式为 ，且特征值为2det().5I（2 分）1230,.,1.ii故有 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （1 分）.5B（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为（2 分）0.5其特征值为 （2 分）1230
7、,.5故有 ，因而雅可比迭代法收敛。 （1 分）.5B八证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）1. 证：该问题的精确解为 （2 分）0()xye欧拉公式为 （2 分）11)iiiihy对任意固定的 ，ix有 ， （2 分）/ 1/00()()i ihxhiyy则 （1 分）ixie2.证：牛顿迭代格式为 （3 分）125,0,16nxa因迭代函数为 而 又 ， （2 分） 2,x35,x*3a则。331062a故此迭代格式是线性收敛的。 （2 分）数值分析参考解答三计算题（每小题 7分，共 42分）：1. 设 , 试构造基函数求 的 2 次插值多项式 ,满足:xef)( )
8、(xf )(2xP. 1,0)(022 PP解 设 的基函数为 ，则它们满足下列关系 （1 分）)( )(1x0 1 x0)(2P1 e)(2P101 0 0)(x0 1 )(x00 0 1（2 分）(1) 令 ，则有 , 0200)(cxbax0)(100bca即 . 所以 .1,0020x或由 ，先得 .)1( )()(lkx再由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，即 .0l1l100kl1l所以 . （1 分）2x(2) 令 ，则有 ,121)(cxbax0)(111bca即 . 所以 .0,11 21(x或由 ,先得 . 再由 ，得 .)(k)(1k所以 . （1 分）2x(3) 令 ，则有
9、 ，220)(cba1)0(02 22bca即 . 所以0,122cba x20)(或由 ,先得 .)(01kx再由 ，得 ，即 . 所以 （1 分）k x20)1()最后得 . （1 分）()()() 20102 exfxfxfxP2. 求 在区间 -1,1 上的次最佳一致逼近多项式 ;f23)(解 设所求的 2 次最佳一致逼近多项式为 . 令 . （2 分）)(*2xP)(31)(*2xPfQ则 的首项系数为 1, 并且当 时, 与 的偏)(xQ )()(31)( 32*2Tf)(Q0差最小, 即 与 的偏差最小 . （2 分）f)(*2xP因为 上的 3 次切比雪夫 Chebyshev
10、多项式为 . （1 分）1, xT34)(3所以 . （2 分）xxTxfP 2)9(23)(4)( 3*2 3利用龙贝格公式计算定积分(计算到 即可)：1R71.2dx解 ， , （1 分）7,)(xf 16)7(2)(1 ffT,948.658)3(212 fT,274.1)3(27144 f)()0(8 f, （2 分）059.8626137. , ,594.4121TS 32.17342TS, （2 分）073484 T S C Rn=1 16 17.25904 17.32644 17.33283n=2 16.94428 17.32223 17.33273n=4 17.22774 17
11、.33207n=8 17.30599,3264.175162SC,4.(2 分)8.63121R4利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长 计算）2.0h解 令 ，则改进的尤拉公式为：xyf),(（2 分）),(,(),21 nnnn yxhffhy . （2 分)2)()(xhynn取 得， . （1 分)2.0h01nnn计算结果如下： xy1 11.2 1.461.4 2.06521.6 2.84754（2 分)5用牛顿法求方程 在 附近的根（只要求迭代步） 。023)(xf 3解 牛顿迭代公式为： （2 分)(1nnf. （2 分)(322nnx取迭代初值为 ，则迭代结果
12、如下表所示：0（3 分）nnx0 31 2.333332 2.05555.)6.(6写出解如下线性方程组的高斯塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯塞德尔迭代公式？.123,01x解 , , , , . （1 分）A0D03L03U0b则 , （1 分）112234L得 , （1 分）103061294GDU, （1 分）1314fLb为高斯-塞德尔迭代公式. （1 分）16001924kkkXGfX这时 的 2 个特征值为 ,故 ，迭代法不收敛. （1 分）12,01G若原方程 改写成为 , 这时 是严格对角1230x123x32A优势矩阵，则由此得到的迭
