2018年秋九年级数学上册 第1章 一元二次方程练习题（打包15套）（新版）苏科版.zip

11.1～1.2一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)1．下列方程中，哪一个是关于 x 的一元二次方程( )A．( x＋1) 2＝2( x＋1) B. ＋ －2＝01x2 1xC． ax2＋ bx＋ c＝0 D． x2＋2 x＋1＝ x2－12．一元二次方程 x2＋ px－2＝0 的一个根为 x＝2，则 p 的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－23．若 x2m－1 ＋10 x＋ m＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为( )23A．0 B. C. D．123 324．若( x＋1) 2－1＝0，则 x 的值为( )A．±1 B．±2C．0 或 2 D．0 或－25．用配方法解一元二次方程 x2－4 x－1＝0，配方后得到的方程是( )A．( x－2) 2＝1 B．( x－2) 2＝4C．( x－2) 2＝5 D．( x－2) 2＝36．若等腰三角形的底和腰的长是方程 x2－6 x＋8＝0 的两根，则这个三角形的周长为( )A．8 B．10C．8 或 10 D．不能确定7．若一个球的表面积是 100π cm2，则这个球的半径为(球的表面积 S＝4π R2，其中 R是球的半径)( )A．10 cm B．5 cm C．±10 cm D．±5 cm8．已知 P＝ m－1， Q＝ m2－ m， m 为任意实数，则 P， Q 的大小关系为( )715 815A． PQ B． P＝ QC． P0，2∴ x＝ ＝ ± ，2 2±202 2 5即 x1＝ ＋ ， x2＝ － .2 5 2 517．(1) x1＝－ ， x2＝－ (2) x1＝3， x2＝－223 103(3)x1＝－3， x2＝－1 (4) x1＝－5， x2＝－1318．解：将 x＝3 代入方程 2x2－(2 k＋3) x＋4 k－1＝0，得 18－3(2 k＋3)＋4 k－1＝0，解得 k＝4.19．解：∵ x2m2－ my2与－4 x4m－2 y2是同类项，12∴2 m2－ m＝4 m－2，即 2m2－5 m＋2＝0.6根据求根公式解得 m1＝2， m2＝ .12∵ m 为整数，∴ m＝2，∴( m－1) 2＝(2－1) 2＝1.20．解：(1)由题意，得 m2＋1＝2，所以 m＝±1，而 m≠－1，所以 m＝1，方程变为 2x2－2 x－1＝0，解得 x1＝ ， x2＝ .1＋ 32 1－ 32(2)由题意，得 m＋1＝0 且 m－3≠0 或 m2＋1＝1 且( m＋1)＋( m－3)≠0，解得 m＝－1 或 m＝0.综上可知，当 m＝－1 或 0 时，方程( m＋1) xm2＋1＋( m－3) x－1＝0 是一元一次方程．1第 1 章 一元二次方程1．2 第 1 课时 用直接开平方法解一元二次方程知识点 1 利用开平方的条件判断方程解的情况1．用直接开平方法解关于 x 的一元二次方程( x－5) 2＝ m－7 时需开平方，因此被开方数 m－7 是一个________数，即 m－7≥0，∴当 m 的取值范围是________时，方程( x－5)2＝ m－7 有解．知识点 2 用直接开平方法解形如 x2＝p(p≥0)的一元二次方程2．解方程： x2－25＝0.解：移项，得 x2＝________．∵ x 是________的平方根，∴ x＝________，即 x1＝________， x2＝________．3．教材例 1(2)变式方程 9x2＋1＝2 的解是 x1＝________， x2＝________．知识点 3 用直接开平方法解形如(mx＋n) 2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程4. 一元二次方程( x＋6) 2＝16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )A． x－6＝－4 B． x－6＝4C． x＋6＝4 D． x＋6＝－45．解方程：12(3－2 x)2－3＝0.解：移项，得 12(3－2 x)2＝________．两边都除以 12，得(3－2 x)2＝________．∵3－2 x 是________的平方根，∴3－2 x＝________，即 3－2 x＝________或 3－2 x＝________，∴ x1＝________， x2＝________．6．教材例 2 变式方程 2(1＋ m)2＝24 的解为 x1＝________， x2＝________．7．解方程：(1)(x－1) 2－3＝0; (2)(2 x－1) 2－16＝0；(3)4(1－2 x)2＝9; (4)3( x－5) 2－75＝0.8．若方程 x2－ m＝0 的根是有理数，则 m 的值可能是( )A．－9 B．3 C．－4 D．49．2016·深圳给出一种运算：对于函数 y＝ xn，规定 y′＝ nxn－1 .例如：若函数y＝ x4，则 y′＝4 x3.已知函数 y＝ x3，则方程 y′＝12 的根是( )A． x1＝4， x2＝－4 B． x1＝2， x2＝－2C． x1＝ x2＝0 D． x1＝2 ， x2＝－2 3 310．若( x2＋ y2－1) 2＝4，则 x2＋ y2＝________．11．