1、1第 7 章 锐角三角函数7.6 第 2 课时 与圆有关的问题知识点 与圆有关的问题1如图 7614，直线 AB 与 O 相切于点 A， O 的半径为 2，若 OBA30，则OB 的长为( )A4 B4 C2 D23 3图 7614图 76152某资料曾记载一种计算地球与月球之间距离的方法，如图 7615，假设赤道上有一点 C， ACB90，可以测量 A 的度数，则 AB 等于( )A. B ACcosAACcosA2C. D ACsinAACsinA3小李到公园游玩时去坐大型摩天轮，摩天轮的半径为 20 m，匀速转动一周需要 12 min，小李乘坐最底部的车厢(离地面 1 m)，经过 2 m
2、in 后到达点 Q(如图 7616 所示)，则此时他离地面的高度是( )A10 m B11 mC. m D( 1)m2 2图 76 16图 76174如图 7617，某航天飞船在地球表面点 P 的正上方 A 处，从 A 处观测地球上的最远点 Q，若 QAP ，地球半径为 R，则航天飞船距离地球的最近距离 AP 及 P， Q 两点间的地面距离分别是( )A. ， B. R，Rsin R180 Rsin （ 90 ） R180C. R， D. ，Rsin （ 90 ） R180 Rcos （ 90 ） R1805小聪有一块含有 30角的三角尺，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图
3、 7618 的方法，小聪发现点 A 处的三角尺读数为 12 cm，点 B 处的量角器的读数为 74，由此可知三角尺的较短直角边的长度约为_cm.(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)3图 76 18图 76 196林业员为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图 7619.现已知 BAC538， AB0.5 米，则这棵大树的直径约为_米(参考数据：tan5381.33，tan26340.50，结果精确到 0.1 米)7如图 7620 是放置在桌面上的地球仪截面图，半径 OC 所在的直线与桌面垂直，垂足为 E，点 A， B
4、为地球仪的南、北极，直线 AB 与桌面交于点 D，所成的 EDB 为 53，量得 DE15 cm， AD14 cm，求半径 OA 的长(参考数据： sin530.80, cos530.60, tan531.33)图 762048如图 7621，图是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图.已知铁环的半径为 25 cm，设铁环中心为 O，铁环钩与铁环的相切点为 M，铁环与地面的接触点为A， MOA ，且 sin .若人站立点 C 与点 A 的水平距离 AC 等于 55 cm，则铁环钩 MF35的长度为( )图 7621A46
5、cm B48 cm C50 cm D52 cm9如图 7622 表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示 3 点 30 分时，分针垂直于桌面，点 A 距桌面的高度为 10 厘米如图，若此钟面显示 3 点 45 分时，点 A 距桌面的高度为 16 厘米，则钟面显示 3 点 50 分时，点 A距桌面的高度为_厘米图 7622图 762310一颗位于地球上空的气象卫星 S，对地球上某区域的天气情况进行监测，如图7623，当卫星 S 位于地球表面上点 A 的正上方时，其监测区域的最远点为 B.已知被监测区域中， A， B 两点间的地表距离(即 的长)约为 1730 km
6、，则卫星 S 距地球表面的高度AB SA 约是_km.(结果取整数， 取 3.14，地球的半径约为 6400 km)11某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图 7624 所示，秋千拉绳 OB 的长为 3 m，静止时，踏板到地面的距离 BD 的长为 0.6 m(踏板厚度忽略不计)为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 h m，成人的“安全高度”为 2 m(计算结果精确到50.1 m)(1)当摆绳 OA 与 OB 成 45夹角时，恰为儿童的安全高度，则 h_m；(2)某成人在玩秋千时，摆绳 OC 与 OB 的最大夹角为 55，此人是否安全(参考数据：1.41, sin550.82， cos
7、550.57，tan551.43)?2图 762412如图 7625，有两条公路 OM， ON 相交成 30角，沿公路 OM 方向离点 O80 米处有一所学校 A，当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以点 P 为圆心，50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近，噪声影响越大已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时(1)求对学校 A 的噪声影响最大时，卡车 P 与学校 A 的距离；(2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间图 7625613五一期间，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐
8、场的大型摩天轮的半径为 20 m，旋转 1 周需要 10 min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约 0.5 m)开始 1 周的观光请探索下列问题：(1)摩天轮启动多长时间后，小明到达观光的最高点？此时小明离地面的高度是多少？(2)从最底部开始，经过多长时间，小明离地面的高度第一次达到 10 m(精确到 0.01 min)?(3)在旋转一周的过程中，小明有多长时间保持在离地面 20 m 以上的空中(精确到0.01 min)?7/ 教 师 详 解 详 析 /第 7 章 锐角三角函数7.6 第 2 课时 与圆有关的问题1B2A 解析 在 Rt ABC 中，因为 C90，所以 cosA ，所以 AB .
