1、 76 用锐角三角函数解决问题(1)学习目标 1正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义2能综合运用解直角三角形的知识解决实际问题，形成“把实际问题转化为数学问题”的能力活动方案活动一 坡度的概念，坡度与坡角的关系坡度：如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作 i，即 i ，坡度通常用 l：m 的形式，例如下图中的ACBCi1：2 的形式坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角坡度与坡角关系：从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 itanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡图（一）与图（二）比较：图（一）中坡度小，坡角A
2、小，坡面平缓；图（二）中坡度大，坡角A 大，坡面陡练习：1如图 1，一个小球由地面沿着坡度 的坡面向上前进。若小球升高了1:2i10m，此时小球沿坡面向上前进 米；若小球沿坡面向上前进 10m，此时小球升高 米2如上右图是一个拦水大坝的横断面图，ADBC斜坡 AB10m，大坝高为8m （1）斜坡 AB 的坡度 iAB_ _ （2）如果坡度 iAB1 ，则坡角B_ 3_ （3）如果坡度 iAB12，AB8m ，则大坝高度为_ _活动二 例题教学例 1 如图，水坝的横截面是梯形 ABCD，迎水坡 BC 的坡角 为 30，背水坡 AD 的图 1DCBA坡度 i（即 tan）为 11.2， 坝顶宽 D
3、C2.5 米，坝高 4.5 米求：（1）背水坡 AD 的坡角 （精确到 0.1） ；（2）坝底宽 AB 的长（精确到 0.1 米） 探究思考：1要求坡角 ，你联想到什么知识？要用坡度 i（即 tan）为 11.2，可得到什么结论？2图形中已知哪些线段和角？已知线段与角之间又怎样的关系？如何运用解直角三角形的相关知识？坝高 4.5 米在图形中什么位置？3解决问题时需要构造什么三角形？为什么？一般作怎样的辅助线可构造出这样的三角形？（自主完成解答）方法提炼：1根据边、角条件求解的问题，一般要联想到解直角三角形知识解决问题时要能依据已有图形，结合条件与所求，寻找到直角三角形，有时还需要通过作垂线构造
4、直角三角形2理由三角函数时，要注意合理选择三角函数公式和根据坡度的意义进行求解易错注意：1注意近似数的要求2注意坡度与坡角的区别变式拓展：在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶 CD加宽 0.5 米，背水坡 AD 的坡度改为 11.4（1）若离背水坡 AD 距离 5 米处有一座建筑，它是否会受影响？（2）已知堤坝的总长度为 5km，求完成该项工程所需的土方（精确到 0.1 米 3） D CBA练习：某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BCAD，斜坡 AB 长 22m，坡角BAD=68 0，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造经
5、地质人员勘测，当坡角不超过 500 时，可确保山体不滑坡(1)求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长(精确到 0.1m)；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚 A 不动，坡顶 B 沿 BC 削进到 F 点处，问 BF至少是多少米(精确到 0.1m)？ （参考：tan68 0 2.48， sin680.93，cos680.37，tan50 0 1.19， sin500.77，cos500.64.）检测反馈1.已知一段公路的坡度为 1:26，求沿着这条公路每前进 100 米所上升的高度 米。2如图，水库堤坝的横断面成梯形 ABCD，DCAB，迎水坡 AD 长为 m，上底长23DC=2m，背水坡
6、BC 长也是 2 m。又测得DAB=30，CBA=60。下底 AB 的长是 ，堤坝的横截面积是 。3如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高 AC 等于 6 米，背水坡 AB 的坡度 ，则1:2i斜坡 AB 的长为 米。4.在道路两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 6 米，测得坡道的坡度为1:3.5，则相邻两树间坡道距离 （精确到 0.1m） 。5如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树 AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面 D已知山坡的坡角 23AEF，量得树干倾斜角 38BAC，大树被折断部分和坡面所成的角 04mCD， （1）求 E的度数；（2）求
7、这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据：.4， 1.7， 62.4） 6.如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡BE （请讲下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据： 1.732） 3（1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即 BEF ）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 米；（2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG=27 米） ，小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即HDM）为 30点 B、C 、A 、G、H
8、在同一个平面内，点 C、A、G 在同一条直线上，且 HGCG，问建筑物 GH 高为多少米？【巩固提升】1.梯形护坡石坝的斜坡 的坡度 1: ，坝高 为 2 米，则斜坡 的长是 ABi3BCAB米，坡角为 度。2.如图 RtABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12m，它的坡角为 45，为了提高该堤防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 1：1.5 的斜坡 AD，则 DB 的长 (结果保留根号)。3.如图，在平地 上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 1:2 的山坡上种植树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A4.5m B4.6m C6
9、m D8m4.如图，小明从点 A 处出发，沿着坡度为 10的斜坡向上走了 120m 到达点 B，然后又沿着坡度为 15的斜坡向上走了 160m 到达点 C，问点 C 相对于起点 A 升高了多少？（精确到 0.1m） （参考： ） sin10.7cos10.98， ， sin150.26， cos150.975.学校校园内有一小山坡 AB，经测量，坡角ABC30，斜坡 AB 长为 12 米为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡 BD 的坡比是 13（即为 CD 与 BC 的长度之比） 1510 DCBAA、D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度 AD6.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/ 分钟的速度攀登，同时李强从南坡山脚 B 处出发。如图，已知小山北坡的坡度 ，山坡重工业 240 米，3:1i南坡的坡角是 45。问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A？（将山路AB、AC 看成线段，结果保留根号）