已知三角形两边的长分别为 3 和 6，第三边的长是一元二次方程( x－5) 2－4＝0 的根，试求三角形的周长．212．若关于 x 的方程( x＋ m)2＝ k(k≥0)的两个根是 2 和 3，则关于 x 的方程( x＋ m－2)2＝ k(k≥0)的根是( )A．2 或 3 B．－2 或－3C．4 或 5 D．－4 或－513．[2017·河北] 对于实数 p，q，我们用符号 min 表示 p，q 两数中较小的数，{p， q}如 min{1，2}＝1.因此 min ＝________；若 min ＝1，则{－ 2， － 3} {（ x－ 1） 2， x2}x＝________．3详解详析1．非负 m≥72．25 25 ±5 5 －53. －13 134． D [解析] 将方程(x＋6) 2＝16 两边直接开平方，得 x＋6＝±4，则 x＋6＝4 或x＋6＝－4.故选 D.5．3 ± － 14 14 12 12 12 54 746．2 －1 －2 －13 37．解：(1)移项，得(x－1) 2＝3.∵(x－1)是 3 的平方根，∴x－1＝± ，即3x1＝1＋ ，x 2＝1－ .3 3(2)移项，得(2x－1) 2＝16.开平方，得 2x－1＝±4.当 2x－1＝4 时，x＝ ；当522x－1＝－4 时，x＝－ .∴x 1＝ ，x 2＝－ .32 52 32(3)方程变形为(2x－1) 2＝ .94∵(2x－1)是 的平方根，94∴2x－1＝± ，即 x1＝ ，x 2＝－ .32 54 14(4)移项，得 3(x－5) 2＝75，∴(x－5) 2＝25，∴x－5＝5 或 x－5＝－5，解得 x1＝10，x 2＝0.8． D [解析] 先移项，把方程化为 x2＝m.因为 x 是有理数，所以 m 必须大于或等于0 且是某个有理数的平方，据此即可对各个选项进行判断．9． B 10.311．解：由方程(x－5) 2－4＝0，得 x＝3 或 x＝7.根据三角形的三边关系，知 3，6，3 不能构成三角形；3，6，7 能构成三角形．故该三角形的周长为 3＋6＋7＝16.12． C13．－ 2 或－1 31第 1 章 一元二次方程1 . 2 第 4 课时 用公式法解一元二次方程知识点 1 一元二次方程的求根公式1．一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)的根由方程的各项系数________确定的，其求根公式是__________，方程存在解的条件是______________．2．用公式法解一元二次方程 3x2＝2 x－3 时，首先要确定 a， b， c 的值，下列叙述正确的是( )A． a＝3， b＝2， c＝3 B． a＝－3， b＝2， c＝3 C． a＝3， b＝2， c＝－3 D． a＝3， b＝－2， c＝33．用求根公式解一元二次方程 2y2－4 y－1＝0，其中 b2－4 ac 的值是( )A．8 B．12 C．20 D．24知识点 2 用公式法解一元二次方程4．用公式法解一元二次方程－ x2＋3 x＝1.解：把这个方程化为一般形式为 x2－3 x＋1＝0.∵ a＝________， b＝________， c＝________，∴ b2－4 ac＝________，∴ x＝________，∴ x1＝________， x2＝________．5．用公式法解方程 3x2－5 x＋1＝0，正确的是( )A． x＝ B． x＝－ 5±136 － 5±133C． x＝ D． x＝5±136 5±1336．[2016·沈阳] 一元二次方程 x2－4x＝12 的根是( )A．x 1＝2，x 2＝－6 B．x 1＝－2，x 2＝6 C．x 1＝－2，x 2＝－6 D．x 1＝2，x 2＝67．若代数式 x2－6x＋5 的值是 12，则 x 的值为( )A．7 或－1 B．1 或－5C．－1 或－5 D．不能确定8．已知代数式 7x(x＋5)＋10 的值与 9x－9 的值互为相反数，则 x＝________．9．用公式法解下列方程：(1)x2＋4x－1＝0； (2)x 2－13x＋40＝0；(3)2x2－3x＋4＝0; (4) t2＝2t－1；23(5)3y2＋1＝2 y; (6)5x2－ x－6＝0.3 5210．解方程 x2＝－3x＋2 时，有一名同学的解答过程如下：解：∵a＝1，b＝3，c＝2，b2－4ac＝3 2－4×1×2＝10，∴x＝ ＝ ＝ ，－ b±b2－ 4ac2a － 3± 12×1 － 3±12即 x1＝－2，x 2＝－1.请你分析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．11．如果 x2－4x＋5＝(x＋1) 0，那么 x 的值为( )A．2 或－1 B．0 或 1C．2 D．－112．一元二次方程 x2－2x－6＝0，其中较大的一个根为 x1，下列最接近 x1的范围是( )A．3＜x 1＜4 B．3＜x 1＜3.5C．3.5＜x 1＜3.7 D．3.7＜x 1＜413．三角形两边的长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2－13x＋36＝0 的根，则三角形的周长为________．14．解方程：(x－1) 2－2(x－1)－3＝0.15．已知一元二次方程 x2－2x－ ＝0 的某个根也是一元二次方程 x2－(k＋2)x＋ ＝054 94的根，求 k 的值．316．已知一个矩形的相邻两边长分别为 2m－1 和 m＋3，若此矩形的面积为 30，求这个矩形的周长．