1、第四章 平面向量与复数第 4 课时 复 数(对应学生用书( 文)、(理)6869 页)考情分析 考点新知 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算.1. (课本改编题)复数 z i 的共轭复数为_2答案： i2解析： z i， z i.2 22. (课本改编题)已知 z(a i)(1i)(aR ，i 为虚数单位)，若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则 a_答案：1解析：z(ai)(1 i)a 1(a1)i， z 在复平面内对应的点在实轴上， a1
2、0，从而 a1.3. (课本改编题)已知 i 是虚数单位，则 _（2 i）23 4i答案： i725 2425解析： i.（2 i）23 4i （3 4i）（3 4i）25 7 24i25 725 24254. (课本改编题)设(1 2i) 34i(i 为虚数单位) ，则|z| _z 答案： 5解析：由已知，|(12i)z |34i|，即 |z |5， |z|z | .5 55. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别对应复数 33i，2i，5i，则第四个顶点 D 对应的复数为 _答案：53i解析： 对应复数为( 5i)(2i)26i， 对应复数为 zD(3 3i)，平行四边B
3、C AD 形 ABCD 中， ，则 zD(3 3i) 26i，即 zD53i.AD BC 1. 复数的概念(1) 虚数单位 i: i21；i 和实数在一起，服从实数的运算律(2) 代数形式：abi(a，bR) ，其中 a 叫实部，b 叫虚部2. 复数的分类复数 zabi(a、bR)中，z 是实数 b0，z 是虚数 b0，z 是纯虚数 a0，b03. abi 与 abi(a，bR)互为共轭复数4. 复数相等的条件abicdi(a、b、c 、dR) ac 且 bd.特殊的，abi 0(a、bR) a0 且 b0.5. 设复数 z abi(a，bR )，z 在复平面内对应点为 Z，则 的长度叫做复数
4、 z 的模OZ (或绝对值 )，即 |z| | .OZ a2 b26. 运算法则z1abi，z 2c di，(a、b、c、dR) (1) z1z2(ac)(bd)i；(2) z1z2(acbd)(adbc)i；(3) i.z1z2 ac bdc2 d2 (bc adc2 d2)备课札记题型 1 复数的概念例 1 已知复数 z (m 25m 6)i(mR) ，试求实数 m 分别取什么值时，m2 7m 6m2 1z 分别为：(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数解：(1) 当 z 为实数时，则有 所以m2 5m 6 0，m2 1 0. ) m 1或 m 6，m1， )所以 m6，即 m6 时，
5、z 为实数(2) 当 z 为虚数时，则有 m25m 60 且 有意义，所以 m1 且 m6m2 7m 6m2 1且 m1. m1 且 m 6.所以当 m(，1) (1，1)(1 ，6)(6，)时，z为虚数(3) 当 z 为纯虚数时，则有 m2 5m 6 0，m2 7m 6m2 1 0，)所以 故不存在实数 m 使 z 为纯虚数m 1且 m 6，m 6且 m 1. )变 式 训 练已知 mR，复数 z (m 22m 3)i，当 m 为何值时m（m 2）m 1(1) zR；(2) z 是虚数；(3) z 是纯虚数解：(1) 由 zR，得 解得 m3.m2 2m 3 0，m 1 0， )(2) 由
6、z 是虚数，得 m22m30，且 m10，解得 m1 且 m3.(3) 由 z 是纯虚数，得 m（m 2） 0，m 1 0，m2 2m 3 0，)解得 m0 或 m2.题型 2 复数相等的条件例 2 若(a 2i)ibi，其中 a，bR ，i 是虚数单位，求点 P(a，b) 到原点的距离解：由已知 ai2bi， a 1，b 2，) 点 P(1，2)到原点距离|OP| .5备 选 变 式 （教 师 专 享 ）设复数 abi(a、bR)，则 ab_i 11 i答案：1解析：由 i，得 a0，b1，所以 ab1.i 11 i （1 i）2（1 i）（1 i） 2i2题型 3 复数代数形式的运算例 3
7、 已知复数 z1 满足(z 12)(1i)1i(i 为虚数单位) ，复数 z2 的虚部为 2，且z1z2 是实数，求 z2.解：(z 12)(1i)1i z1 2i.设 z2a2i，aR，则 z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4 a)i. z1z2R， a4. z242i.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）设 i 是虚数单位，若 z ai 是实数，则实数 a_ 11 i答案：12解析：z ai ai iR ，所以 a 0，a .11 i 1 i2 12 (a 12) 12 12题型 4 复数的几何意义例 4 已知 O 为坐标原点，向量 ， 分别对应复数 z1，z 2，且 z1 (10 a