13、代法必收敛. （1 分）四证明题(每小题 9分,共 18分)：1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第小题的插值余项：, 并有误差估计)1(6)()(222 xePxfR)0.81|)(|2xR证：方法一：因为 ，则 是 的零点且 为二重的, (1 分)22f,2Rx0于是可设 ，令 (2 分)22()1Rxkx22()()(1),0tfPtkxtt则 有 4 个零点: ,连续使用三次罗尔定理,则 使 , (2()t00,分)即 , 得 . (2 ()()3!3!6fefkxkx2216eRxx分)方法二: 设 , 则 有 3 个零点 , (1222()() (1)fPtfttx()t0x分)有
14、 2+1 个零点,。 有一个零点，所以 (2(t()t 2()0()3!1fPfx分)(2 2()3!1fxPf分)， 即 . (2222 1()()()66fxfxex2216eRxx分)最后 . (22222 3(1)|1168eRxxx 分)2证明: 求积公式 恰有 次代数精度.)5(9)0(8)5(9)(1 fffdxf证：当 时， ， ()fx1f12; (1 分)538538(0)(0)1999ffff当 时， ,()fx2111()()xfxd; (1 分)53853853()(0)()(0)09959fff f当 时， ,2()fx131122()()xfxd; (122538
15、53853()(0)()(0)9959fff f分)当 时， ,3()fx113()()fxdx; (133585850(0)09959fff f分)当 时， ,4(fx151142()()xfxd; (1445385383()(0)()(0)99595fff f分)当 时， ,5()fx115()()fxdx. (1555383830(0)0999fff f分)即求积公式对次数不超过 的多项式准确成立, 但当 时，56()fx,171162()()xfxd, 不成立. (26653853853()(0)()(0)99592fff f分)综之，求积公式具有 5 次代数精度. (1分)数值分析试
16、题 11. 已知 都有 6 位有效数字，求绝对误差限。 （4 分）3254.0,3254*1X解： 由已知可知,n=62 分5.012,6.0*1 绝 对 误 差 限nkX2 分6021354 绝 对 误 差 限2. 已知 求 （6 分）0A2421,A解：1 分,8,1max11 分6A1 分Tmax2= 2 分01T42014018321 分3,81ax)(maxAT2323. 设 （6 分）32)()axf 写出 f(x)=0 解的 Newton 迭代格式 当 a 为何值时， （k=0,1）产生的序列 收敛于)(1kkx kx2解：Newton 迭代格式为： 3 分xaxaaxf kkk
17、k65)( 65)(6)( 231 3 分时 迭 代 收 敛即当 2,120)(,65)(2 aaxa4. 给定线性方程组 Ax=b，其中： ， 用迭代公式13A21b（k=0,1）求解 Ax=b，问取什么实数 ，可使迭代收)()()1( kkkxbx 敛 （8 分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为 2 分213AIB其特征方程为 2 分0)(2)1(I即，解得 2 分4,12要使其满足题意，须使 ，当且仅当 2 分1)(B5.05. 设方程 Ax=b，其中 ， 试讨论解此方程的 Jacobi 迭代法的2A176b收敛性，并建立 Gauss-Seidel 迭代格式 （9 分）解： UDLA3 分2
18、10)(1BJ 2 分0,0313JI即 ，由此可知 Jacobi 迭代收敛 1 分)(Gauss-Seidel 迭代格式：（k=0,1,2,3） 3 分)1(2)1()1(332)()(2)1(765kkkkkkxx6. 用 Doolittle 分解计算下列 3 个线性代数方程组： （i=1,2,3）其中iibAx， （12 分）2A31423121,97xbb解： 1x234971A= =LU 3 分102由 Ly=b1，即 y= 得 y= 1 分1097423由 Ux1=y，即 x1= 得 x1= 2 分021 2bAxx2=314由 Ly=b2=x1，即 y= 得 y= 1 分1010