17．若 x2＋mx＋15＝(x＋5)(x＋n)，试解关于 x 的方程 nx2＋mx＋1＝0.18．已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x 2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出此方程的根；(2)当 m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？4详解详析1．a，b，c x＝ b 2－4ac≥0－ b±b2－ 4ac2a2． D 3. D4．1 －3 1 5 3±52 3＋ 52 3－ 525． C6． B [解析] 方程整理得 x2－4x－12＝0，用公式法解得 x1＝－2，x 2＝6.7． A [解析] x 2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，x2－6x－7＝0，∴x＝ ，6±82解得 x1＝－1，x 2＝7.故选 A.8.－ 22±35379．解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝4 2－4×1×(－1)＝200，∴x＝ ，∴x＝－2± ，－ 4±202 5即 x1＝－2＋ ，x 2＝－2－ .5 5(2)∵a＝1，b＝－13，c＝40，b2－4ac＝(－13) 2－4×1×40＝9，∴x＝ ＝ ，13±92 13±32∴x 1＝8，x 2＝5.(3)∵a＝2，b＝－3，c＝4，b2－4ac＝(－3) 2－4×2×4＝－23＜0，∴原方程无实数根．(4)整理，得 2t2－6t＋3＝0.∵a＝2，b＝－6，c＝3，b2－4ac＝(－6) 2－4×2×3＝12＞0，∴t＝ ＝ ，－ （ － 6） ±122×2 3±32即 t1＝ ，t 2＝ .3＋ 32 3－ 32(5)移项，得 3y2－2 y＋1＝0.3∵a＝3，b＝－2 ，c＝1，3b2－4ac＝(－2 )2－4×3×1＝0，3∴y＝ ＝ ，－ （ － 2 3） ±02×3 335即 y1＝y 2＝ .33(6)∵a＝5，b＝－ ，c＝－6，5b2－4ac＝ －4×5×(－ 6)＝1250，(－ 5)2 ∴x＝ ＝ ，－ （ － 5） ±1252×5 5±5 510即 x1＝ ，x 2＝－ .3 55 2 5510．解：解答有错误，正确的解题过程如下：方程整理，得 x2＋3x－2＝0.这里 a＝1，b＝3，c＝－2.∵b 2－4ac＝9＋8＝17，∴x＝ ，－ 3±172即 x1＝ ，x 2＝ .－ 3＋ 172 － 3－ 17211． C 12. C 13.1314．解：把 x－1 作为整体看成一个未知数．∵a＝1，b＝－2，c＝－3，b2－4ac＝(－2) 2－4×1×(－3)＝16＞0，∴x－1＝ ，2±162∴x 1＝4，x 2＝0.15．解：对于方程 x2－2x－ ＝0，54∵a＝1，b＝－2，c＝－ ，54∴b 2－4ac＝(－2) 2－4×1×(－ )＝90，54∴x＝ ，2±92×1∴x 1＝ ，x 2＝－ .52 12把 x1＝ 代入 x2－(k＋2)x＋ ＝0，52 94解得 k＝ ；75把 x2＝－ 代入 x2－(k＋2)x＋ ＝0，12 94解得 k＝－7.即 k 的值为 或－7.7516．解：由题意，得(2m－1)(m＋3)＝30，6则 2m2＋5m－33＝0，解得 x1＝－ (舍去)，x 2＝3.112所以这个矩形的相邻两边长分别为 5 和 6，故这个矩形的周长为 22.17．解：由(x＋5)(x＋n)＝x 2＋(n＋5)x＋5n，得 x2＋mx＋15＝x 2＋(n＋5)x＋5n，∴ {m＝ n＋ 5，5n＝ 15， )解得 m＝8，n＝3，代入方程 nx2＋mx＋1＝0，得 3x2＋8x＋1＝0.∵a＝3，b＝8，c＝1，b 2－4ac＝64－12＝520，∴x＝ ＝ ，－ 8±526 － 4±133即 x1＝ ，x 2＝ .－ 4＋ 133 － 4－ 13318．解：(1)根据题意，得 m≠1.b2－4ac＝(－2m) 2－4(m－1)(m＋1)＝4，则 x＝ ，2m±22（ m－ 1）∴x 1＝ ＝ ，x 2＝1.2m＋ 22（ m－ 1） m＋ 1m－ 1(2)由(1)知，x 1＝ ＝1＋ .m＋ 1m－ 1 2m－ 1∵方程的两个根都为正整数，∴ 是正整数．2m－ 1又∵m 为整数，∴m－1＝1 或 m－1＝2，∴m＝2 或 m＝3.即当 m 为 2 或 3 时，此方程的两个根都为正整数．1第 1 章 一元二次方程1．2 第 5 课时 一元二次方程根的判别式知识点 1 判断一元二次方程的根的情况1．[2017·常德] 一元二次方程 3x2－4x＋1＝0 的根的情况为( )A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是( )A．(x－1) 2＝0 B．x 2＋2x－19＝0C．x 2＋4＝0 D．x 2＋x＋1＝03．已知一元二次方程：①x 2＋2x＋3＝0；②x 2－2x－3＝0.下列说法正确的是( )A．①②都有实数根B．①无实数根，②有实数根C．①有实数根，②无实数根D．①②都无实数根4．不解方程，判断下列方程根的情况．(1)3x2－6x－2＝0; (2)x 2－8x＋17＝0.知识点 2 应用根的判别式求字母的值或取值范围5．