1、压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0) ，点 B 在直线 l：x 1 上运动，过点 B 与 l 垂直的直线和线段 AB 的垂直平分线相交于点 M.(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；(2)过(1)中轨迹 E 上的点 P(1，2)作两条直线分别与轨迹 E 相交于 C(x1，y 1)，D( x2，y 2)两点.试探究：当直线 PC，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线 CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解 (1)依题意，得|MA| |MB|.动点 M 的轨迹 E 是以 A(1，0)为焦点，直 线 l：x1
2、 为 准线的抛物线， 动点 M 的轨迹 E 的方程为 y24x.(2)P(1，2)，C(x 1，y1)，D(x2，y2)在抛物线 y24x 上，Error!由得，(y 1y 2)(y1y 2)4(x 1x 2)，直线 CD 的斜率为 kCD . y1 y2x1 x2 4y1 y2设直线 PC 的斜率为 k，则 PD 的斜率为k，则直线 PC 方程为 y2k(x1) ，由Error! 得 ky24y 4k 80.由 2y 1 ，求得 y1 2，4k 4k同理可求得 y2 2.4kk CD 1，4y1 y2 44k 2 4k 2直线 CD 的斜率为定值1 .2.如图所示，椭圆 1(a b0)的上、
3、下顶点分别为 A，B，已知点 B 在直线x2a2 y2b2l：y1 上，且椭圆的离心率 e .32(1)求椭圆的标准方程；(2)设 P 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，PQy 轴，Q 为垂足，M 为线段 PQ 的中点，直线 AM 交直线 l 于点 C，N 为线段 BC 的中点，求证：OMMN.(1)解 依题意，得 b1.因为 e ，又 a2c 2b 2，所以 a24.ca 32所以椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)证明 设点 P 的坐标为(x 0，y0)，x00，因为 P 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，所以 y 1.x204 20因为 PQy 轴，Q 为垂足，所以点 Q 坐标为(0
4、 ，y0).因为 M 为线段 PQ 的中点，所以 M .(x02，y0)又点 A 的坐标为(0，1) ，可得直线 AM 的方程为 y x1.2y0 1x0因为 x00，所以 y01，令 y1，得 C .(x01 y0， 1)因为点 B 的坐标为(0，1) ，点 N 为线段 BC 的中点，所以 N .(x021 y0， 1)所以向量 .NM (x02 x021 y0，y0 1)又 ，OM (x02，y0)所以 y 0(y01)OM NM x02x02 x021 y0 y y 0x204 x2041 y0 20 y 0(x204 y20) x2041 y01(1y 0)y 00.所以 OMMN .
5、3.椭圆 E： 1(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e .设动直线x2a2 y2b2 22l：ykxm 与椭圆 E 相切于点 P 且交直线 x2 于点 N，PF 1F2 的周长为 2( 1).2(1)求椭圆 E 的方程；(2)求两焦点 F1、F 2 到切线 l 的距离之积；(3)求证：以 PN 为直径的圆恒过点 F2.(1)解 设 F1(c ，0)，F2(c，0)，则Error! 解得 a ，c1.2b 2a 2c 21，椭圆 E 的方程为 y 21.x22(2)解 由Error!(12k 2)x24kmx2( m21) 0.设直线 l 与椭圆 E 相切于点 P(x0，y0)
6、，则 0 ，化 简 2k21m 2，焦点 F1，F2 到直 线 l 的距离 d1，d2 分别为 d1 ，d2 ，| k m|k2 1 |k m|k2 1则 d1d2 1.m2 k2k2 1 k2 1k2 1(3)证明 x 0 ，2km1 2k2 2kmy 0kx 0m m ，2k2m m2 2k2m 1mP( ， ).2km1m又联立 ykxm 与 x2，得到 N(2，2km) ，(1 ， )， (1， 2km ).PF2 2km 1m F2N (1 ， )(1，2km )PF2 F2N 2km 1m1 (2km)2km 1m1 10.2km 2km ，PF2 F2N 以 PN 为直径的圆恒过
7、点 F2.4.已知椭圆 C： 1(ab0)的短轴长为 2，离心率为 ，过点 M(2，0)的直线 l 与椭x2a2 y2b2 22圆 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 的取值范围；OA OB (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N，证明：直线 AN 恒过一定点.(1)解 由题意知 b1， e ，ca 22得 a22c 22a 22b 2，故 a22.故所求椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)解 设 l：yk (x2)，与椭圆 C 的方程联立，消去 y 得(12k 2)x28k 2x8k 220.由 0 得 0k 2 .12设 A(x1，y1)
8、，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，x1x2 ，8k21 2k2 8k2 21 2k2 x 1x2y 1y2x 1x2 k2(x12)(x 22)OA OB (1k 2)x1x22k 2(x1x 2)4k 2 5 .10k2 21 2k2 71 2k20k 2 ， 7，12 72 71 2k2故所求范围是2， ).32(3)证明 由对称性可知 N(x2，y 2)，定点在 x 轴上，直线 AN：yy 1 (xx 1).y1 y2x1 x2令 y0 得：xx 1 y1x1 x2y1 y2 x1y2 x2y1y1 y2 2kx1x2 2kx1 x2kx1 x2 4 2x1x2 2x1 x2x1 x2 4 1，16k2 41 2k2 16k21 2k28k21 2k2 4故直线 AN 恒过定点(1，0).