19、由 Ux2=y，即 x2= 得 x2= 2 分0205. 3bAxx3=21405.由 Ly=b3=x2，即 y= 得 y= 1 分105.05.由 Ux3=y，即 x3= 得 x3= 2 分0205. 2.377. 已知函数 y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过 3 的 H 插值多项式，使 （6 分）133)(,)(yxHyxii 解：作重点的差分表，如下：3 分210210101001003 )(,)(,)(,)( xxfxxfxfxfH =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)= 3 分238. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用 Newton 前插公式给出
20、它的插值多项式 （7 分）解：由已知条件可作差分表，3 分（i=0,1,2,3）为等距插值节点，则 Newton 向前插值公式为：ihxi003321002210003 !)()(!)(!1)()( fhxxfhxfxfN =4+5x+x(x-1)= 4 分42x9. 求 f(x)=x 在 -1,1上的二次最佳平方逼近多项式 ，并求出平方误差 （8 分）)(2xP解：令 2 分2102)(xaxP取 m=1, n=x, k= ,计算得：(m,m)= =0 (m,n)= =1 (m,k)= =0dx1dx1 dx12(n,k)= =0.5 (k,k)= =0 (m,y)= =113141(n,y
21、)= =0 (k,y)= =0.5x2x3得方程组： 3 分5.0.12a解之得 （c 为任意实数，且不为零）c,20即二次最佳平方逼近多项式 1 分2)(cxxP平方误差： 2 分3),(2022 iiyafpf 10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合 Simpson 公式计算 的近似值1024dx（保留小数点后三位） （8 分）解：用复合梯形公式：)1(87)43(85)21(83)41(82)0(168 fffffffffT =3.139 4 分用复合 Simpson 公式：)()2()7(5)()(24 fffffffffS=3.142 4 分11.计算积分 ，若用复合 Simps
22、on 公式要使误差不超过 ，问区间20sinxdI 5102要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间 应分为多少, ,等分? （10 分）解： 由 Simpson 公式余项及 得xfxfsin)(,sin)(42 分54)4(204 102)(360max)(18)( nfnfRn 即 ，取 n=6 2 分.5,64即区间 分为 12 等分可使误差不超过 12,05102分对梯形公式同样 ，由余项公式得)(max20f2 分512)(1)(nfRn即 2 分,.254取即区间 分为 510 等分可使误差不超过 12,05102分12. 用改进 Euler 格式求解初值问题： 要求
23、取步长 h 为 0.1，计算1)(0sin2yxy（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6 分）解：改进 Euler 格式为：2 分 ),(),(211 nnn yxfyxfhy于是有（n=0,1,2） 2 分 )sinsin(05.)12121 nnn xyxyy由 y(1)= =1，计算得2 分83.0)1.(16.)si(2y即 y(1.1)的近似值为 0.83813. ,lim,),(,)( 00000 0 xfxfxfxfbaxCxf 证 明 ：定 义 ：设（4 分）证明：4 分,lilim 00 000 0xfxf xffff故
24、 可 证 出14. 证明：设 ， 为任意矩阵范数，则 （6 分）nRA A)(证明：设 为 A 的按模最大特征值， x 为相对应的特征向量，则有 Ax= x 1 分且 ，若 是实数，则 x 也是实数，得 1 分)(x而 2 分x A,故A由于 1 分Ax0x得 到， 两 边 除 以故 1 分A)(当 是复数时，一般来说 x 也是复数，上述结论依旧成立数值分析试题 21、 （本题 5 分）试确定 作为 的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。7解 因为 =3.142857=2103142857.0=3.141592所以（2 分）312005.01264.7 这里， 3,nm由有效数字的定义