[2017·德阳] 已知关于 x 的方程 x2－4x＋c＋1＝0 有两个相等的实数根，则常数 c的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．36．[2017·通辽] 若关于 x 的一元二次方程(k＋1)x 2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，则 k 的取值范围在数轴上的表示正确的是( )图 1－2－27．若关于 x 的一元二次方程 x2＋a＝0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是________．8．教材练习第 2 题变式若关于 x 的方程 x2－6x＋m＝0 有两个相等的实数根，则实数m＝________．9．已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋ ＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值m24是________．210．已知关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0，则当 k 为何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？11．若关于 x 的一元二次方程(m－2)x 2＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( )A．m≤3 B．m＜3C．m＜3 且 m≠2 D．m≤3 且 m≠212．[2016·海安学业水平测试] 为了说明命题“当 b＜0 时，关于 x 的一元二次方程x2＋bx＋2＝0 必有实数根”是假命题，可以举的一个反例是( )A．b＝2 B．b＝3 C．b＝－2 D．b＝－313．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋kb＋1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b 的大致图像可能是( )图 1－2－314．[2016·河北] a，b，c 为常数，且(a－c) 2a2＋c 2，则关于 x 的方程ax2＋bx＋c＝0 的根的情况是( )A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一个根为 015．若关于 x 的一元二次方程 2x(kx－4)－x 2＋6＝0 没有实数根，则 k 的最小整数值是________．16．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＋m－2＝0.(1)求证：无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2 时，求方程的另一个根．317．已知：关于 x 的方程 x2＋2mx＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程的一个根为 3，求 m 的值．18．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋1)x＋m 2－1＝0 有两个不相等的实数根．(1)求 m 的取值范围；(2)当 m 取最小整数值时，用合适的方法求该方程的解．19．已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k 2＋k＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角形时，求 k 的值．4详解详析1． D 2. B3． B [解析] 方程①的判别式 b2－4ac＝4－12＝－80，则方程②有两个不相等的实数根．故选 B.4．解：(1)3x 2－6x－2＝0，a＝3，b＝－6，c＝－2，b2－4ac＝(－6) 2－4×3×(－2)＝60＞0，因此方程 3x2－6x－2＝0 有两个不相等的实数根．(2)x2－8x＋17＝0，a＝1，b＝－8，c＝17，b2－4ac＝(－8) 2－4×1×17＝－4＜0，因此方程 x2－8x＋17＝0 无实数根．5． D [解析] 一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为 0，即(－4) 2－4(c＋1)＝0，则可得 c＝3.6． A [解析] ∵关于 x 的一元二次方程(k＋1)x 2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，∴ {k＋ 1≠ 0，[2（ k＋ 1） ]2－ 4（ k＋ 1） （ k－ 2） ≥ 0， )解得 k＞－1.故选 A.7．a＞08．9 [解析] ∵方程有两个相等的实数根，∴(－6) 2－4m＝0，∴m＝9.故答案为 9.9． [解析] 根据题意，得(1－m) 2－4× ＞0，解得 m＜ ，所以 m 的最大整数值为 0.m24 1210．解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0 有两个不相等的实数根，∴ {k≠ 0，（ － 6） 2－ 4×9k0， )解得 k＜1 且 k≠0，∴当 k＜1 且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根．