1、证明共线、共面问题一、共面问题1. 下列说法正确的是( )任意 3 点确定一个平面；圆上的 3 点确定一个平面；任意 4 点确定一个平面；两条平行线确定一个平面A BC D2以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A，B ，C，D 共面，点 A，B，C ，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面；若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是( )A0 B1C2 D33. 如图是正方体或四面体，P ，Q ，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )4. 如图 1211，在正方体 ABCDA1B1C
2、1D1 中，设 A1C平面 ABC1D1E.能否判断点 E 在平面 A1BCD1 内？图 12115. 证明两两相交且不共点的 3 条直线在同一平面内6. 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内7. 已知直线 ab，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过 a，b，l 有且只有一个平面8. 求证：如果两两平行的 3 条直线都与另一条直线相交，那么这 4 条直线共面二、共线问题1. 如图 1212，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设 A1C平面 ABC1D1E.能否证明B，E，D 1 三点共线图 1212学 2. 如图 1213，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中
3、，点 M，N，E，F 分别是棱CD，AB，DD 1，AA 1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D，A，Q 三点共线. 图 12133. 已知 ABC 在平面 外，其三边所在的直线满足 ABP，BCQ，ACR，如右图所示求证：P，Q，R 3 点共线4. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C 1B1 的中点，ACBDP ，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E 4 点共面；(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P， Q，R 3 点共线5. 如图 1214，在四边形 ABCD 中，已知 ABCD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与
4、平面 相交于点 E，G，H，F.求证：E，F，G，H 四点必定共线. , ,k 图 1214三、共点问题1. 如图 1215，已知平面 ， ，且 l.在梯形 ABCD 中，AD BC ，且 AB，CD .求证：AB，CD，l 共点(相交于一点)图 12152. 如下图所示，在四面体 ABCD 中，E，G 分别为 BC，AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD上，且有 DFFCDHHA23.求证：EF，GH，BD 交于一点3. 如右图所示，在空间四边形各边 AD，AB ，BC，CD 上分别取 E，F，G，H 四点，如果EF，GH 交于一点 P，求证：点 P 在直线 BD 上参考答案证明共线、
5、共面问题一、共面问题1. 答案：C2解析：选 B 假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点 A，B，C ，但是若 A，B ，C 共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形学 3. 解析：选 D A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面4. 【提示】 如图，连接 BD1，A 1C平面 ABC1D1E，EA 1C，E平面 ABC1D1.A 1C平面 A1BCD1，E 平面 A1BCD1.5. 解 已知：如图所示，l 1l2A，l2l3B，l 1l
6、3C. 求证：直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内法一：(纳入平面法)l 1l2A，l 1 和 l2 确定一个平面 . l 2l3B，Bl 2. 又l 2，B .同理可证 C.又Bl 3，Cl 3，l 3. 直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内法二：(辅助平面法)l 1l2A，l 1，l 2 确定一个平面 . l 2l3B，l 2，l 3 确定一个平面 .Al 2，l 2，A. Al 2，l 2，A.同理可证 B，B ，C，C .不共线的三个点 A，B，C 既在平面 内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内6. 【精彩点拨】 四条直线两两相交且不共点，
7、可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况解析：已知：a，b，c，d 四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d 四线共面证明：(1)若 a，b，c 三线共点于 O，如图所示，Od，经过 d 与点 O 有且只有一个平面 .A、B、C 分别是 d 与 a、b、c 的交点，A、B、C 三点在平面 内由公理 1 知 a、b、c 都在平面 内，故 a、b、c 、d 共面(2)若 a、b、c、d 无三线共点，如图所示，abA，经过 a、b 有且仅有一个平面 ，B、C.由公理 1 知 c. 同理，d ，从而有 a、b、c、d 共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点
8、，这四条直线在同一平面内7. 【证明】 如图所示，由已知 ab，所以过 a，b 有且只有一个平面 .设alA，blB，A ， B ，且 Al，Bl ，l.即过 a，b，l 有且只有一个平面8. 解：已知：abc，laA，l bB，l cC.求证：直线 a，b，c 和 l 共面证明：如图所示，因为 ab，由公理 2 可知直线 a 与 b 确定一个平面，设为 .因为 laA，lbB，所以 Aa，Bb，则 A ，B .又因为 Al，Bl，所以由公理 1 可知 l.因为 bc，所以由公理 2 可知直线 b 与 c 确定一个平面 ，同理可知 l.因为平面 和平面 都包含着直线 b 与 l，且 lbB，而
9、由公理 2 的推论 2 知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面 与平面 重合，所以直线 a，b，c 和 l 共面二、共线问题1. 由于平面 A1BCD1 与平面 ABC1D1 交于直线 BD1，又 EBD 1，根据公理 3 可知B，E，D 1 三点共线2. 【精彩点拨】 欲证 D、A、Q 三点共线，只需说明三点均在平面 AD1 和平面 AC 的交线DA 上即可解析：MNEFQ，Q直线 MN，Q直线 EF， 学 又M直线 CD，N直线 AB，CD平面 ABCD，AB平面 ABCD.M、N平面 ABCD，MN平面 ABCD.Q平面 ABCD.同理，可得 EF平面 ADD1A1. Q 平面
10、 ADD1A1，又平面 ABCD平面 ADD1A1AD，Q直线 AD，即 D，A，Q 三点共线3. 证明 法一：AB P，PAB，P 平面 .又AB 平面 ABC，P平面 ABC.由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC与平面 的交线上P，Q，R 3 点共线法二：APARA，直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR.又ABP ，ACR，平面 APR平面 PR.B平面 APR，C平面 APR，BC 平面 APR.QBC，Q平面 APR，又 Q，QPR ，P， Q，R 三点共线4. 证明：如图(1)连接 B1D1，EF 是D 1B1C1 的中
11、位线，EFB 1D1.在正方体 AC1 中，B 1D1BD ，EFBD.EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F ，E 四点共面(2)正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为 ，又设平面 BDEF 为 .QA 1C1，Q.又 QEF，Q .则 Q 是 与 的公共点，同理 P 是 与 的公共点， PQ.又 A1CR， RA 1C. R，且 R，则 RPQ .故 P，Q，R 3 点共线5. 【证明】 ABCD，AB，CD 确定一个平面 ，又ABE ，AB，E，E ，即 E 为平面 与 的一个公共点同理可证 F，G，H 均为平面 与 的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H 四点必定共线三、共点问题1. 【证明】 梯形 ABCD，ADBC，AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰，AB，CD 必定相交于一点如图，设 ABCDM .又AB ，CD ，M ，且 M，M ，又l， Ml，即 AB，CD，l 共点2. 学 3. 证明：EFGHP ，PEF 且 PGH.又EF 平面 ABD，GH平面 CBD，P平面 ABD，且 P平面 CBD，又 P平面 ABD平面 CBD，平面 ABD平面 CBDBD，由公理 3 可得 PBD.点 P 在直线 BD 上.