8、 2)OZ1 OZ2 3a 5i，z 2 (2a5)i(aR)，若 1z 2 是实数21 a z (1) 求实数 a 的值；(2) 求以 ， 为邻边的平行四边形的面积OZ1 OZ2 解：(1) 1z 2 (10a 2)i (2a5)i (a 22a15)iz 3a 5 21 a ( 3a 5 21 a)是实数， a22a 150. a3，a5(舍)(2) 由(1)知，z 1 i，z 2 1i， ， (1，1)， | |38 OZ1 (38，1) OZ2 OZ1 ， | | ，cos ， . sin ， 738 OZ2 2 OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 |OZ1 |OZ2 | 38 1738
9、2 5146 OZ1 OZ2 ， S | | |sin ， . 平行四1 25146 11146 OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 738 2 11146 118边形的面积为 .118备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O、A 、C 分别表示 0、32i、24i，试求：(1) 、 所表示的复数；AO BC (2) 对角线 所表示的复数；CA (3) 求 B 点对应的复数审题视点 结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解解：(1) ，所以 所表示的复数为32i.AO OA AO 因为 ，所以 所表示的复数为32i.BC AO BC (2) ，
10、所以 所表示的复数为 (32i)(24i)52i.CA OA OC CA (3) ，所以 表示的复数为(32i)(24i)16i，即 BOB OA AB OA OC OB 点对应的复数为 16i.1. (2013江苏)设 z(2i) 2(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 _答案：5解析：z(2 i) 244ii 234i ，|z| 5.32 （ 4）22. 若复数 z1i(i 为虚数单位) ， 是 z 的共轭复数，则 z2 2 的虚部为_z z 答案：0解析：因为 z1i，所以 1i，所以 z2 2(1i) 2(1i) 22i2i0.z z 3. 设 a、bR，abi (i 为虚数单位)
11、，则 ab_11 7i1 2i答案：8解析：由 abi ，得 abi 53i ，所以11 7i1 2i （11 7i）（1 2i）（1 2i）（1 2i） 11 15i 141 4a5，b3，ab8.4. (2013南通二模)设复数 z 满足|z|z1|1，则复数 z 的实部为_答案：12解析：设 zabi(a，bR) 复数 z 满足|z|z1|1， 解得 a . 复数 z 的实部为 .a2 b2 1，（a 1）2 b2 1，) 12 121. (2013重庆卷)已知复数 z (i 是虚数单位) ，则|z| _5i1 2i答案： 5解析：z 2i |z| .5i1 2i 5i（1 2i）5 5
12、2. (2013北京卷)在复平面内，复数 (2i) 2 对应的点位于_答案：第四象限解析：(2i) 2 34i 对应的点为(3，4) 位于第四象限3. (2013上海卷)设 mR ，m 2m2(m 21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则m_答案：2解析：由 m2m2(m 21)i 是纯虚数可知 m2.m2 m 2 0，m2 1 0 )4. m 取何实数时，复数 z (m 22m15)i.m2 m 6m 3(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数解：(1) 当 即 时，m2 2m 15 0，m 3 0， ) m 5或 m 3，m 3 )当 m5 时，z 是实数(2) 当 即 时，m
13、2 2m 15 0，m 3 0， ) m 5且 m 3，m 3 )当 m5 且 m3 时，z 是虚数(3) 当 即 时，m2 m 6 0，m 3 0，m2 2m 15 0，) m 3或 m 2，m 3，m5且 m 3)当 m3 或 m2 时，z 是纯虚数5. 设复数 z 满足 4z2z 3 i，sin icos( R) 求 z 的值和|z|的取值范3围解：设 zabi(a，bR)，则 zabi，代入 4z2z3 i，得 4(abi)2(abi)33 i.3解得 z i.a 32，b 12，) 32 12|z | |32 12i （sin icos）| (32 sin)2 (12 cos)22 3sin cos .2 2sin( 6)1sin 1，022sin -6pq（4.( 6)0|z|2.1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论请使用课时训练(B)第 4 课时(见活页)