(2)∵关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0 有两个相等的实数根，∴ {k≠ 0，（ － 6） 2－ 4×9k＝ 0， )解得 k＝1，∴当 k＝1 时，方程有两个相等的实数根．(3)∵关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0 没有实数根，∴ {k≠ 0，（ － 6） 2－ 4×9ka2＋c 2得出－2ac＞0，因此 a≠0，b 2－4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选 B.15．216．解：(1)证明：b 2－4ac＝m 2－4×1×(m－2)＝m 2－4m＋8＝(m－2) 2＋4.∵(m－2) 2≥0，∴(m－2) 2＋4＞0，即 b2－4ac＞0，∴无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．(2)∵此方程的一个根为－2，∴4－2m＋m－2＝0，∴m＝2，∴一元二次方程为 x2＋2x＝0，解得 x1＝－2，x 2＝0，∴方程的另一个根为 0.17．解：(1)因为 b2－4ac＝4m 2－4(m 2－1)＝4＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)将 x＝3 代入原方程，得 9＋6m＋m 2－1＝0，解得 m＝－2 或 m＝－4.所以 m 的值是－2 或－4.18．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac＝(2m＋1) 2－4(m 2－1)＝4m＋50，解得 m－ .54(2)∵m 取最小整数值，∴m＝－1.当 m＝－1 时，原方程为 x2－x＝0，解得 x1＝0，x 2＝1.19．解析] (1)先计算出 b2－4ac，然后根据判别式与 0 的大小关系即可得到结论；(2)先利用公式法求出方程的解，当边 AB，AC 的长与两根分别相等时，利用△ABC 为等腰三角形这个条件，再在 AB＝BC，AB＝AC，或 AC＝BC 的情况下，求出相应的 k 的值．解：(1)证明：∵b 2－4ac＝[－(2k＋1)] 2－4(k 2＋k)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k 2＋k＝0 的解为 x＝ ，即2k＋ 1±12x1＝k，x 2＝k＋1.令 AB＝k，AC＝k＋1.当 AB＝BC 时，k＝5，此时三角形的三边长为 5，5，6，能构成等腰三角形；当 AB＝AC 时，k＝k＋1，无解，此种情况不存在；当 AC＝BC 时，k＋1＝5，解得 k＝4，此时三角形的三边长为 4，5，5，能构成等腰三角形．∴k 的值为 5 或 4. 1第 1 章 一元二次方程1．2 第 6 课时 用因式分解法解一元二次方程知识点 用因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程 5(x＋3)－2 x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：____________、____________求解，其解为 x1＝________， x2＝________．2．我们解一元二次方程 3x2－6 x＝0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3 x＝0 或 x－2＝0，进而得到原方程的解为 x1＝0， x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想 B．函数思想C．数形结合思想 D．公理化思想3．方程( y－1) 2＝ y－1 的解是( )A． y＝1 B． y1＝1， y2＝2C． y＝2 D． y1＝0， y2＝14．一元二次方程 x(x－3)＝3－ x 的解是( )A． x＝－1 B． x＝3C． x1＝1， x2＝3 D． x1＝－1， x2＝35．方程( x＋1)( x－2)＝ x＋1 的解是( )A． x＝2 B． x＝3C． x1＝－1， x2＝2 D． x1＝－1， x2＝36．一元二次方程 4x2－12 x＝0 的解是____________．7．方程 x(x－2)＝ x 的解是______________．8．方程 2(x－2) 2＝ x2－4 的解是____________．9．已知数轴上 A， B 两点对应的数分别是一元二次方程( x＋1)( x－2)＝0 的两个根，则A， B 两点间的距离是________．10．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16 x＝0；(2)(3x＋2) 2－4 x2＝0；(3)2x(x＋3)－3( x＋3)＝0；(4)x(2x－5)＝4 x－10；2(5)(x－1) 2＋2 x(x－1)＝0；(6)(x－5) 2－2( x－5)＋1＝0.11．教材例 8(2)变式当 x 为何值时，代数式 x－3 的值与 x(x－3)的值的差为 0.12．下列四个方程：(1) x2－25＝0；(2) y2＝ y；(3)( x＋1) 2－4( x＋1)＋4＝0；(4)3x2＋2 x＋1＝0.其中能用因式分解法求解的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．