9、ACAB ACcosA3B 解析 过点 Q 作 QB EF，交 EF 于点 B，作 QC AO 于点 C. QB EF， QC AO， OA EF， ACQ ABQ OAB90，四边形 ACQB 是矩形， AC BQ.转动一周需要 12 min， COQ 36060，212 CQO30， OC OQ10 m，12 BQ AC OA OC2011011(m)故选 B.4B 解析 连接 OQ，根据切线的性质可知 OQ AQ.在 Rt AOQ 中，sin QAP ，OQAO所以 AO ，所以 AP AO PO R， l .Rsin Rsin PQ n R180 （ 90 ） R18059 解析 如图
10、所示，连接圆心 O 和点 B，则 OA OB.由题意可知 BOC2 CAB74，在 Rt ABC 中， BAC37. AB12，tan BAC ， BC ABtan37120.759.短直角边的长度约为 9 cm.BCAB860.5 解析 由题意可知 OAB BAC2634，12 OB ABtan OAB0.5tan26340.25(米)，这棵大树的直径为 2OB0.5(米)7解：在 Rt ODE 中， DE15 cm， ODE53， cos ODE ，DEOD OD 25(cm)，150.60 OA OD AD251411(cm)答：半径 OA 的长约为 11 cm.8C 解析 过点 M 作
11、与 AC 平行的直线，与 OA， FC 分别相交于点 H， N.在 Rt OHM中， OHM90， OM25， HM OMsin 15， OH20， MB HA25205.铁环钩与铁环相切， MOH OMH OMH FMN90， FMN MOH ， sin ， FN MF.FNMF 35 35在 Rt FMN 中， FNM90， MN BC AC AB551540. FMN 为直角三角形， MF2 FN2 MN2，即 MF2( MF)240 2，解得 FM50(负值已35舍去)，铁环钩 MF 的长度为 50 cm，故选 C.919 解析 当钟面显示 3 点 30 分时，分针垂直于桌面，点 A
12、距桌面的高度为10 厘米，9 AD10 厘米钟面显示 3 点 45 分时，点 A 距桌面的高度为 16 厘米， A C16 厘米， AO A O6 厘米钟面显示 3 点 50 分时， A OA30， FA3 厘米，点 A距桌面的高度为 16319(厘米)故答案为 19.10242 解析 如图所示，连接 OB，可知 OB SB，即 BOS 为直角三角形，要求出 SA，必须先求 SO.设 BOS n，由题意得 1730 ，6400 n180即 1730 ，64003.14n180解得 n15.5.在 Rt OBS 中，cos BOS ，OBOS OS 6641.6(km)，OBcos15.5 64
13、00cos15.5 SA SO AO242(km)，即卫星 S 距地球表面的高度约是 242 km.11解：(1)如图，过点 A 作 AN OB 于点 N.在 Rt ANO 中， ANO90，cos AON ，ONOA ON OA cos AON. OA OB3 m， AON45， ON3 cos452.12(m)， ND OB BD ON30.62.121.5(m)，10 h ND1.5 m故答案为 1.5.(2)如图，过点 C 作 CM FD，交 FD 的延长线于点 M，作 CE OD 于点 E.在 Rt CEO 中， CEO90，cos COE ，OEOC OE OCcos COE. O
14、C OB3 m， COE55， OE3cos551.71(m)， ED OB BD OE30.61.711.9(m)， CM ED1.9 m.成人的“安全高度”为 2 m，此人是安全的12解：(1)过点 A 作 ON 的垂线段，交 ON 于点 P.如图，在 Rt AOP 中， APO90， POA30， OA80 米，所以 AP80sin3080 40(米)，12即对学校 A 的噪声影响最大时，卡车 P 与学校 A 的距离是 40 米11(2)以点 A 为圆心，50 米长为半径画弧，交 ON 于 D， E 两点如图，在 Rt ADP 中， APD90， AP40 米， AD50 米，所以 DP
15、 30(米)AD2 AP2 502 402同理可得 EP30 米，所以 DE60 米又因为 18 千米/时5 米/秒，所以 12(秒)605故卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒13解析 (1)如图，延长 BO 交 O 于点 E，则点 E 为观光的最高点，此时小明恰好旋转半个圆周，所以经过 5 min，此时离地面 40.5 m；(2)由题意可知，摩天轮每分钟旋转 36，欲求旋转时间，需求旋转角 BOC.在 RtODC 中， OD20.51010.5(m)， OC20 m，故 BOC 的度数可求，进而求得旋转时间t ； BOC的 度 数36(3)将第(2
16、)题中的 10 m 改为 20 m，求得旋转时间为 t，故在 20 m 以上的空中的时间为(102 t)min.解： (1)如图，延长 BO 交 O 于点 E，则点 E 为观光的最高点，小明从点 B 到达点E 恰好旋转了半个圆周，则摩天轮启动 5 min 后，小明到达观光的最高点，此时小明离地面的高度为 40.5 m.(2)如图，设点 C 为小明离地面 10 m 处的位置，过点 C 作 CD OB，垂足为 D， OD200.51010.5(m)，12cos DOC ，ODOC 10.520解得 DOC58.332.摩天轮每分钟旋转 36， t 1.62(min)58.33236则从最底部开始，经过约 1.62 min 后，小明离地面的高度第一次达到 10 m.(3)如图，设点 C 为小明离地面 20 m 处的位置， OD200.5200.5(m)，cos DOC ，ODOC 0.520解得 DOC88.567.102 5.08(min)88.56736答：在旋转一周的过程中，小明约有 5.08 min 保持在离地面 20 m 以上的空中