25、可知 作为 的近似值具有 3 位有效数字。 （1 分）7而相对误差限（2 分）31025.04138.0126. r2、 （本题 6 分）用改进平方根法解方程组： ；6413232x解 设 11132 3232321 ldlLDAT由矩阵乘法得：（3 分）57,21,33212llldd由 解得yDxLbyT1,（3 分）T)9,70()5674(3、 （本题 6 分）给定线性方程组 1723835431431xx1）写出 Jacoib 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式；2）考查 Jacoib 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式
26、为（2 分） 7)217( 8(3210)5(3)()()(4 43()()( kkkkkkk xxxGauss-Seidel 迭代格式为（2 分）7)217( 8(32)10513)1()1()(4 43(3)()1( 4kkkk kkk xxx2）由于所给线性方程组的系数矩阵 721183050A是严格对角占优的，所以 Jacoib 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。 （2分）4、 （本题 6 分）已知方程 08.23x在 附近有一个根。将此方程改写成如下 2 个等价形式：5.10x8.0,.332xxx构造如下两个迭代格式：1） ,210,8.032kxxk2）
27、k判断这两个迭代格式是否收敛；解 1）记 ，则 ，328.0)(xx32)8.0()x（2 分）1475.0.1)5.()5.1()5. 323232 所以该迭代格式是局部收敛的。 （1 分）2）记 ，则 ，8.0)(3x8.023)(x（2 分）1.5.1).(32所以该迭代格式是发散的 （1 分）5、 （本题 6 分）设 23)()axf（1）写出解 的牛顿迭代格式；0(（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解 （1）因 ，故 ，由牛顿迭代公式23)()axf)(6)(32axf， （1 分）)(1nkf,10k得 ， （2 分）kkk xaxax65)(6321 ,10（2）因迭代函数 ，2
28、， （1 分）365)(xa3*x故 021)(65)( 3a此牛顿迭代格式是线性收敛的。 （2 分）6、 （本题 9 分）给定数据（1） 写出 的 3 次 Lagrange 插值多项式 ；)(xf )(3xL（2） 写出 的 3 次 Newton 插值多项式 ；N解 （1）由题意知 5,2,031xx2)(,4)()()( 32ffff)()() 3020103 xxxfL)()(312101f)()(321202xxxf（3 分）)()(231303f )52(3)0()5()2(1 xxxx)()(2)3()0(45315231xxx（2 分）)(2)(（2）用牛顿插值公式，构造差商表（
29、3 分）x 0 2 3 5f(x) 1 -3 -4 20 12 323 4315 2 3 45则有 )3(2)0(51)2(031)(21)(3 xxxxN（1 分）37、 （本题 6 分）作一个 5 次多项式 使得)(xH2)4(,1)2(,)1( 33H解 构造有重节点的牛顿插商表（4 分）则有 )2(1)(6)1(23)(2xxxH（2 分）35528、 （本题 6 分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合： ix0 1 2 3 4 5 6iy15 14 14 14 14 15 16解 设 ，则上表可化为x3,14i 210 1 2 3iy1 0 0 0 0 1 2这时，取 ，并设所求二次
30、多项式为2210 )(,)(,)(xx，容易得到*2 aax， ，71),(320i 0),(310iix28),(32iix1 31 3 22 462 1 5 114 3 2 36254 3 2 0 43， ，28),(31iix0),(321iix196),(342iix， ， （3 分）4),(30iiy5),(31iiy),(322iiy得正规方程组如下： 319628547*2*01a解得 即 （2 分）,71*0a 2857xy回代得 （1 分）2)3(85)(24xxy9、 （本题 5 分）给定求积节点 试推出计算积分 的插值型求积公,4,1010)(dxf式解 由于 43,10
31、x所以 （1 分）)3(21)(0xl（1 分）)14(3)(1xxl（1 分）2)3(2)(100ddxlA（1 分）41 x故求积公式为 （1 分）)4()(10fff10、 （本题 6 分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分： 91dx4n解 （1）用梯形公式，4n219h（3 分）2740.1)9()(2314 fxffTii（2）用辛普森公式（3 分）32087.1)9(2)(4)1(631304 fxfxffhSiiii11、 （本题 8 分）求高斯型求积公式 的系数)()(100 xfAfdf.,1010xA及 节 点解 令 ：为 权 的 二 次 正 交 多 项 式构 造 以 x