413．定义一种新运算： a♣b＝ a(a－ b)．例如，4♣ 3＝4×(4 －3)＝4.若 x♣2＝3，则 x 的值是( )A． x＝3 B． x＝－1 C． x1＝3， x2＝1 D． x1＝3， x2＝－114．若关于 x 的一元二次方程 x2＋ bx＋ c＝0 的两根为 x1＝－1， x2＝2，则将多项式x2＋ bx＋ c 分解因式的结果为________．15．用合适的方法解方程：(1)(2x－1) 2＝9； (2)( x－5)(3 x－2)＝10；(3)x2＋6 x＝1; (4)(2 x－3)( x＋1)＝ x＋1.316．小红、小亮两名同学一起解方程 x(2x－5)＋4(5－2 x)＝0.小红是这样解的：先将方程变形为 x(2x－5)－4(2 x－5)＝0，移项，得 x(2x－5)＝4(2 x－5)，方程两边同除以(2 x－5)，得 x＝4.小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．17．[2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x 2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x 2＋5x＋6＝x 2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试：分解因式：x 2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；(2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x－4＝0.18．阅读题例，解答后面的问题：解方程：x 2－|x－1|－1＝0.解：①当 x－1≥0，即 x≥1 时，原方程化为 x2－(x－1)－1＝0，则 x2－x＝0，解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1；②当 x－1＜0，即 x＜1 时，原方程化为 x2＋(x－1)－1＝0，则 x2＋x－2＝0，解得 x1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－2.综上所述，原方程的解是 x＝1 或 x＝－2.依照上面的解法，解方程：x 2＋2|x＋2|－4＝0.4详解详析1．5－2x＝0 x＋3＝0 －3 [解析] 把方程 5(x＋3)－2x(x＋3)＝0 化为(5－2x)52(x＋3)＝0，则 5－2x＝0 或 x＋3＝0.2． A3． B [解析] 把 y－1 看成一个整体，移项、提取公因式，得(y－1)(y－2)＝0，∴y 1＝1，y 2＝2.4． D [解析] 原方程可化为 x(x－3)＋(x－3)＝0，∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0 或 x＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.5． D [解析] 原方程可化为(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x－2－1)＝0，即(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0 或 x－3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.故选 D.6．x 1＝0，x 2＝37．x 1＝0，x 2＝3 [解析] 原方程可化为 x(x－2)－x＝0，x(x－2－1)＝0，∴x＝0 或x－3＝0，解得 x1＝0，x 2＝3.8．x 1＝2，x 2＝69．3 [解析] 因为(x＋1)(x－2)＝0，所以 x＋1＝0 或 x－2＝0，解得x1＝－1，x 2＝2，所以 A，B 两点间的距离是|2－(－1)|＝3.故答案是 3.10．解：(1)原方程可变形为 x(x＋16)＝0，∴x＝0 或 x＋16＝0，∴x 1＝0，x 2＝－16.(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，即(x＋2)(5x＋2)＝0，∴x＋2＝0 或 5x＋2＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－ .25(3)原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，∴x＋3＝0 或 2x－3＝0，∴x 1＝－3，x 2＝ .32(4)原方程可变形为x(2x－5)－2(2x－5)＝0，即(2x－5)(x－2)＝0，∴2x－5＝0 或 x－2＝0，∴x 1＝ ，x 2＝2.52(5)分解因式，得(x－1)(x－1＋2x)＝0，∴x－1＝0，x－1＋2x＝0，∴x 1＝1，x 2＝ .13(6)分解因式，得[(x－5)－1] 2＝0，∴x 1＝x 2＝6.11．解：根据题意，得 x－3－x(x－3)＝0，5方程变形为(x－3)(1－x)＝0.∴x－3＝0 或 1－x＝0，∴x 1＝3，x 2＝1，即当 x 为 3 或 1 时，代数式 x－3 的值与 x(x－3)的值的差为 0.12． D13． D [解析] ∵x♣2＝3，∴x(x－2)＝3，整理，得 x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0 或 x＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.