1、 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 3.142 和 3.141 分别作为 的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A4 和 3 B3 和 2C3 和 4 D4 和 42. 已知求积公式21 21()()636fxdfAff，则 A（ ）A 6 B 3 C 2 D3. 通过点 01,xy的拉格朗日插值基函数 01,lx满足（ ）A 0l0， 10l B 0l0， 1l C 0lx1， 1lx D 0lx1， 1lx4. 设求方程 0f的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。A超线性 B平方 C 线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组1230xx作第一次消元后得到的第 3 个方
2、程（ ）.A 23x B 231.5.xC 23 D 230 单项选择题答案1.A 2.D 3.D 4.C 5.B得 分评卷人二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设TX)4,32(, 则 1|X ， 2| .2. 一阶均差 01fx 3. 已知 3n时，科茨系数33012,88C，那么3C4. 因为方程 42xfx在区间 ,上满足 ，所以 0fx在区间内有根。5. 取步长 0.1h，用欧拉法解初值问题 21yx的计算公式 . 填空题答案 1. 9 和 2 2. 01fxf3. 184. 120f5. 120,01,kykL得 分评卷人三、计算题（每题 15 分，共 60 分）1.
3、已知函数 21yx的一组数据：求分段线性插值函数，并计算 1.5f的近似值.计算题 1.答案 1. 解 0,1x， 10.51.xLx%,2x，2020.381xxx所以分段线性插值函数为10.5,1832xLx%1.50.150.2. 已知线性方程组1237.854.x（1） 写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值0,X，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算 1（保留小数点后五位数字）.计算题 2.答案 1.解 原方程组同解变形为123300.728.4xx雅可比迭代公式为 1232113200.78.4mmxx(,1.)高斯塞德尔迭代法公式 123121132
4、00.78.4mmxx(0,1.)用雅可比迭代公式得 1.7,.3,.840X用高斯塞德尔迭代公式得0.2,.9,1.63. 用牛顿法求方程 31x在 ,之间的近似根（1）请指出为什么初值应取 2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001.计算题 3.答案 3. 解 31fx， 30f， 210f 2f， fx， 4f，故取 2x作初始值迭代公式为 3111 2nnnfxxx 312()nx或， 1,2.02x， 3121.89，322.89.87451x21.940.332.8751.87994x， 320.6.01x 方程的根 1.87x 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别
5、计算积分10dx. 计算题 4.答案 4 解 梯形公式2baafxdffb应用梯形公式得1010.752dx辛卜生公式为4()62baaabfxdfff应用辛卜生公式得10010()xfff462536得 分评卷人四、证明题（本题 10 分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有 3 次代数精确度101hfxdAfhfAfh证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数，即 10,，将 2,fx分别代入求积公式，并令其左右相等，得1012312()Ahh得 13Ah， 04A。所求公式至少有两次代数精确度。 又由于3344hhhxd故033h hfxdfhff具有三次代数精确度
6、。 一、 填空（共 20 分，每题 2 分）1. 设 2.31495.x，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x= .2.设一阶差商 2112 4, 3fxff， 322365, 4fxff则二阶差商 123,_fx3. 设 (,)TX, 则 2|X ， | 。4求方程 21.50x 的近似根，用迭代公式 1.25x，取初始值 01， 那么 _。 5解初始值问题 0(,)yfx近似解的梯形公式是 1_ky。6、 1A，则 A 的谱半径 。 7、设 2()35, , 01,2. kfxxh，则 12,nfx 和 12,nn。 8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅
7、可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。10、为了使计算2310()(1)yxx的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 填空题答案1、2.31502、2312123 53,1, 46fxfxfx 3、6 和 44、1.55、1,2kkkhyfxyfy6、 ()6A7、 12123,3,0nnnfxfxx 8、 收敛 9、 h10、1302()(1)yxx二、计算题 （共 75 分，每题 15 分）1设 320129(), 44fxx（1）试求 f在 9,上的三次 Hermite 插值多项式 x使满足 11(),0,2. ()j
8、jHxHxf以升幂形式给出。（2）写出余项 ()()Rxfx的表达式计算题 1.答案 1、（1） 321463125045xx（2）2999()(),(),! 4Rx2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 计算题 2.答案 2、由 ()x，可得 3()xx，1()3()2xx1()() 2xx 因 ， 故 11()22x （ ） -1()()3 ,k=0,. kkk故 收 敛 。3 试确定常数 A，B，C 和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss型的？计算题 3.答案 3、 10612,9
9、5ACBa，该数值求积公式具有 5 次代数精确度，它是 Gauss 型的 4 推导常微分方程的初值问题 0(,)yfx的数值解公式：111(4)3nnnhyy（提示： 利用 Simpson 求积公式。）计算题 4.答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 ()yfx在区间 1,nx上积分，得11()()(,)nxnyxfydx，记步长为 h, 对积分 1(,)nxfydx用 Simpson 求积公式得 1 11112(,)()4()(4)63nx nnnnnhhfydxffxfyy 所以得数值解公式： 111()3nnnhyy5 利用矩阵的 LU 分解法解方程 组 12345180xx
10、计算题 5.答案 5、解：12321435ALU (14,072), (1,23) .TTybUxy令 得 得三、证明题 （5 分）1设 ，证明解 的 Newton 迭代公式是线性收敛的。证明题答案 1、 32231321 23333 (), ()6(), :,01.()5,01,.665 (), (),65 , 6nnnnnfxafxaNewtonxxaxaxxa 证 明 ： 因 故 由 迭 达 公 式 得因 迭 达 函 数 而又 则 0,2故 此 迭 达 公 式 是 线 性 收 敛 的 。一、填空题（20 分）(1).设 *2.40315x是真值 2.4019x的近似值，则 *x有 位有效
11、数字。(2). 对 1)(3xf, 差商 3,210f( )。(3). 设 2,7TX, 则 |X 。(4).牛顿 柯特斯求积公式的系数和()0nkC。 填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（ 15 分）用二次拉格朗日插值多项式 2()sin0.34Lx计 算 的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算题 1.答案 1）0201122 012001122()()() =.36xxxLfffx2).（ 15 分）用二分法求方程 3()10.,5fx在 区间内的一个根，误差限 210。计算题 2.答案 2) 1
12、234566.1.71.253780Nxxx3).（ 15 分）用高斯- 塞德尔方法解方程组 25218431x，取T)0,()0x，迭代三次 (要求按五位有效数字计算). 。计算题 3.答案 3）迭代公式 )2(5184)2(11(2)(1)(3 )(3)1()(2()()( kkk kk xxxx4).（ 15 分）求系数 123,A和 使 求 积 公 式1123()()()()2fxdfff 对 于 次 数 的 一 切 多 项 式 都 精 确 成 立。计算题 4.答案 4）12312312309AAA5). (10 分)对方程组 84102532xx试建立一种收敛的 Seidel 迭代公
13、式，说明理由计算题 5.答案 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 123045831x故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为(1) ()()23()(1)()2(1)()()312 4 50 8 150k kkk kxxxx取 T)0,()x,经 7 步迭代可得： T)01.,32695.0,491.()7*.三、简答题1)（ 5 分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（ 5 分）先叙述 Gauss 求积公式, 再阐述为什么要引入它。一、填空题（20 分）1. 若 a=2.42315 是 2.42247 的近似值，则 a 有( )位有效数字.2.