32、)(,)(（1 分）)()() 0112201x由 得 53),(10201 dx 53)(1x再由 （2 分）.042)53(),(10212 dxxx（1 分）06857.12),(102011 x得 230966857.3(45) 22 xx所以 的根为 （2 分）(150,910x（2 分）38912.0)(7.1010 100 dxdxlA12、 （本题 6 分）设 为 次多项式， 为 个互异点， 为fkn,210)(xLn的 次插值多项式。若 ，试证 。)(xfnn)(xfLn解：因为 为 次多项式，所以， （2 分）fk!)(kfk又因为 ，故有 （2 分）0)(1xfn由插值关
33、系可知： （2 分）)()!1(xLxfLf nnnn所以， )(xfLn13、 （本题 10 分）设 ，求 及谱半径 。53A21,A)(解 由定义得（2 分）8,max11 nijj（2 分）,1njijiA又由于 ，而)(max2AT（2 分）34053AT)4(60)(42 IT所以， 。 （2 分）862A因为 )2(89)5(352 I所以 （2 分）8)(A14、 （本题 6 分）写出用 4 阶经典龙格-库塔法求解初值问题 的计算公式，并取)0(38y步长 ，计算 的近似值，小数点后至少保留 4 位。2.0h).(y解 ，于是xf38),(（4 分）nnnnnnn ykyhxfk
34、fyyhkkk3156.084.),( 722),(60.1)232321 43故 ，由于nnyy561.02.1 2)0(y故 （2 分）483.).(215、 （本题 9 分）给定矩阵 试用幂法求出 的按模最大的特征值，精确至9.0AA5 位有效数解 幂法计算公式：取 ，作如下迭代：0u， ， ，1kAv)max(kkvkvu,21其中 表示 中（首次出现的）绝对值最大的分量，则)ax(kk（1 分）)(li1k计算如下：10u 9.3102.3901Auv（2 分）2m359.011u 9176.3058325.01912Auv（2 分）782m309.12u 9708.330.1923
35、uv（2 分）230.1u 9703.30.193Auv94m（2 分9.1数值分析试题 3 给 定 的 数 据 如 下 分，又 因 为 ，且设所 以 分，故 分， 由 于 插 值 多 项 式 。的 三 次，解 ： 先 求 出 满 足 ， 使 得次 的 代 数 多 项 式求 一 个 次 数 不 超 过分 分故 分， 则令 ，则 有令 分为所 以 可 知 牛 顿 迭 代 公 式 分，的 单 根 。 又 因 为为 方 程， 所 以解 ： 因 为 的 值式 求的 迭 代 公 式 ， 并 用 此 公， 导 出 求应 用 牛 顿 法 于 方 程分 分所 以 就 有 分分分 分分解 ：消 元 法列 主 元
36、分.4 3412,41A21 00,3 2,1,232 , 2101010124.37.805. 2738059.172805.1732089.1629134, .1121 501.27012 1043025712120504733150104732 190342050312 251473320.72243 3424 2111113 334 4444320 33321 3*224311 xxxxxxxlgllhxgx fffxffhf HermitPxxxxa xaxaxfxffaxafaxfxxxGauskk kkkkk分分差 商 表由 图 中 所 给 出 数 据 构 造 分插 值 多 项
37、式 为故 分 分分 分解 ：的 三 次 牛 顿 插 值 多 项 式写 出 项 式的 三 次 拉 格 朗 日 插 值 多写 出 给 定 的 函 数 值 如 下 ：分3251321 ,034, ;34251,;12, 35,34,03,2 21252151 30131526523130 15205212 ;,5,43,2,10.4021321010210021 2210 3221030231332102130120 3 xx xxxfxffNf xfxf xfxxx lflfxlflfLLagrnexxxl xxxxl xNf xLx ffff 分有 唯 一 跟在收 敛 方 程 分 分；即，解 ： 其 收 敛 阶对 于 收 敛 函 数 的 迭 代 求 性在 所 给 的 区 间 上 的 收 敛， 试 讨 论已 知 迭 代 函 数分 121,0,210,14 21,0,21052021, ,1.5 1 xgxgxLg xgxgxxnndef nn