故选 D.14．(x＋1)(x－2)15．解：(1)开平方，得 2x－1＝3 或 2x－1＝－3，解得 x1＝2，x 2＝－1.(2)整理，得 3x2－17x＝0，∴x(3x－17)＝0.∴x＝0 或 3x－17＝0，解得 x1＝0，x 2＝ .173(3)∵x 2＋6x＝1，∴x 2＋6x＋9＝1＋9，即(x＋3) 2＝10，则 x＋3＝± ，10∴x＝－3± ，10即 x1＝－3＋ ，x 2＝－3－ .10 10(4)原方程变形为(x＋1)(2x－3－1)＝0，即 2(x＋1)(x－2)＝0，∴x＋1＝0 或 x－2＝0，解得 x1＝－1，x 2＝2.16．解：小红的解法不正确．理由：方程两边同除以(2x－5)时，她认为 2x－5≠0，事实上，2x－5 可以为零，这样做，会导致丢根．正确解法如下：x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，x(2x－5)－4(2x－5)＝0，(2x－5)(x－4)＝0，∴2x－5＝0 或 x－4＝0，∴x 1＝ ，x 2＝4.5217．解：(1)∵8 可以分解为 2 与 4 的积，且 2 与 4 的和为 6，满足十字相乘的形式，故填 2，4.(2)x2－3x－4＝0，(x－4)(x＋1)＝0，即 x－4＝0 或 x＋1＝0，∴x 1＝4，x 2＝－1.18．[解析] 根据题中所给的材料把绝对值符号内的 x＋2 分两种情况讨论(x＋2≥0 和x＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程．解：①当 x＋2≥0，即 x≥－2 时，原方程化为 x2＋2(x＋2)－4＝0，则 x2＋2x＝0，x(x＋2)＝0，解得 x1＝0，x 2＝－2；6②当 x＋2＜0，即 x＜－2 时，原方程化为 x2－2(x＋2)－4＝0，则 x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，解得 x1＝4(不合题意，舍去)，x 2＝－2(不合题意，舍去)．综上所述，原方程的解是 x＝0 或 x＝－2.[点评] 从题中所给材料找到解题方法是解题的关键．注意在去掉绝对值符号时要针对符号内的代数式的正负性分情况讨论． 1第 1 章 一元二次方程1.4 第 1 课时 面积问题与平均增长率问题知识点 1 面积问题1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图 1－4－1)，原空地一边减少了 1 m，另一边减少了 2 m，剩余空地的面积为 18 m2，求原正方形的边长．设原正方形空地的边长为 x m，则可列方程为( )A．( x＋1)( x＋2)＝18 B． x2－3 x＋16＝0 C．( x－1)( x－2)＝18 D． x2＋3 x＋16＝0图 1－4－1图 1－4－22．[2017·兰州] 王叔叔从市场上买了一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图 1－4－2，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为 x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x 2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x 2－(70＋80)x＝30003．在一幅长 60 cm、宽 40 cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色边框，制成一幅面积是 3500 cm2的矩形挂图，那么金色边框的宽为________ cm.4．如图 1－4－3，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 m2?图 1－4－3知识点 2 增长(降低)率问题5．[2017·衡阳] 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2015 年人均年收入 200 美元，预计 2017 年人均年收入将达到 1000 美元．设2015 年到 2017 年该地区居民人均年收入平均增长率为 x，可列方程为( )2A．200(1＋2x)＝1000 B．200(1＋x) 2＝1000 C．200(1＋x 2)＝1000 D．200＋2x＝10006．2016·徐州模拟某种药品原价为 35 元/盒，经过连续两次降价后售价为 26 元/盒．设平均每次降价的百分率为 x，根据题意所列方程正确的是( )A．35(1－x) 2＝35－26 B．35(1－2x)＝26 C．35(1－x) 2＝26 D．35(1－x 2)＝267．某商品的售价为 100 元，连续两次降价 x%后售价降低了 36 元，则 x 为( )A．8 B．20 C．36 D．188．[2017·黑龙江] 原价 100 元的某商品，连续两次降价后售价为 81 元．若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为________．9．