14、 )(,)(,10xllxn 是以 n,10 为插值节点的 Lagrange 插值基函数，则nil0( ).3. 设 f (x)可微，则求方程 )(xf的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式 fBXkk)()1( 收敛的充要条件是 。5. 解线性方程组 Ax=b (其中 A 非奇异，b 不为 0) 的迭代格式fx)()1(kkB中的 B 称为( ). 给定方程组 458921x，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。填空题答案132. x3.1()nnfx4. ()B5.迭代矩阵， 1()2()218945kkxx得 分评卷人二、判断题（共 10 分）1. 若 0)(bfa，则 0)(xf在 )
15、,(ba内一定有根。 ( )2. 区间a,b 上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )3. 若方阵 A 的谱半径 1)(，则解方程组 Ax=b 的 Jacobi 迭代法收敛。( )4. 若 f (x)与 g (x) 都是 n 次多项式，且在 n+1 个互异点 nix0上)(iixf，则 f。 ( )5. 用21x近似表示 xe产生舍入误差。 ( )判断题答案 1. 2. 3. 4. 5.得 分评卷人三、计算题（70 分）1. （10 分）已知 f (0) 1，f (3) 2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数 l1(x)=( )， 4,30f=( ), 插值多项式
16、P2(x)=( ), 用三点式求得 (f( ).计算题 1.答案 177203(4),1(),3256xx由 插 值 公 式 可 求 得 它 们 分 别 为 ： 和2. （15 分） 已知一元方程 02.13x。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的 Newton 迭代法公式。计算题 2.答案 2.（1） (0)1.2 ,()1.80 ()(0,2)fffx又 连 续 故 在 内 有 一 个 正 根 ,（2） 收 敛3132)2,0(33 2.,.1ma.(),. nnx xxx （3）3212.()3,nnfxxx3. （15
17、 分）确定求积公式 )5.0()()5.0()(11 CfxBfAfdf 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题 3.答案 2312311 4(),0.5.0542,3 ()(0.5)(0.5),(,32156fxABCxACBfxdffffx3.假 设 公 式 对 精 确 成 立 则 有解 此 方 程 组 得 求 积 公 式 为 当 时 左 边 右 边 左 3边 右 边 代 数 精 度 为 。4. （15 分）设初值问题 101)(23xyx. (1) 写出用 Euler 方法、步长 h=0.1 解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的 Euler 法（梯形法）、步
18、长 h=0.2 解上述初值问题数值解的公式，并求解 21,y，保留两位小数。计算题 4.答案 4. 1()0.(3)0.3.nnnyxx1 111 20.2.2(2) ()(.2)=0.6063343.57, .58204nnnnnnyyyxyy 迭 达 得 5. （15 分）取节点 1,5.0,210xx，求函数 xey在区间 1,0上的二次插值多项式 )(2P，并估计误差。计算题 5.答案 5)5.0)(015.1.)0(5.01)( .0.01.2 xeexexp=1+2( )5.()2()15.015.0 xexe)1(5.0!3(,ma, 21,03 xfpyMyxxx 时0x，)1
19、(5.0!3)(2xex一、填空题 ( 每题 4 分，共 20 分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、设 ()0,12)jlxn 是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ()jilx (,01,2)ijn ；0njl。3、设 ()0,12)jlxn 是区间 ,ab上的一组 n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 jA ；且0njjA。4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。5、 2()1,fx则 ,3_,123,4_f f。填空题答案1.相对误差 绝对误差 2.1,0ij13. 至少是 n ()bkalxdb-a 4. 3 4()
20、(,(,)1802fab5. 1 0二、计算题1、已知函数 ()yfx的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式 3()Px，并计算13()2P的近似值。计算题 1.答案 解：差商表由牛顿插值公式： 323348() 1,1()()22pxNxx2、（10 分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长 0.1h，1,(0,.6)(0).yx。计算题 2.答案 解：010(,)1,.1,.()(23),.;.;.;.09;5694013nnkfxyxyh3、（15 分）确定求积公式 012()()(0)()hfxdAfhfAfh。中待定参数 iA的值 (,12)，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求
21、积公式的代数精度。计算题 3.答案 解：分别将2()1,fx，代入求积公式，可得 0214,3Ah。令3()f时求积公式成立，而4()fx时公式不成立，从而精度为 3。4、（15 分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。计算题 4.答案 解：设 yabx则可得51305.ab于是 2.45,1.，即 2.41yx。5、（15 分）用二分法求方程 3()f在区间 1,.5内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2) 给出满足要求的近似根。计算题 5.答案 解：6 次； *1.32x。6、（15 分）用列主元消去法解线性方程组12346,350.xx计算题 6.答案 解：234630243025550661/4/2190/41/2930812即12312340,88xxx