2017·太原期中为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度．据悉，2015 年该市此项拨款为 1.5 亿元，2017 年的拨款达到2.16 亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为________．10．已知某工厂计划经过两年时间，把某种产品从现在的年产量 100 万台提高到 121 万台，那么平均每年增长的百分率是________；按此平均增长率，预计再经过两年，该工厂的年产量是________万台．11．某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3 月份的利润比 2 月份的利润增加 4.8 万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．12．某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是( )A．50(1＋x 2)＝196B．50＋50(1＋x 2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x) 2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19613．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为( )A. x ＝28 B. x ＝28 12(x＋ 1) 12(x－ 1)C．x ＝28 D．x ＝28(x＋ 1) (x－ 1)图 1－4－414．如图 1－4－4 是某广场一角的矩形花草区，其长为 40 m，宽为 26 m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为 864 m2，则路的宽度为________ m.315．[2017·襄阳] 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014 年利润为 2 亿元，2016 年利润为 2.88 亿元．(1)求该企业从 2014 年到 2016 年利润的年平均增长率；(2)若 2017 年保持前两年利润的年平均增长率不变，则该企业 2017 年的利润能否超过3.4 亿元？16．教材“问题 1”变式李明准备进行如下操作实验：把一根长 40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积和等于 58 cm2，李明应该怎样剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．17．[2017·烟台] 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015 年的价格为 200 元/个，2017 年的价格为 162 元/个．(1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：图 1－4－5试问去哪个商场购买足球更优惠？4详解详析1． C 2. C3．5 [解析] 设金色边框的宽为 x cm，则整幅挂图的长为(2x＋60) cm，宽为(2x＋40)cm.依题意，得(2x＋60)(2x＋40)＝3500，整理，得 x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x 2＝－55(不符合题意，舍去)．4．解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得 x(26－2x)＝80.化简，得 x2－13x＋40＝0.解这个方程，得 x1＝5，x 2＝8.当 x＝5 时，26－2x＝1612(舍去)；当 x＝8 时，26－2x＝103.4 万元．答：该企业 2017 年的利润能超过 3.4 亿元．16．解：(1)设其中一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm.由题意，得 x2＋(10－x) 2＝58.解得 x1＝3，x 2＝7.4×3＝12( cm)，4×7＝28( cm)，5∴李明应该把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段．(2)李明的说法正确．理由如下：设其中一个正方形的边长为 y cm，则另一个正方形的边长为(10－y) cm.由题意，得 y2＋(10－y) 2＝48，整理，得 y2－10y＋26＝0.∵(－10) 2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2，∴李明的说法是正确的．17．解：(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x.根据题意，得 200(1－x) 2＝162，解得 x＝0.1 或 x＝1.9(舍去)．0．1×100%＝10%.答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10%.(2)到 A 商场购买 91 个足球，赠送 9 个足球，共 100 个足球，总价为91×162＝14742(元)．到 B 商场购买，总价为 100×162×0.9＝14580(元)．∵14580＜14742，∴去 B 商场购买合算．